Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 23
Текст из файла (страница 23)
пропорциональна квадрату градиента скорости, как в формуле (203), приводит, как будет видно, к двум следствиям. Для волн произвольной формы четко выраженные максимумы скорости днссипацин всюду, где градиенты дил/дхл оказываются особенно болыними, имеют тенденцию уменынать такл~е большие градиенты. Кроме того, для бегущих волн сннусондальной формы влллянлле диссипации очень существенно зависит от ~астоты ал. Действительно, средняя скорость дисснпацнн (203) для таких волн равна отногнению 6 (ю'с)х к средней акустической энергии (51), что на каялдом периоде 2лсю распространения волны дает относительную потерю акустической энергии, равную 2я олб/с', (204) Как было указано выше, мы будем рассматривать только такие частоты, при которых относительные потери акустической энергии (204) за один период илн на одной длине волны малы по сравнению с единицей. Тогда любое локальное соотношение между величинами в звуковой волне, подобно самой формуле (51), будет служить хорошим приближением в рассматриваемой теории.
1. двувовве вовам Уравнение движения, выведенное нз уравнений (199) и (200), имеет вид дзр/дР = сидор/дхв + бдар/дхвдГ (205) Здесь оно записано для р, хотя из (т98) и (197) нетрудно показать, что и, и о„удовлетворяют такому же уравнению. Член вида р, (х,) ехр (/юГ) в разложении р, представляющий сннусоидальные колебания с частотой во, должен удовлетворять уравнению (сз + /юб) йвр,,'Йхв =- — во'р, (206) с решениями, пропорциональными ехр (-~- их1), где я = — ио (сз-). (ьб) м (/ео/с) ( Х вЂ” —. /воб/ст), (207) что является хорошим приближением при малых значениях величины (204). Верхний и нижний знаки относятся к волнам, бегущим влево и вправо соответственно, н видно, что каждая волна теряет долю (204) своей энергии на своей длине 2яс/оь Например, если волна бежит через х, =- 0 в невозмущенную я;идкость, заполняющую полупространство х,)0, то р, (х,) = — р, (0) екр ( — имх,/с — — х,возб/с') (208) и распределение энергии пропорционально екр ( — х,ю'6/св).
Члены вида р, (х,) ехр (/ю1) в р (хп 1) соответствуют решению 6)-1/з з/з ~ ( ~ е~(т — в-рх,/) ~ (209) найденному методом Фурье для волны, бегущей в заполняющую полупространство х, ) 0 невозмущенную жидкость, с произвольной зависимостью от времени р (О, г) при х, — — О. Это решение следует сравнить с решением для плоской волны без дпссипации р (О, в — х,/с). Действительно, выражение (209) представляет собой осреднение ио времени величины р (О, Т) с весом, соответствующим гауссовскому распределению с центром в Т=-- = — 1 — х,/с и стандартным отклонением (х„б)мвс-з!з, так что влияние дисснпации должно постепенно сглаживать нерегулярности, подобные локальным областям с большими градиентами, за счет осреднения величин на этом //величивающе.вся интервале.
Здесь имеется близкан аналогия со сглаживанием распределений за счет диффузии, и поэтому 6 называют коэффициентом диффузии звука. с.се. Да«авиация акрсксииескай «версии Для иногих жидкостей справедлива линейная аависимость (204) относительных потерь акустической энергии на длине волны от частоты сй (во всяком случае, когда эти потери остаются малыми, как здесь предполагалось, но не настолько, чтобы их невозможно было измерить!). Для таких жидкостей измеренный наклон кривой этой зависимости определяет величину 6, так что можно предполагать, что формула (200) служит хорошей аппроксимацией в рассматриваемом интервале частот.
Такой способ определения 6 может оказаться практически более полезным, чем любая теория, учитывающая вклады в 6 от эффектов вязкости, теплопроводности и запаздывания при установлении термодинампческого равновесна, в частности потому, что эффекты запаздывания не легко оценить количественно посредством иных измерений. Тем не менее мы изложим теорию в обгцнх чертах для частного случая совершенного газа в основном для того, чтобы показать, каким образом можно отделить эффекты вязкости и теплопроводностн от эффектов запаздывания, и понять, почему для некоторых газов диссипация энергии на длине волны имеет более сложную зависимость от ю с «резонансньыпи пиказпнс Запишем 6=6, +бе-бь (210) где индексы щ с и 1 означают вклады вязкости, теплопроводностн и запаздывания в изменения плотности р, а следовательно, и «среднего давления» Рси = 3 (Рп .
Раз+ Рзз)с (211) равного среднему значению нормальных напрнжений в трех перпендикулярных направлениях. Для совершенного газа этп напряжения, как уже отмечалось, обусловлены потоком импульса при движении молекул относительно средней скорости и;жидкости с собственными скоростями флуктуаций о;, что определяет Рп суммированием Ми', на единицу объема, где М вЂ” масса молекулы. Отсюда суммированием на единицу массы величины —,' М(,'+",+".), (212) т.
е. поступательной составляющей внутренней энергии Г на единицу массы, получаем (3/2) (Р !р). Каждый раз, когда работа сжатии увеличивает Ь' на величину (25) в ответ на увеличение плотности с(р, эта поступательная составляющая энергии (3/2) (р /р) растет несколько быстрее, чем равновесная часть Е, особенно при быстрых изменениях, так как для дру- '106 1. Зодкоогго оозны гнх составляющих энергии (вращательная, колебательная) требуется больше времени, чтобы отреагировать на эти изменения, и фаза рм опережает фаау р.
Хотя уравнение (200) не дает способа разделения вкладов вязкости и аапаздывания в Ь прн достижении термодипамического равновесия, очевидная связь такого запаздывания со средним давлением Р позволяет предполоялить, что в качостве истинно вязких эффектов следует рассматривать только отклонения тензора напряжений от пзотропного вида р Ьоя Считая, что вязкость дает вклад только в Р;; н не вносит вклада в Р„„очевидно, нугкно полояылть 1 Р„=- — р,б„ди,)дх„ргг =- Р„= — рободил/дх,, (213) так как в силу симметрии Ргг = Роо. Не очевидно, каким образом связать эти законы с обычным определением вязкости р, которое в параллельном сдвнговом движении (и,(хг), О, 0) дает касательное напряженно (214) Р„= — Р„= рди,'дх„ но мы можем построить сдвиговое движение нз простого Раетлхееиил ди, дх„добавляя к нему равное простое сжатие противоположного знака в перпендикулярном направлении, что дает 1 Ргг — — — РоЬ„диг'дхг Ргг = Рн = — 2 Роб„диг1дхг, (215) где диг~дхг = — дил(дх„дио~дхо = О.
(216) В курсах гидродинамикн показывается, что возникающее в результате движение без изменения плотности, называемое чистой деформацией, является параллельным сдвиговым движением в плоскости (х„хг) в других осях (составляющих углы 45' с осями х, лл хг); система вязких напряженллй (214) в этих осях запишется как р„=- — 21лди,,'дх„р,г = — 2рди„'дх„ро, = О. (217) Сравнивая (217) и сумму (213) и (215), получаем величину вклада в коэффициент диффузии звука за счет вязкости 3 (218) Прежде чем исследовать вклад от запаздывания, отметим несколько менее очнвидкый вклад, обусловленный коэффициен- а.1а. Диссинация анвстинеснса анераии 107 том теплопроводности )с.
Он определяется таким обрааом, что там, где кривая зависимости температуры Т от расстояния х, обращена вогнутостью вверх, скорость увеличения внутренней энергии на единицу объема содернсит положительный член (219) )сдаТ7дх„' а именно градиент потони тепла. — )сдТ7дх, на единицу площади, возннкаанций в результате изменения температуры. Физически это объясняется тем, что при дюТ7дха - 0 средняя молекулярная энергия меныпе средней энергии соседних молекул и, следовательно, имеется тенденция ее увеличения за счет диффузионных процессов.
Для того чтобы оценить, исходя из выражений (219), соответствующий вклад в медленное акустическое затухание, можно использовать соотношения между температурой, давлением и т. д. для незатухающих звуковых волн. Для данного избыточного давления р — р„ избыточная температура в силу формул (26), (27) и (37) будет равна Т вЂ” Т„= (1 — 7- ) (р — р,)ДНр,). (220) Следовательно, скорость увеличения внутренней энергии (219) можно выразить через дюр7дх,*, а с учетом (199) через дюр'д1ю следующим образом: (1 — у Я) ()с7(Нрю)) дюр,'дгю (221) Согласно уравнению (26), при заданном др(дг это дает некоторый вклад в др!дг, такой, чтобы соответствующий вклад в скорость увеличения внутренней энергии рЕ ка единицу объема (с,дН) др7дс (222) принимал значенпе (221).
Отсюда находим вклад в коэффициент диффузии звука в уравнении (200) за счет теплопроводности, равный 6, = (1 — у ') )с'(рюс,). (223) Из всех элементов, входящих в 6 в уравнении (200), мы определили коэффициент б„учитывающий отклонение р„от среднего давления р, н коэффициент б„учитывающий отклонение от уравнения (25), предполагающего отсутствие притока тепла.
Теперь предположим, что уравнение (25) и соотношения ры = р 6;1 выполняются, и найдем коэффициент 60 который учитывает запаздывание непоступательных составляющих внутренней энергии Е по сравнению с изменением ее поступательной составляющей ю/ю (р 1р). 1. Звавввые ввлыве Предположим, что внутренняя энергия найдена в виде разложения по модам молекулярного движения, которые перенумерованы как О, 1, 2,... и энергия которых меняется на величллну Г„д(р /р) при малых измененинх р !р, но только по истечения времени запаздывания т„. Здесь и = О относится к поступательной энергии, так что Ев = '1, и тв =-- О, а значения и ) О относятся к вращательным илн колебательпьвл модам, для которых т„) О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
