Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В достаточно медленных процессах времена запаздывания пренебрежимо малы, и мы имеем обратлплые изменения с И (р„, р) .= Л ЙТ; тогда АЕ = (~л Р„) Л дТ, откуда ~ Р, = с,.'Л. (224) Прн изменениях более быстрых, но все еще медленных в масштабе времени запаздывания т имеем олЕ .— ~~ Ев (1 — т д.'дЛ) Ц (Р,~Р) = = — (с,!Л вЂ” ~~ Рвт д1дг) И (р,„'р). (225) Для определения 6~ мы воспользуемся соотношением (25) в виде дЕ = р р вдр,как уже было указано выше. В результате получаем соотношенио р„,р ~др =- (св(Л) с((р„„'р)— — (~~ Е„тв) (д!дт) ((Л/с,) р р ' др). (226) др =.— с' Ир -(.
6, (д/д1) л(р, где сл определяется ллз (27), а (227) 6~ -— -- (Л(св)л р,„о л ~~~ Евт„= (у — 1)з (сюу) У, Р„т (228) является вкладом в коэффллциент диффузии звука от запаздывания. Все слагаемые (218), (223) и (228), входящие в 6, обратно пропорциональны плотности прлл заданной температуре, так как р, 7е и Ев зависят только от температуры, в то время как времена запаздывания т„представляют собой величины, кратные среднему времени между столкновениями, т. е. обратно Здесь в последнем члене, который оказывает малое влияние на затухание, д (рв,!р) было заменено соответствующим значе- нием для незатухалощих волн. Уравнение (226) можно пере- писать как а.1о. Диссииацик акустической энергии г09 пропорциональны плотности. Следовательно, относительная потеря энергии на длине волны (204) при заданной температуре будет зависеть от отношения частоты к давлению, которое может быть измерено в МГц!бар.
Для одноатомных газов вся внутренняя энергия состоит только из поступательной составляющей и, значит, бг .— — О. Прн 6 = бс + 6, (два сравнимых вклада) выражение (204) согласуется с результатами экспериментов в гелии и аргоне при отношениях частоты ь давлению, лссныиих 100 МГцг'бар, но больших 1 МГц,'бар; при этих условиях относительные потери энергии соответственно малы по сравнению с 1, но н достаточно велики, чтобы преобладать над другимн эффектамн, подоонымн обусловленным нелннейностью эффектам, которые изучаются в гл. 2.
Для некоторых двухатомных газов, например для азота, единственной непоступательной модой, оказывающей влияние на затухание, является вращательная, скажем и =- 1 с Г, =- 1; измерения относительных потерь акустической экергии на длине волны прп атмосферном давлении соответствуют времени запаздывания т„равному примерно 0,9 нс или пгести средним временам между столкновениями, т. е. требуется в среднем около шести столкновений для того, чтобы установилось равновесие вращательной и поступательной энергии молекул азота. Соответствующий вклад от учета запаздывания бг добавляет около 40"'о в бо + б„и тогда выражение (204) дает хорошие результаты для отношений частот к давлению, равным примерно 10 МГцг'бар я менее.
При значительных колебательных модах многоатомных молекул времена запаздывания получаются ббльшими. Даже при температурах, при которых такая мода едва возбуждена и г"„ настолько мало, что слабо влияет па удельную теплоемкость (224), она будет главной в 6, поскольку выражение (228) для ее вклада содержит большой множитель го. При атом, однако, применимость нзлонсенной теории ограничена из-за того, что оэг„в приближенном соотношении (225) должно быть мало. Более сложные теории затухания звуковых волн с более высокими частотами ог приводят к уравнениям вида (200), где величина 6 и даже с' зависят от частоты.
Несколько более точной аппроксимацией в смысле учета времени запаздывания в (225) является замена (1 — тнд)дг) на (1 + т,сы) ' =. (1 + таоба) ' (1 — ткд!дГ), (229) что приводит вместо соотношения (228) к соотношению бг = (у — 1)'(с'ру) Брита (1 + тисо') '. (230) 1. Звуковые волны 0,5 0,4 0,5 Од О 1О 1О в 10 е 1О ' ! 10 Рве. 10, Экспервментальная кривая относительных потерь энергия на длине волны для звуковых волн в С04 в завнснмостп от отношения частоты к давлению в ЫГц(бар. Этп результаты хорошо опксываются формулой (о04) с: (9 постояннымп вкладами в Ь (прнводящпмв к быстрому подъему кривой прп отношениях частоты к давленню свыше 1 ЫГц)бар), обусловленнымн вязкостью, теплопроводностью в запаздываннем в установлении равновесна вращательной энерпвн, н (и) зависящим от частоты вкладом (430) (дающим резонансный пнк), обусловленным вапаздываннем в установлении равновесна колебательной энергии.
Этот вклад в коэффициент диффузии звука не зависит от частоты о> только при малых значениях шс„. Действительно, каждая мода дает вклад в относительную потерю энергии (204) на длине волны, который достигает максимума (231) л (у — 1)'у 1г'„ при сэ =. т '„, а затем снова убывает при увеличении частоты. Если построить кривую зависимости относительной потери энергии нв длине волны от отношения частоты к давлению, подобно кривой для ООз на рис. 19, то на ней появится нечто похожее на резонансный пик (в данном случае величина шика равна 0,23) при характеристической частоте ш =- т '„. Происходят соответствующие изменения и в величине с'. Когда шт, мало, квадрат скорости звука с' мало отличается от обычной величины; с увеличением ют„квадрат скорости звука возрастает (увеличиваясь в действительности на множитель упражнения я главе 1 1+(у — 1)'у 'Г„), а изменения колебательной энергии больше не дают вклада в вз в уравнении (225) после проведения в нем замены (229).
Это большее значение скорости звука, соответствующее изменениям столь быстрым, что величина колебательной энергии в газе остается постоянной или ссзахсоровссенпойсз и уже пе влияет на удельную теплоемкость, обычно называется замороженной скоростью звука. Атмосферный воздух из-за влияния колебательной моды в кислороде имеет резонансный пик относительяой потери энергии на длине волны, подобный тому, который изображен на рис. 19, хотя величина его на два порядка меньше и равна 0,0022 при 20'С (соответствующие изменения скорости звука едва заметны).
Интересно отметить, что величина крссгпческой частоты т '„существенно зависит от концентрации варов воды, которые способствуют возбуждению этой моды. Другие процессы, которые приводят к зависящим от температуры поправкам для распределения энергии в жидкости (например, испарение и конденсация в двухфазных смесях илп ионизация и рекомбинацин з газах пр~ высоких температурах), могут также влиять на акустическое затухание на длине волны, давая пиковые значения прл некоторой характерной для данного процесса частоте и последующий спад кривой. однако прп этом изменение скорости звука (от равновесного до «заморожеппогоз значения) мало. Заметим также, что затухание совершенно другого типа, связанное с касательныхш напряжениями (214), играет важную роль каждый раз, когда звуковые волны распространяются но касательной и твердой стенке.
например прп распространении звука в трубе с твердыми стенками; этот случай кратно рассматривается в гл. 2. За дальнейшими подробностями относительно процессов днссипацни в жидкости следует обращаться к равд. 3.5. Упражнения н главе 1 1. Используя одномерные решения (15) и (16), решить для волнового уравнения (13) следующусо задачу Квиги: при е = О скоростыс давление гквдкости заданы формулами и = иг (х), и = ю = О, р — ре = рг (х); показать, что в любав последующий момент времени с выполняется соотношение 1 р — ре — — — (рг (х — се)+рг (х+ с«))+ — ргс )иг (х — сс) — ис (х+с«Я, 2 н найти скорость жидкости.
1. двуколке волна 2. Для жидкости, удовлетворяющей уравнению состояния Ван-дерВаальеа р = ВТр (1 — Ьр)-о — арз, показать, что удельная теплоемкость е зависит только от теьшера- туры л что скорость звука с определяется формулой ев =- ЛТ (1 -- Ьр)-в (1 + Ве ) — 2ар. [Постоянные а и Ь, введенные в уравнение состояния Вал-дер-Ваальса, учитывают два аффекта, Члеп Ьр отражает увеличение переноса количества движения через поверхность в жидкости вследствие того.
что доля Ьр объема недоступна для движения молекулы иа-аа блиэкодействующего поля спл отталкивания, окружающето кюкдую пз остальных молекул. И наоборот, член арз отра кает уменьшение давления прп переходе череа поверхность в жидкости, обус:ювленное дальнодействующим полем спл притяжения между двумя молекулами, расположснныип по рааные стороны от этой поверхности.) 3. Доказать, что па определения (77) следует равенство (и!Й)че ехр (ио1) =-(по)чвехр Пые).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
