Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 16
Текст из файла (страница 16)
1.6, частично обеспечиваемое влиянием теплопроводностн). Второй множитель в формуле (129) подтверждает, что если средняя сжпмаемость тела К равна сжнмаемости жидкости, то рассеяние на точечном источнике не имеет места. Для тел с малой сжимаемостью формула (129) дает картину слабого поля точечного источника из-за появления множителя (»1/с)» в случае К вЂ” » О. Наоборот, для посторонних тел с большей сжимаемостью, включая пузырьки, напряженность рассеяния на монополе образует мощный пик при резонансной частоте (128). Приведенное обоснование остается в силе и в случае, когда флуктуации давления в падающей волне отвечают некоторому »дальнему пол1о» породившего его источника, которое в действительности представляет собой плоскую волну в масштабах размера тела п„и в случае, когда они соответствуют бмижнемеу полю.
В обсуждении, проведенном после формулы (110), подчеркивалось, что пузырьки могут вызвать резонансный отклик точечного источника на флуктуации давления в ближнем поле диполя н усилить излучаемый звук. Фор»»ула (129) дает количественную оценку напряженности точечного источника, приведенного в действие этим механизмом. Если мы вычислим напряженность диполя 6 для поля рассеянного звука тем »ке способом, что н напряженность источника, то мы не получи»1 резонанса. Предположим, что поле скоростей ц падаю»цей волны в центре сферического объема жидкости, вытесненной телом, имеет вид (130) и = и е»"1.
1 74 Заметим, что для бегущей плоской волны (или в более общем случае для дальнего поля) в силу формулы (22) илп (81) вектор и, должен иметь абсолютную величину рДР,с,). Однако мы пе ограничимся этими случаями. Исходя из формулы (119), мы должны вычислить в случае (1) скорость 1) центра инерции тела (по предположению совпадающего с его центром масс) и силу Г, с которой оно действует на жидкость.
Ыы найдем их из двух уравнений, которым они должны удовлетворять. Во-первых, если тело имеет массу Р У„ так что его средняя плотность равна р„„то его движение будет описываться уравнением РшгоВ= — г. (131) Во-вторых, сила Г должна быть связана с присоединенной массой сферического тела, которая, согласно формуле (114), составляет (132) При обсуждении присоединенной массы, проведенном перед формулой (114) для тела, движущегося в покоящейся жидкости, устанавливалась связь между этой массой и силой.
Чтобы применить результаты этого обсуждения к рассматриваемому случаю, в котором тело погружено в жидкость, движущуюся со скоростью (130), мы должны временно перейти в систему отсчета, дзюкущуюся с этой скоростью. В такой системе отсчета, совершающей прямолинейное ускоренное движение, в уравнение движения любой частицы (имеющей по предположению массу М) наряду с другими силамп будет входить сила инерции (133) — ЛХ гюнт~'. Это известное свойство движущихся систем отсчета означает только то, что сумма остальных сил равна произведению массы частицы на ее полное ускорение, которое равно произведению этой массы на ускорение в движущейся системе отсчета плюс пронаведение массы на ускорение самой системы. Последний член„перенесенный с изменением знака в другую часть уравнения, к силам, становится эффективной силой инерции (133). Для частиц жидкости с плотностью Р, величина этой силы на единицу объема будет (134) — рз1юн~е'"', В н<идкостн любое такое однородное поле силы на единицу объема (например, поле силы тяжести) автоматически уравновешивается распределением давления с постоянным градиентом.
1.9. Рассеяние на ноеопантних мехах (135) Ро 'е озон,е'и' и имеет величину, необходимую для уравновешивания силы, которая действовала бы на жидкость, вытесненную телом, при отсутствии последнего. Кроме того, что в результате появления сил инерции тело действует иа жидкость с силой, определяемой выражением (135) со знаком минус, оно в результате движения относительно окружающей его яондкости (которая в нашей системе отсчета покоится) со скоростью (136) И вЂ” н,епм сообщает ей за единицу времени количество движения Мо ФИ) (б — и,ео"'с). (137) Следовательно, полная сила Г, с которои тело действует па жидкость, будет Г = — РоУойон,е'"~+ лт, (Ю вЂ” Рюн,е'х'). (138) Вместе с равенствами (131) и (132) это дает г р РоРм ' енм П Ро ' оно (139) 3 ..
' 3 ' Ро+3Рм ' ' Ро+3Ро откуда в силу формулы (119) для напряженности диполя полу- чаем С вЂ” - р 3Ро(Ро Рт) ° и сохо Ро~ ЗРИ (140) Поле рассеянного звука складывается из поля источника с напряженностью (129) и поля диполя с напряженностью (140). Из уравнения (140) видно, что напрянсенность диполя становится нулевой, когда средняя плотность сферы Р равна плотности ро, что было очевидно уже из формул (119) и (131). Другим интересным частным случаем является случай рассеяния нелодзихсной сферой: его можно описать как предельный случай сферы, плотность которой Р стремится к бесконечности, так что ускорение ее в силу формул (139) равно нулю, что вполне естественно.
В атом случае напряженность диполя (140) имеет ненулевой предел. градиент давления равен такой силе на единицу объема, определяемой здесь выраж: -вем (134). Заметим, что эта величина может быть получена дра;им способом из линеарнзованного уравнения количества двиокения (4). Теперь закон Архимеда дает окончательное выражение для такого распределения давления по телу объема Го. Оно представляется в виде 76 1. оеукоеве еое вьь В приведенном выше обсуждении рассеяния на теле со средней плотностью р„„отличной от плотности жидкости ро, ничего не было сказано о влиянии силы тяжести, если она учитывается, т. е. об обусловленных ею вкладах в ускорение тела С и в силу Р действия тела на жидкость.
Однако такие вклады носят стационарный, а не колебательный характер и поэтому не генерируют рассеянного звука частоты ьо и, действительно, не создают дальнего поля диполя (103). Влияние движения тела под действием силы тяжести на акустическое дальнее поле сводится только к тому, что оно становится полем движущегося нсточпика нлн диполя. Однако такое поле искажено пренебрежимо мало, если скорость тела мала по сравнению с г (об общих свойствах движущихся источников см.
разд. 4.12). Полную выходную мощность рассеянного звука можно получить сложением мощности точечного источника, вычисленной по формулам (83) и (129), н мощности днполя, вычисленной по формулам (104) н (140). Вся зта мощность в поле рассеянного звука, зависящая от квадратов амплитуд ! р, ) н ~ и, 1, отбирается у падающей волны. Тела с малой сжимаемостью создают поле рассеянного звука с тем необычным свойством, что вклады источника и диполя имеют сравнимые величины. Зто объясняется тем, что для таких тел напряженность источника (129) является малой.
Рассмотрим, например, рассеяние плоской звуковой волны, описываемой формулой (22), на неподвижной несжимаемой сфере (предельный случай рм — ~со, К вЂ” ь.0). В силу формул (71) и (103) дальнее поле в направлении, составляющем угол О с направлением падающей волны, имеет вид р — до = 'горь (ье/с) ( — 1+ — сов О) гоыь-~/Ю/(4яг). (141) 3 Множитель ( — 1 + 3/2 соз О) показывает, насколько сравнимы вклады источника и диполя. Заметьсч, что они ослабляют друг друга в передней полусфере при 0 ( я/2, но усиливают друг друга при 9 я/2 (обратное рассеяние), порождая четко выраженный максимум численного значения при 0 = я.
Теория рассеяния общего вида для тел, малых по сравнению с длиной волны, в которой рассеяние падающих волн, удовлетворяющих волновому уравнению, приближенно описывается с использованием свойств (подобных присоединенной массе) решения уравнения Лапласа, применяется и в других равд.лах физики. В электромагнитной теории известно релеевское рассеяние, при котором, однако, в рассеянном поле не возникает монополя. Релей обнаружил также, что амплитуда рассеянного поля увеличивается с частотой как оьь, и использовал зто при е.в. Расселние на немиаетных телах 77 объяснении голубого цвета неба преимущественным рассеянием высокочастотных составляющих солнечного света на молекулах воздуха.
С позиций квантовой механики эту теорию можно рассматривать как некоторый случай борновского приолия<ения. Вычисление напряженности диполя (119) непосредственно переносится на случай несферических тел, когда они обладают симметрией относительно направления колебаний поля скоростей (130) для падающих волн, такой, что силу г' можно выразить через присоединенную массу М„как в формуле (138), которая вместе с уравнением (131) определяет г и О, а следовательно, и 6.
Для асимметричных тел, обладаеощих аннзотропной присоединенной массой, необходимо провести несколько более сложные вычисления. Для тела иной формы обобщение вычисления напряженности точечного источника сводится к замене величины 4пае, которая входит в формулы (126) — (129), соответствующей постоянной. Эта постоянная С' пропорцио~альна электростатической емкослчи рассматриваемого тела и такова, что решение для ближайгпего поля в окрестности тела с суммарной напряженностью источников д н постоянным ивбыточным поверхностным давлением имеет вид (142) Такое решение с постоянным избыточным давлением на поверхности согласуется с формулой (124) для изменения объема тела, поэтому можно использовать все соотношения (126) — (129), ааменив в них 4яае на С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
