Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Заметим, что изменения площади поперечного сечения ограничивают массовый расход н поэтому входят в уравнение (4), так как масса не может пересекать гракицу трубы. С другой стороны, эти изменения не могут влиять на баланс количества движения и входить в уравнение (3), поскольку граница трубы действует на единицу площади элемента объема жидкости с той же игменяющей количество движения силой р„что и соседние с ним элементы жидкости. 2.1. Продольные волив в трубах и каналах 121' Вся гл. 2, за исключением изложенного в равд. 2.7 учета обусловленной трением диссипации и кратких исследований ее влияния в других местах, основана на приведенных выше общих уравнениях для продольных волн в жидкостях (2) — (4) и уравнении сохранения энтропии для частицы жидкости (равд.
2.6). В равд. 2.1 н 2.2, однако, следствия из этих уравнений выводятся, во-первых, только при условии, что свойства жидкости, включая ее энтропию Я, а также свойства трубы (или канала) считаются продольно однородными, так что уравнения (2) принимают вид р = р (р,), А = А (р,), (5) и во-вторых, в предположениях линейной теории, т. е. пренебрегая квадратами возмущений (скорости жидкости и и избыточного давления р,).
В линеаризованном виде уравнения количества движения (3) и неразрывности (4) суть роди!дс = — др,(дх, д (рА)!д1 = — р,А,ди,'дх, (6) где р, и А, даются формулами (5) пря р, =- О. Исключая из них и, получаем д'р,'дха =- А,'д'(рА)уды. (7) В рамках линейной теории это можно записать как одномерное волновое уравнение д'р !дха =- с 'д'р /д1' (6) где скорость волны с определяется выражениями с а = — А ', [д (рА)'е(ре)р (9) 'Таким образом, если свойства жидкости и трубы (или канала) однородны в продольном направлении, то линейная теория приводит к тому же самому одномерному волновому уравнению, которое описывает плоские звуковые волны, с тем отличием, что значение скорости волны с оказывается измененным вследствие растян<имости трубы (илп канала).
Действительно, уравнение (9) можно записать в виде р 'с а = ((рА) 'е( (рА уе(ре)р = (р-едрlдр + А МА(гор,)р о = К + )7, (10) где относительное увеличение плотности и относительное увеличение площади поперечного сечения, приходящиеся на единицу увеличения давления, называются соответственно сжимаемо- стью жидкости К и растяжимостью трубы (или канала) Хл. 122 3.
Одмомерния вояки о жидкостях Другими словами, все обстоит точно так же, как в теории плоских звуковых волн (где р,'с ' = К), если принять, что .вффенягивная сжимаемость жидкости в трубе (или канале) является суммой истинной сжимаемости К и упомянутой растяжимостн Й. Примеры использования этого правила приведены в равд.
2.2. В то же время скорость жидкости в направлении распространения бегущей волны равна (р,с) 'р, (где р, = р — р,), в точности как в равд. 1.1. Например, р, = 1 (с — х/с) (11) — решение уравнения (8), описывающее волны, бегущие в по.лохсительном х-направлении, дает после его подстановки в линеаризованное уравнение количества двюкения формулу м = (Рос) Ре1 (12) совсем как для плоских звуковых волн. 2.2. Примеры, относящиеся к эластичным трубам и открытым каналам Для одного важного класса продольных волн, а именно для тех, которые возникают в открытых каналах и, вероятно, кажутся совершенно непохожими на авуковые волны, оказывается возможным удивительно просто рассчитать растяноимость В и, следовательно, применить линейную теорию нз равд.
2Л для однородного невозмущенного состояния. Можно считать, что поперечное сечение канала имеет произвольную форму, которая, однако, должна удовлетворять допущению о продольной однородности, т. е. быть одинаковой по всей длине капала. В невозмущенном состоянии жидкость покоится, ее свободная поверхность горизонтальна н имеет ширину Ь, а площадь каждого поперечного сечения, находящегося ниже уровня жидкости, равна Ао. При отсутствии возмущений распределение давления ро определяется согласно гидростатике: в системе координат, в которой з отсчитывается вверх от невозмущенной свободной поверхности (так что — з есть расстояние вниз от нее), (13) Ро = Ро — Роба~ где р, — атмосферное давление. В момент времени г, когда это состояние претерпело возмущение и давление увеличено на некоторую величину р, по всемУ л.в.
Лрилерв т23 данному поперечному сечению (обозначаемому его координатой х), новая высота свободной поверхности х= ь(х, г) (14) юпределяется из условия, согласно которому давление р =. = ра + р, должно равняться атмосферному давлению р, прн л —.— ь, что дает Ре = Роу1. (15) Следовательно, вся свободная поверхность данного поперечного сечения поднята на одно и то же расстояние р,1ргу, необходимое для создания на этом расстоянии под ней избыточного давления р,. Соответствующее увеличение площади поперечного сечения г1 заполненной части канала (если пренебречь квадратичными по ~ членами) есть А = А, = Ь". =-. Ь (р,у)-'р,. (16) Отсюда выводим, что растяжимость о ( ' рв)в =-В ~'е дается формулой (17) 1~ = Ь (роуАо) (1З) Обычно эта растяжимость (18) настолько значительна, что е формуле (10) сягнмаемостью жидкости К можно пренебречь, что дает с = (уАв)ад Ыз = (уй)гтг, (19) где величина й для невозмущенного поперечного сечения есть его площадь А „разделенная на ~пкрину его свободной поверхности Ь; тем самым получаем значение глубины воды, усредненной по ширине канала, известной под названием «гидравлической средней глубины» Ь.
Заметим, что если Ь имеет аначеиия примерно от 1 м до 100 м, характерные для ручьев, каналов а рек, то скорость волны принимает значения примерно от 3 до 30 м!с. Несущественность сжимаемости К в (10) подтверждается малостью этих значений по сравнению со скоростью звука (1400 и/с в воде). Основное допущение одномерного распространения волн, состоящее в том, что продольные движения жидкости велики ио сравнению с поперечными, можно теперь подвергнуть проверке. Среди поперечных движений в плоскости поперечного сечения преобладают вертикальные смещения свободной поверхности (14). Для всякой бегущей волны их можно связать с продольной скоростью и формулами (15) и (12), что дает ~ = си!у = Ьи/с, (20) е24 2. Одномерные волны в жндноотнх- где второе выражение для ь выведено нз первого с использованием формулы (19).
Поперечные движения порядка д ьсдг будут тогда малы по сравнению с и, если характерная угловая частота со (отношение характерного значения дьсдс к характерному значению ~) удовлетворяет соотношению соЫс «1, (21) согласно которому гидравлическая средняя глубина Ь «компактна» по отношению, конечно, не к скорости звука, но к значительно более низкой скорости длинных волн в каналах (19).
Другими формами выражения (21) служат формулы Ь «)л(2я) и ср » 2л (Ь(у)Ч», (22р Первая из них требует, чтобы длина волны Х = 2лсею была очень велика по сравненшо со средней глубиной Ь; на самом. деле, как будет показано в гл. 3, одномерная теория дает для скорости распространения ошибку меньше 3%„если Х ) 14Ь Эквивалентное ограничение на период тр — — 2Ысо требует, чтобы. он был велик по сравнению с параметром, который для глубин. от 1 до 100 м меняется от 2 до 20 с.
Продолысые волны в открытых каналах — это, следовательно, «длннные» волны (характерная длина волны которых велика по сравнению со среднеи глубиной), возбуждаемые силовыми воздействиями с длительными характерными периодами (по сравнению с этими стандартными значениями порядка нескольких секунд). Покажем теперь, как можно оценить растяжнмость тонкостенной эластичной трубы, чтобы затем использовать эту оценку для аналогичного научения распространения волн. Если при отсутствии возмущений внутренний радиус трубы равен а„ а толщина стенки Ь, то избыточное давление р„действующее" изнутри, создаст на единицу длины трубы окружное растяжение а,р,.
Этот простой закон (один из многих, приписываемых Лапласу) проще всего попятго представив себе, что отрезок трубы, длина которого равна единице, разделен на дзе равные части полукруглого поперечного сечения; они отталкиваются друг от друга внутренним давлением р„действующим иа разде— ляющую их поверхность площадью 2а„что создает силу 2аорее уравновешенную окружным растяжением, приложенным к обоиэс соединениям мелсду частями. Это окружное растянсение аор, действует на участок поверхности материала трубы площадью Ь (снова на единицу длины трубы), откуда получаем окружное растягивающее напряжение. (силу, действующую на единичную площадку, нормальную к этой силе) (23р аоресЬ Для тонкостенных труб (т.
е. при й « а) окружное напряжение (23) значительно превосходит по величине радиальное напряжение (которое меняется от р, внутри до О снаружи). В ахом случае напряженное состояние материала стенки трубы приблизительно соответствует условиям простого «испытания на растяжение», проводимого в окружном направлении при ,напряжении (23), Соответствующую окружную деформацию (относительное увеличение окружности трубы) можно записать в виде (24) а«р,!(ЬЕ), тде упругие свойства материала стенки трубы при малых напря.жениях описываются модулем Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
