Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Если условие компактности не выполнено, то такой подход применим лишь к значительно более узкому кругу геометрически простых задач, вроде вадач из равд. 1.11 и 1.12. Однако в этом случае напрашивается другой метод, основанный на прослеживании лучей, который можно использовать для решения многих задач прк противоположном условии, а именно при условии, что геометрические размеры велики по сравнению с длиной волны. Фундаментальные исследования, показывающие, почему в этом предельном случае лучи играют важную роль, излагаются в гл. 4, однако в этой главе правилу равд.

1.11, определяющему амплитуды в геометрической «кустике исходя из посглоянстэа полюка энергии вдоль трубки лучей, будет дана критическая оценка как одному из аспектов распространения волн в трубах и каналах. Затем будет предпринято расширенное исследование условии линейности и изучены некоторые замечательные явления, связанные с нарушением этого условия. Представляет интерес выяснить, при каких обстоятельствах постоянство потока энергии может быть нарушено продольной неоднородностью поперечного сечения трубки лучей (или даже плотности н температуры жидкости, через которую она проходит), что делает возможным отражение части акустической энергии вдобавоц к ее диссипации, рассмотренной вразд. 1.13.

В настоящей главе содержится общее исследование л.л. 77родолъяме лолли л трубах и каналах 117 распространения и отражения акустической энергии в трубах с учетом как внезапных, так и постепенных изменений площади поперечного сечеяия и состояния жидкости; это исследование, в частности, позволяет выяснить упомянутые выше обстоятельства (равд. 2.6). Здесь, однако, мы будем иметь дело с распространением волн не только по абстрактным «трубкам лучей», но также и по вполне осязаемым трубам с твердыми стенками...

Важным примером служит рупор громкоговорителя. Он позволяет вибрирующей мембране (настолько малой, что ее можно считать акустически компактной) генерировать звук не с низкой эффективностью, как в случае трехмерного излучения, а со значительно большей эффективностью плоской волны. Зто достигается путем излучения вдоль трубы с твердыми стенками, постепенное возрастание площади поперечного сечения которой сохраняет поток энергии и передает его неизменным к открытому концу, достаточно широкому, чтобы эффективность излучения в окружающую среду была хорошей. Дополнительные причины, побуждающие исследовать звуковые волны в трубах, содержащих воздух или воду, связаны соответственно с задачами изучения духовых музыкальных инструментов или раздражающего явления «гидравлического удаРа» в водопроводных сетях.

Фактически здесь рассматривается всякое распространение волн в твердых заполненных жидкостью трубах, если оно является продольным в том смысле, что составляющие движения жидкости, параллельные оси трубы, обладают значительно большей кинетической энергией, чем любые составляющие, перпендикулярные этой оси.

Позже в рассмотренной в равд. 4.13 теории волновода будет показано, что «основной модой» распространения звуковых волн любой частоты служит именно эта продольная мода, тогда как распространение других, отчасти поперечных мод возможно только при частотах, превышающих некоторое критическое значение (для которого длина волны сравнима с диаметром трубы).

Продольные волны, изучаемые в гл. 2, являются, следовательно, единственно возможным типом распространения акустических возмущений с частотой ниже этой критической частоты, и, кроме того, онн интересны при всех частотах. При сделанных ограничениях теорию продольных движений легко обобщить, допустив, что стенка трубы растяжима, т. е. отвечает на изменение давления пропорциональным изменением площади поперечного сечения относительно ее локального значения в отсутствие возмущения.

Это позволяет распространить теорию гидравлического удара на звуковые волны в тонкостенных эластичных трубах, заполненных жидкостью; И8 2. Одномернае волна в жидкостях сжимаемость жидкости и растяжимость трубы можно непосредственно складывать (см. уравнение (10)), хотя последняя лишь в незначительной степени снижает скорость распространения возмущений для практически используемых водопроводных сетей. Как ни странно, теория непосредственно применима к распространению пульсовой волны в артериях.

Растяжимость артериальной стенки столь велика, что по сравнению с ней сжнмаемостью крови можно пренебречь, и поэтому соответствующая скорость распространения (равд. 2.2) па два порядка меньше скорости звука. Тем не менее при прохождении пуль- совой волны радиус артерии увеличивается и сокращается ливть на несколько процентов от его певозмущенного значенпя, а для этого достаточны радиальные двюкения, пренебрежимо малые по сравнению с продольными. Мы видим, что понятие одномерных волн в жидкости — это весьма гибкое понятие! Оно охватывает волны в трубах или каналах, поперечное сечение которых может иметь весьма общий впд и к тому же изменяться в ответ на локальные изменения давления.

Еще один неожиданный пример — зто вдлипные волны» в открытых каналах, заполненных водой. Здесь нас интересуют каналы с произвольным поперечным сечением, заполненные до определенной высоты. Прохождение «длинной волны» (длина которой превышает глубину канала) представляет собой изменения уровня поверхности воды, вызывающие как изменения площади поперечного сечения, так и изменения давления на любом заданном уровне, сипфазные колебаниям уровня и, следовательно, друг другу. Отсюда следует (равд. 2.2), что все допущения теории продольных волн выполнены.

Чтобы избежать недоразумения, мы подчеркиваем, что описанные выше волны — это не общеизвестные поверхностные волны на воде, рассмотрение которых откладывается до гл. 3; они представляют собой ншконасшолсные явления, для которых длина волны может быть велика по сравнению с глубиной; крайний случай этой ситуации — приливные движения, вызванные Луной, период которых составляет полови~у суток. Эти примеры неакустических продольных волн ставят не меныпе вопросов, чем примеры из области акустики, относительно влияния постепенных изменений поперечяого сечения: что, скажем, происходит, когда приливные движения распространяются вверх по сужающемуся эстуарию или когда пуль- совая волна проходит по сужающейся артерии? Скачкообразные иаменения также представляют интерес; существуют в то же время особые причины, заставляющие научать распространение волн в разветтывенных системах, таких, как сердечно-со- в.1.

Пробельное волна в трубах и каналах судистая система или система притоков реки, и выяснять, какая часть энергии волны войдет в каждую из ветвей. Линейная теория продольных волн в трубах и каналах излагается в равд. 2.1 — 2.7, начиная (в первых двух разделах) со случаев, в которых свойства трубы (или каяала), а также жидкости, однородны вдоль нее. В следующих четырех разделах объектом изучения является влияние неоднородности этих свойств, как скачкообразной, так и постепенной, причем в равд.

2.4 рассматривается случай разветвленных систем. Диссипация энергии, которая в этих шести разделах считалась пренебрежимо малой, исследуется в равд. 2.7. Хотя механизмы диссипацпи, разобранные в равд. 1.13, описывают зто явление как для абстрактных «трубок лучей», так и для труб с твердыми стенками, во втором случае появляется дополнительный, более мощный источник днссипации — торможение продольных двшкений у твердой стенки за счет трения.

Вся теория далее обобщается, чтобы учесть также нолииейные эффекты. Выясняется, что они обусловливают не просто количественное изменение поведения распростра»ыпощихся волн, но н некоторые качественно новые явления, имеющие аамечательные свойства. В особенности следует отметить образование раврывной волны (например, ударной волны, ялн же гидравлического прыжка) из непрерывной волны. В равд. 2.8— 2.12 излагается нелинейная теория распространения волн в однородных трубах или каналах, а в равд. 2.13 показывается, как ее можно обобщить, чтобы учесть продольную неоднородность поперечного сечения и свойств жидкости или же диссипацию, обусловленную трением; в равд.

2.14 продолжен вывод изменений, которые необходимо ввести в геометрическую акустику в связи с требованиями, налагаемыми пелинейностыо. В частности, в этих разделах намечены принципы, позволяющие предсказать, в какие дни будет образовываться «бора» на реке Северн. или вычислить интенсивность звукового удара от сверхзвукового самолета. Теории продольных волн как в абстрактных «трубках лучей», так и в твердостенных трубах, построенные с учетом нли без учета неоднородностей, нелинейности илн же вызванной трением диссипации, основаны на допущении, что изменения избыточного давления Ре Р Ро в пределах поперечного сечения пренебрежимо мальв Здесьр,— невозмущенное гидростатическое давление, так что ускорение жидкости вызвано градиентом именно избыточного давления р . Дви»кения, порожденные продольными градиентами р„ 120 2.

Одномерные волны е тндкоетяя могут быть велики по сравнению с порожденными поперечными градиентами, если только р, пренебрежимо мало ивменяется в пределах каждого поперечного сечения. По причинам, указанным в равд. 4.2е мы будем и далее пренебрегать изменениями плотности р внутри любого поперечного сечения (определенного, скажем, его расстоянием х от одного из концов трубы) и считать, что как р, так и площадь поперечного сечения А связаны с локальным избыточным давлением р, соотношениями р = р(р„д), А =-А(р„х), (2) определяющими сжимаемость жидкости при данной энтропии Я н растяжимость трубы или канала для данного расстояния х. Эти общие выражения охватывают, конечно, более простые особые случаи, вроде звуковых волн в жестких трубах (где А не зависит от р,) илн длинных волн в открытых каналах, заполненных водой (где р монино считать постоянной).

Во всех точках любого поперечного сечения наблюдается один и тот же продольный градиент р„а следовательно, одно и то же ускорение жидкости (если пренебречь тормозящими силами трения; об их влиянии см. равд. 2.7); поэтому, наконец, в этих точках будет одна и та же скорость жидкости и, удовлетворяющая уравнению р (ди!д1+ иди1дх) = — др,~'дх, (3) представляющему собой формулировку утверждения о том, что плотность, умноженная на ускорение, равна силе, действующей на единицу объема (представленной здесь взятым со знаком минус градиентом избыточного давления). С другой стороны, уравнение неразрывности для продольных движений учитывает изменения площади поперечного сечения: (4) д (рА)!дс + д (рАи)!дх = Π— это уравнение, утверждающее, что скорость изменения рА — массы, приходящейся на единицу длины, равна взятому со знаком минус продольному градиенту лассового расхода рАи.

Характеристики

Список файлов книги