Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Остальные элементы квадруполя Т;, соответствуют членам суммыс) =2иЗ. Такое определение показывает, каким образом входит два направления в напряженность квадруполя, соответственно являющуюся тензорной величиной. Заметим, что диагональный элемент этого тензора, например Тьо соответствует конфигурации диполей, расположенных вдоль прямой (рпс.
16), обычно называемой продольным квадруполем, тогда как знедпагональпый элемент, например Т, соответствует конфигурации диполей, сдвинутых в перпендикулярном направлении, называемой поперечным квадруполем. Результаты, приведенные в данном разделе, показывают, что возмущение без монопольного или дипольпого излучения, например струя без флуктуаций массового расхода и при отсутствии внешних сил, действующих на жидкость, по-видимому, будет включать главным образом квадрупольное излучение, связанное с тепзором игбыьчочного потока количества деигке- 86 1. Звзновыв волны нил Тоо С зпш связано чрезвычайно большое отношение интенсивности звука ближнего поля к интенсивности звука дальнего поля, как это было установлено экспериментально для турбулентных струй.
Соответствующим решением уравнения (152) является выражение сз (р(х) — р ) = — (д~)дх;дх ) ~ [Ты(у, 1 — г/о))(йла)) ду, (164) полученное просто как производная д",дх;дав от решения для линейного волнового уравнения с Т;; в правой части в соответствии с рассуждениями, приведепнызш после уравнения (162). Соответствующее дальнее поле представляется выражением сз (р (х) — р ) =.—. ~ (г,гзТгт(у, 1 — г(о)!(4ягзсз)) в1у, (165) в которое входит вторая производная по времени, получающаяся в результате двукратного дифференцирования в (164) по времени запаздывания 1 — г~с. При увеличении скорости струи флуктуации Т;;, определяемые выражением (150), увеличиваются как 0', а нх характеристическая частота также увеличивается как Г, так что Ты в (165) увеличивается как (1в.
Таким образом, амплитуды дальнего поля меняются как И, в то время как шатепсивность и выходная мощность меняются как 11в. Такая удивительная зависимость акустической выходной мощности от столь высокой степени скорости струи является прямым следствием квадруползното характера излучения.
В проведенных выше рассуждениях было использовано уравнение движения жидкости (2) без учета вязких напряжений, но оказывается, что включение последних дает малый дополнительный член в Т„(см. равд. 1.13). Следует отметить также, что условие акустической компактности (91), оказывается, требует специальной формулировки для турбулентных течений: входящая в него величина 1 представляет собой эффективный размер визрвй, излучающих котерентно, а произведение о>в, как правило, является величиной порядка среднеквадратичной флуктуации скорости, которая обычно такова, что условие компактности ю1(( с выполняется. Дальнейшее обсуждение зтих и многих других вопросов, касающихся излучения звука потоками жидкости, мояоно найти в специальных монографиях и статьях.
1 11. Излучеиие «т сфер 1.П. Излучение от сфер При обсуждении генерирования звука до сих пор основное внимание уделялось акустически компактным областям, которые (будучи, однако, сложными в других отношениях) позволяют с хорошей степенью аппроксимации задавать дальние поля при помощи довольно простых правил, например при помощи уравнений (105) или (112). Во введении в теорию звука уместно главное внимание уделить именно таким способам генерирования звука, которые допускают сравнительно простое рассмотрение, но необходимо дать некоторое представление я о поведении яекомпактных областей источников. Теории излучения от тел произвольной формы при отсутствии условия компактности утрачивают ту относительную простоту, которая характерна для равд.
1.6 и 1.7; они, действительно, чрезвычайно сложны. Тем не менее для некоторых частных форм тела, включав сферическую, анализ значительно упрощается и в то же время дает результаты, довольно типичные для широкого диапазона форм тела. Цель данного раздела, посвященного излучению от сфер, следовательно, состоит в том, чтобы выяснить, какие изменения в излучении звука происходят на слишком высоких частотах, когда условие компактности не удовлетворяется, а также предположить,что на очень высоких частотах (удовлетворяющих противоположному условию со знаком» вместо «) возке»кно новое упрощение совершенно другого типа, которое играет важную роль в следующих главах этой книги.
Изучим прежде всего звук, генерируемый в том случае„ когда сферическое тело совершает радиальные колебания. Предположим, что радиус сферы а совершает малые колебания около невозмущенного значения а„подобно сферическим пузырькам, рассмотренным в равд. 1.6, но теперь мы уже не будем предполагать, что сфера компактна. Особая простота сферической формы тела в рассматриваемом случае радиальных колебаний вытекает из того очевидного факта, что звуковое поле должно быть сферически-симметричным относительно центра и, следовательно, может быть описано сферически-симметричным потенциалом скорости вида (63), где г — расстовние от центра сферы.
Рассуждения, проведенные после этой формулы, показывают, что такой потенциал, если в него включить только бегущие от источника волны, всегда можно записать в виде (69), соответствующем точечному источнику, расположенному в центре сферы. Здесь мы не предполагаем, что такой точечный источник с объемным расходом т (1) «действительно находится» в центре 1.
Зввввввв волна 88 сферического тела, а предполагаем только, что жидкость вне сферы должна двигаться точно так же, как если бы такой точечный источник излучал в однородной жидкости. Искомое значение функции т (с) может быть найдено из граничного условия, выражающего равенство радиальной скорости двр!дг жидкости и радиальной скорости а (г) поверхности тела при г = а, В линейной теории зто граничное условие записывается как (двр/дг)„,„„= а (1).
(166) поскольку любая разница в аначениях дфдг прп > = а и г = а, меныпе, чем ! а — а (шах ) д'вр/дгв (, (167) и ею можно пренебречь как произведением малых величин. Из соотношения (70) следует, что граничное условие (166) можно записать в виде дифференциального уравнения т (1 — а,/с) + (а,/с) т (1 — а,/с) = 4па,'а (/) = Р (/) (168) для функции т (С), включающего либо заданную функцию а (1), которая описывает малые изменения радиуса сферы, либо связанную с ней функцию У (1), описывающую относительные изменения объема сферы по сравнению с его кевозмущенным значением (4/3) па',.
Из проведенных после соотношения (70) рассуждений следует, что в случае выполнения условия акустической компактности левая часть уравнения (168) с хорошей степенью приближения представляется функцией т (в), так что искомая величина т (/) объемного расхода источника будет близка к скорости изменения объема тела Г (1), что, конечно, верно для любого компактного тела (соответствующая напряженность источника равна р,Р (1), как в (105)).
Кслн условие компактности не выполняется, то точное значение т (1) как решение уравнения (168) достаточно легко найти только для сфер. Это решение получается при помощи интегрирующего множителя ехр (св/ав) и имеет вид т(С) =(с/а,) ~ 7г(Т+ав/с) ехр(с(Т вЂ” 1)/ав] ЫТ. (169) — О 1ой', ехр (йод) —.
ехр (ввмв~в) 1+ йвав/в (170) Другое решение уравнения (168) можно найти, заметив, что каждый член Г, ехр (/вес) в 7г (г) порождает в т (г) член 1,11. Излучение ов сфер Оба решения показывают, что если Р(~) меняется очень медленно, то т (1) остается близким к )г (1), например вследствие того, что при выполнении условия компактности (о>а,!с мало) дробь в (170) можно представить как 1 — (112) (ыа,!с)' + + О (юозас)'. Однако если ьоа,7с превьппает, скажем, 0,6, то ошибка становится едва лн допустимой. Оба решения приводят также к другому интересному приближенному выраженню, справедливому прн болыпих значениях ыаз!с (скажем, 6 п более); тогда т (О (с!аз) У(1 + аз~с).
(171) Мы получаем эту приближенную формулу, пренебрегая в знаменателе выражения (170) единицей или заменяя в (169) (сравнительно) медленно меняющееся экспоненциальное выражение единицей. Высокочастотное приближение (171) имеет интересные приложения. Давление в некоторой точке Р, находящейся на расстоянии г от центра, представляется (при помощн формул (71) и (72) для точечного источника) в виде р — рз = (рос,'аз) Ц1 — (г — ас)/с) 1(1пг), (172) где время запаздывания (г — а,)~с представляет собой время, необходимое для прихода в точку Р сигнала из ближайшей пгочки на сфере. Отсюда вытекает (неожиданно, но верно), что нрн достаточно болыпих значениях о~а,/с флуктуации давления в точке Р происходят главным образом от сигналов, прошедших наикратчайший путь от поверхности сферы к точке Р.
Далее, если в (172) заменить )г(1) на йяа,'а(1), то получится выражение р — р, = (аз1г) реса(Ь вЂ” (г — аз)(с), (173) которое интересным образом перекликается с формулой из одномерной теории. На поверхности сферы г =- аз выражение (173) в точности совпадает с полученным в одномерном случае соотношением (17) мел ду избыточным давлением и составляющей скорости в направлении распространения волны, т.
е. между величинами, произведение которых равно мощности на единицу площади. Следовательно, при больших ыа,!с сфера совершает работу над внешней жидкостью с той же мои1ностью, с какой совершал бы ее плоский поршень той же плошади и с теми же флуктуациями скорости, создающими одномерные 90 1.
Звук»«яе ««««я волны в прямой трубе. Иначе говоря, свойство, отмеченное з конце равд. 1.4, а именно меньшая эффективность трехмерного генерирования по сравнению с одномерным, в этом высокочастотном пределе не имеет места. Заметим, что па расстоянии г — а» (равном длине вышеуказанного наикратчайшего пути от поверхности тела до точки Р) от такого поршня избыточное давление в прямой трубе будет принимать значение, даваемое выражением (173), но беэ понижающего множителя а«,'г. Заметим также, что этот понижающий множитель в выражении для избыточного давления приводит к множителю (а»!г)» в выражении для интенсивности (82) (потока энергии на единицу площади), а это можно интерпретировать как следствие того факта, что энергия, поступившая через площадь поверхности сферы 4яа«», распределяется на расстоянии г на большую площадь, равную 4пг». Для частного случая пульсирующеи сферы мы кратко остановилпсь на весьма интересных результатах для высокочастотного предельного случая, наводящих на мысль о важности «луяей звука», которые напоминают изучаемые в геометрической оптике лучп света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
