Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Мы видели в равд. 1.6, что движение постороннего тела в ж идкости создает акустические эффекты, эквивалентные непрерывному распределению; (1) источников, связанных с перемещением поверхности тела в направлении внепшей нормали, и (Б) дпполей, связанных с силой, с которой эта поверхность действует на жидкость. Суммарная напрюкенность источников равна роР (1), где Г (Г) — объем тела, и поэтому случай нулевой суммарной напряжопности источников, который нами рассматривается, соответствует весьма распространенному случаю, когда объем г' тела практически постоянен.
В этом важном случае, однако, момент распределенных источников, вообще говоря, не равен нулю. Этот момент распределенных скоростей перемещения объема может быть связан со скоростью центра инерции тела (см. ниже), а будучи умноженным на р, и продифференцированным по времени, оп превращается в момент скорости изменения массового расхода. Центр инерции тела определяется как точка, в которой находился бы центр масс, если бы плотность была постоянной, так что его радиус-вектор г, равен моменту распределенных обьемое тела, деленному на полный объем вг. Отсюда следует, что Е.Т. Компактные области источника«с дннольннмн дальними налямн 5Т момент распределенной скорости перемещения точек тела равен скорости изменения суммарного момента Ггс распределенных объемов, .т. е.
>сг„поскольку объем >г постоянен. Следовательно, момент распределенного массового расхода равен рььсг и а момент распределенных напряженностей равен рь(сгс. Мы получилн важный результат, гласящий, что каждое компактное тело постоянного объема с', движушееся в жидкости плон ности р«, создает на расстояниях, больших по сравнению с его размерами, поле давления, близкое к полю диполя напряженности с= г+р,л~, (112) где 1) = г, — скорость центра инерции, а à — результирующая сила, с которой тело действует на жидкость; при этом надо оговориться. что такое приближение портится, если слагаемые в (112) в значительной степени взаимно уничто>>вдаются. Эта теорема справедлива как в дальнем поле, где определяется действительный излучаемый звук, так и в блин>нем поле, где она эквивалентна теореме, доказываемой для несжимаемой жидкости (в которой опускается, однако, умно>кение на р„и дифференцирование по времени, вводимое в акустике в определенна напряженностей источника и диполЯ).
Заметим, что попРавкУ Р«Р() в (112) можно рассматривать ьак скорость изменения количества движения «жпдкости, вытесненной телок>. Как мы увидим далее, формула (112) является основной прн количественной оценке эффективности очень ппсро>сото диапазона механизмов генерирования звука, включая механизмы со сложными полямн течений. Однако мы сначала продеьюнстрируем ее нспольаованне на простейшем случае колебания в покоящейся жидкости твердого тела, совер>лающего прямолинейные движения с частотой,, удовлетворяющей условию компактности (91).
Сила г, с которой такое колеблющееся тело действует на жидкость, обычно приближенно определяется членом ЛХ,Ю, пропорциональным ускорению тела 6. Здесь коэффициент Мь называется «присоединенной массой» жидкости в том смысле, что движение тела со скоростью 1) вызывает пропорциональное движение соседней жидкости с суммарным количеством двин<ения Мь1) (как будто масса М„нсидкости движется со скоростью 1) тела, а остальная жидкость остается в покое). Конечно, в действительности частицы нсидкости двинсутся со скоростями, которые составляют некоторую часть от 0 и которыэ уменьшаются по мере увеличения расстояния от тела; масса М„ 1. Звуковые волна получается сложением масс таких частиц жидкости с весами, соответствующими их скоростям. При таком вычислении может возникнуть проблема сходимостн, но атого не произойдет (как и в равд.
1.5), если мы будем рассматривать только жидкость в большом цилиндре с осью, параллельной направлению движения; кроме того, тогда при вычислении силы г не мон<ет появиться никакой поправки к члену ЛХоб за счет снл давления на поверхности цилиндра, которые будут иметь нулевую составляющую з направлении движения. Если отвлечься от боле сложных случаев (например, когда вязкие силы, пропорциональные <), сравнимы с членом ЛХ,<) или когда тело несимметрично относительно направления движения, что приводит к анизотропкой присоединенной массе и к возмо кяости появления силы, пропорциональной У по величине и перпендикулярной ей по направлению), можно заключить, что напряженность диполя (112) для такого колеблющегося тела принимает вид (113) 6 = (ЛХ, + рою) ().
Два члена, стоящие в скобках, часто бывают сравнимыми по величине; например, легко показать (см. курсы гидродннамики), что для кругового цилиндра, совершающего поперечные колебания, ЛХ, = роР, в то время как для сферы радиуса а ЛХо= — ро)е, что дает 6= — ро<'<).—..— 2лроа%. (114) 1 3 о — в О Это значение (114) напряженности днполя, соответствующей двпя<енню сферы, при подстановке в (102) дает поле давления Р Ро = Роаз (г О (1 — г)с)Хгз) + 1 о 2 о + —, р,ао (г. М (г — г)с)1(г'с)), которое в ближнем поле близко к величине, соответствующей классическому потенциалу <р = — — а (г. <) (г) !г~) (116) для сферы, движущейся в несжимаемой жидкости.
С другой стороны, в дальнем поле главным в (115) является второй член, и он один описывает излучаемый звук. Когда тело колеблется не в покоящемся, а в двин<ущемся относительно тела воздухе, оба члена в (113) могут оказаться пренебрежимо малыми по сравнению с вкладами в напряжен- л.в. Компаптпив области исто«нинов с дипольними дольниии пололи 59 ность диполя (112) в фазе со скоростью колебаний.
которые обусловлены флуктуациями аэродинамических сил, возникающих и ответ на флуктуации скорости тела относительно воздуха. Такие силы могут иметь порядок р«Я(7»1), где Уо — невозмущенная относительная скорость, Я вЂ” плшцадь поверхности тела, и будут превосходить величину (113) прн частотах, меньших чем Я(7«/'ь'. Хороший пример такого типа генерации звука — жунгканне крыльев насекомых. Заметим, что хотя столь большие аэродинамические силы могут вызывать соответствующий «откат» центра инерции насекомого, оно, имея средню|о плотность ооп много большую, чем плотность р, воздуха, будет двигаться со скоростью П своего центра инерции (здесь предполагается, что он совпадает с центром масс) с ускорением, определяемым силой — Г, действующей на насекомое со стороны воздуха, так что напряженность диполя, вычисленная по формуле (112), будет равна Г (1 — ро(рп,), (117) что незначительно отличается от Г.
Наооорот, в океане существа со средней плотностью роп очень близкой к плотности окружающей пх воды, и с быстро колеблющимися плавниками являются весьма неэффективнымн генераторами азука, поскольку напряя«енность диполя, вычисленная по формуле (117), в этом случае очень мала. Очень часто источник звука обусловливается не какими- либо внешними колебаниями в потоке, а неустойчивостью самого потока, связанной с обтеканием разнообразных препятствий: телефонных проводов, ветвей деревьев и т. п. Пульсирующие силы Г, действующие между таким препятствием н потоком, являвотся следствием этой неустойчивости потока н генерируют звуковое поле диполя. Такая сила почти не зависит от того, в какой мере препнтствию «дозволяется» колебаться под действием этой силы; даже если бы оно двигалось совершенно свободно, то напряженность диполя, вычисленная по формуле (117), была бы практически равна Г, но обь«чно препятствие не свободно, а соединено со столбом, стволом дерева и т.
д. Резонанс с нормальной модой колебаний натянутого провода может, однако, оказывать влияние на генерируемый звук, сохраняя аэродинамические силы в фазе вдоль всего провода и создавая так называемые эоловы тона. Винт самолета, вращающийся с большой угловой частотой со, может не удовлетворять условию компактности (91), если в качестве 1 брать здесь диаметр диска винта, а каждый «элемент лопасти» (участок лопасти между расстояниями г и г + ь7« от оси) монсет удовлетворять этому условию, потому что на та- 60 1. Звуковме волкю ком участке лопасти размер ее аэродинамического профиля мал по сравнению с с!ю. Тогда звуковое поле можно изучать как линейную суперпозицию связанных с различными элементами лопасти полей диполей, напряженности которых определяются, по формуле (112); здесь важным членом в Р является сила тяги, но и вкладом в член р,УЮ, обусловленным центростремительным ускорением элемента лопасти, пренебрегать нельзя.
!.8. Моделирование в волновой кювете Можно получить зкспериментальное подтверждение всех существенных реаультатов, приведенных в равд. 1.4 — 1.7, если позаботиться о хорошо калиброванных микрофонах в условиях, когда они регистрируют звук, порожденный лишь в области источника (что обычно требует работы в звукопоглогдающей камере) и об оборудовании для измерения амплитуд любых колебаний посторонних тел в жидкости, а также азродинамических сил, которые пм противостоят. С другой стороны. эксперименты, которые связаны не столько с реализацией явлений генерирования звука, сколько с их моделированием, обладают некоторыми важными преимуществами, так как они позволяют понять основные принципы явления отчасти потому, что их гораздо легче провести, но главным образом потому, что они дазот возможность простым визуальным наблюдением получить представление о явлении в целом.
При этом моделировании звуковые волны заменяются волнами ряби в кювете со стеклянным дном, наполненной водой на глубину 5 мм. Причина для специального выбора глубины 5 мм станет ясной в гл. 3, где объясняется тесная связь между звуковыми волнами и волнамп ряби в воде определенной глубины; по существу, распространение таких волн ряби зависит от баланса между инерцией движения первоначально горизонтально расположенной воды в мелком слое и своего рода «заменителем сжимаемости», в котором силы тяжести и поверхностного натяжения сочетаются таким образом, что дают ионилгение давления всюду, где дивергенция горизонтальной составляющей скорости приводит к локальному уменьшению глубины, и повышение давления всюду, где отрицательная дивергенция вызывает увеличение глубины.
При глубине 5 мм с достаточной точностью можно полагать, что комбинация указанных аффектов порождает волны ряби со скоростью, которая подобно скорости звуковых волн в воздухе ке зависит от длины волны. Однако волны ряби гораздо легче наблюдать в силу того, что скорость их распространения составляет 0,22 м/с (тогда как .в.й. Мойвлировоние в волновой кювете 6г скорость звука в воздухе при 20 'С равна 340 м!с); о распространении этих волн можно судить, рассматривая их отчетливые движущиеся тени, отбрасываемые на большой экран при помощи мощного источника света. Тот факт, что распространение двумерно, делает его гораздо проще для визуалшюго наблюдения, чем в случае трехмеряого распространения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
