Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Такая двойственная структура резко отличается от случая точечного источника, для которого избыточное давление (71) меняется как г ' для всех г н «дальнее поле» определяется просто как область, где выполняется соотношение (81), дающее тот же закон изменения радиальной скорости и„, что и в плоском случае. Для диполя, как и для источника, в дальнем поле это простое соотношение между и, и р тоже остается справедливым. В действительности уравнение количества движения (4) в радиальном направлении (95) р«ди /д$ = — др/дг дает соотношение для плоских волн (81) в дальнем поле, где с достаточной степенью точности можно считать, что оператор д/дг действует только на время запаздывания (г/с) в (87) (время запаздывания входит и в выражение для плоских волн), а не на типично трехмерные элементы (мноя«итель сферического ослабления (4яг)» и множитель направления сов 9).
Отсюда следует, что вектор интенсивности авука (54) направлен по радиусу 1. 3«»ко«ие волли и имеет величину Х = соа'6 (р«с)-'(»д' (С вЂ” г|с)((16Я«г'с)), (96) соответствующую потоку энергии Р (1 — г1с) через сферу Радну са г с центром в диполе, получаемому интегрированием (96) ~о всей поверхности этой сферы, где величина Р (1) 1»дз Щ(12пр са) (97) может рассматриваться как акустическая выходная мощность пары источник — сток. Из сравнения (97) и (83) видно, что при выполнении условия компактности (91) эта пара источник — сток является малоэффективной, обладая выходной мощностью, составляющей примерно («»6с)»-ю часть мощности одного источника.
Такая инакая эффективность диполя по сравнению с источником безусловно связана с двойственной структурой его полн давления, которое характеризуется сравнительно мощным блин«ним полем, излучающим малую энергию в гораздо более слабое дальнее поле. Заметим, что даже при условии компактности (« ),!(2я) пара источник — сток генерирует поле диполя только шам, где г» (; это поле включает в себя и дальнее поле, где г» Х!(2л), и блин<нее поле. Таким образом, область, где г сравнимо с (, не включается даже в «ближнее» поле диполя.
Если этой области нужно дать какое-либо название, то подходящим будет термин типа «ближайшее поле». В блия1айшем поле, где пара источник — сток даже приблизительно не является диполем, нужно пользоваться уравнением (86). Вне этой области справедливо дипольное приближение, приводящее к уравнению (92), в котором в ближнем поле более существенным является первый член, а в дальнем поле — второй. Важным свойством ближнего поля диполя является перенос флуктуаций количества движения, связанного с силой, с которой диполь действует на внешнюю жидкость.
Вектор количества движения направлен вдоль прямой, соединяющей пару источник — ' сток (оси диполя). При таком определении трудности, связанные со сходимостью, при недостаточной аккуратности могут привести к неправильному ответу, но эти трудности исчезают, если рассмотреть количество движения в некотором круговом цилиндре радиуса а, ось которого совпадает с осью диполя и (98) 1« а « Ы(2я). Скорость изменения осевой составляющей количества движения в таком цилиндре в точности равна осевой силе, приложенной 45 1.й. Акустический дикрль к диполю, поскольку силы давления, действующие на поверхность цилиндра, не имеют осевой составляющей.
Для того чтобы найти распределение этой осевой составляющей количества движения, рассмотрим сначала ту ее часть, которая связана с источником, имеющим положительный расход + д (1). Плотность количества движения в ближнем поле для такого источника в силу уравнений (69) и (70) представлнется как рр дсу7дх рр Фг)дсу7дг = = р р(хаас) [т(1 — г7с)+ (г7с) т(à — г7с) У(4ягг) = ж рр(х7г)[т (с)У((бпла с) = хд Яl(4лгг).
(99) Здесь выражения в квадратных скобках прнблинренно равны при малых юг!с (т. е. в ближнем поле) по соображениям, приведенным после уравнения (70). Интегрирование (99) по кругу радиуса а при фиксированном х приводит к выражению — хс[ (У) [ ( х ! ' — (а'+ х') (100) график которого представлен на рис.
4. Это выранрение дает величину количества движения на единицу длины цилиндра, но, с другой стороны, его можно рассматривать как поток массы через круг в направлении оси х; такая интерпретация объясняет скачок кривой д (1) при х = О, где поступает новая масса со скоростью д (с). Полное количество движения, получаемое интегрированием выражения (100) от х = — оо до х = + оо (интеграл от него сходится на обоих концах), равно нулю, как и следовало ожидать в силу симметрии точечного источника. Для пары источник — сток полная осевая составляющая количества движения, получаемая сложением нулевых ее значений для каждого из них, должна быть также равна нулю. йчрд р 1 2 с —,'воз Ряс.
4. Поток массы чарва круг, являющийся поперечным свчвиявм цилиндра жидкости радиуса в как функция расстояния к от твчвчного источника напряженности д (р), расположенного на вси цилиндра. Приведенная кривая показывает также распределение количвства движения жидкости па единицу длины цилиндра. 46 1. Звуковые волям Ряс. в. Распределение количества движения на единицу длины цилиндра жндвостя, создаваемого источником н стоком одинаковой напряженности, расцоложеннымн на ося цилиндра (а).
Складывая распределения (б), аналогичные приведенному на рис. 4, но с противоположным знаком, получаем суммарное распределение (в). Распределение етого количества движения, однако, имеет весьма своеобразный характер: большой отрицательный вклад в малой области мелсду источником и стоком, который обусловлен непосредственным течением из источника в сток, компенсируется равным пололгительным вкладом, распределенным по всей области ближнего поля источника.
На рис. 5 видно, что такое распределение получается как разность между распределением, представленным на рис. 4, и точно таким же распределением, но сдвинутым в центр стока. Оно имеет два разрыва: один — д (1) в стоке и другой +д (г) в источнике. В предельном случае малых ( (как показывает.рис. 5) отрицательное количество движения между двумя источникамиравно — ((г(г), и, таким образрм, уравновешивающее его положительное количзство движения, распределенное по всему ближ- ».5. Акустический диполь 47 нему полю диполя, будет +(д (г).
Диполь является предельным случаем пары источник — сток при ] -+-О, когда отрицательное количество движения «теряется» в блиясайшем поле между источником и стоком, а количество движения в ближием поле диполя складывается в положительную величину ьд (ь). Таким образом, любой механизм генерирования звука, который может создавать дипольпое поле, должен создавать количество движения ]д (1), так что па внешнюю жидкость ои будет действовать с силой, равной скорости изменения 1д (1) этого количества движения, которая обозначается через 6 (г) (формула (90)) и называется напряженностью диполя.
Иначе говоря, в поле диполя напряжеияости 6 (1) должна существовать сила 6 (1), действующая на жидкости в паправлеиии от стока к источнику. И наоборот, мы увидим, что внешняя сила, действующая иа жидкость, порождает акустический диполь с напряженностью, равной атой силе. В приведенном выше примере сила 6 (ь) паправлеяа вдоль оси х, а свяэаняое с ней поле диполя представляется при помощи формулы (88): р — р, = — (д/дх) ]С (1 — Нс)((4яг)], (101) ио если бы сила была направлена по оси у или оси г, мы долиоиы были бы в формуле (101) вместо д/дх написать д!ду или д!дг соответственно.
В случае действия силы общего вида 6 = (6„, С„, 6,) поле диполя представляется суммой членов типа (101), связанных с каждой иэ составляющвх, которые дифференцируются по соответствующей координате; через дивергенцию его можно ааписать так: р — ро = — %']6 (э — г(с)!(4яг)]. (102) Будем яааывать выражение (102) полем давления диполя с векторной напряженностью 6 (1). В дальнем поле в соответствии с последним членом (92) это выражение припимает вид р — р, = г б (1 — г(с)l (4яггс) (103) в точке с радиусом-вектором г = (х, у, г) и с выходной мощностью, согласно (97), равной РЯ = 6» ($)l(12ЯР»сг). (104) Эти,свойства диполя, свяэаипые с наличием силы, равной скорости изменения количества движепия впешней я'идкости, а также свойства монополя.(равд.
1.4),,свяэаппые со скоростью изменения массового расхода во внешнюю жидкость, будут в дальпейшем испольэоваться.для объяэкения 'более' слоя«иых акустических явлений. 1. Зеунввке весны !.6. Компактные области источников в общем случае о %+те+Чу — Ч, кж ° ° + о о о о У~ ° о ° Ф %» Св о ° + ° о се о о ° Че Рис. 6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
