Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Разность между полями небольшой группы точечных источников и одного точечного источника с капряжсккостью, равной их суммарной напряженности, может быть выражена в виде суммы полей двполей. В качестве) примера рассмотрим порождение звука компактными областями источников (т. е. областями, диаметр которых мал по сравнению с Х/(2я), где ь — характерная длина волны генерируемого звука) в общем случае. Рассмотрим сначала неболыпую группу (рис. 6) точечных источников, заполняющих такую компактную область в случае, когда суммарная напряженность не на много меньше напряженности отдельных источников.
Сравним поле давлений втой группы источников с полем давления одного точечного источника, расположенного в некоторой центральной точке области и имеющего напряженность, равную суммарной напряженности. Рпс. 6 показывает, что разность двух указанпых полей давлений равна просто сумме полей диполей, каждый из которых образован компактной парой, включающей сток в центре и источник в одной из периферийных точек. Из отношений (93) можно заключить, что поле диполя на расстояниях г, много больших расстояния между компактной парой источников, мало по сравнению с полем, генерируемым какдым из источников в отдельности.
Отсюда следует, что полная разность полей давлений, показанных на рис. 6, мала по сравнению с полем давления одного источника на всех расстояниях г, много больших диаметра области источников. Здесь мы пользуемся предположением о том, что напряткенностт центрального источника (сумма напряженностей источников в группе) сама не мала по сравнению с напряженностью отдельных источников. Группа источников, удовлетворяющих атому предположению, генерирует на расстояниях, больших по сравнению с ее размерами (группа предполагается компактной), поле давлений, близкое к полю давлений одного источника. Например, в устройстве типа «сирены» через отверстия, равномерно распределенные в неподвижном диске, периоди- У.б, Компактиие области источников е обсчем случае чески испускается сжатый воздух (в те моменты, когда отверстия в точно таком же вращающемся диске располагаются напротив отверстий в неподвижном диске).
Если диск акустически компактен, то такое устройство излучает звук подобно точечному источнику (равномерно во всех направлениях). Из каждого отверстия расход массы д (г) периодически резко повышается до максимума и снова резко спадает до нуля, генерируя акустическое поле точечного источника напряженности д (с). В таком случае акустически компактная группа источников, расположенных в отверстиях, генерирует на расстояниях, больших по сравнению с ее размерами, поле давления, близкое к полю давления одного точечного источника, напряженность которого равна сумме напряженностей отдельных источников.
Для того чтобы установить, что поле давления близко к полю давления точечного источника, здесь не обязательно рассматривать «дальнее поле»; мы долясны лишь исключить «ближайшее полео (см. равд. 1.5), а не все «ближнее полем Однако некоторые более сложные области, содержащие источники, генерируют звук, близкий к точечному источнику только в своих дальних полях. Эти компактные области источников (довольно часто встречающиеся) содержат как точечные источники, обусловленные расходом массы, так и диполн, возникающие под действием внешних сил, причем ближние поля, обусловленные теми и другими, оказываются сравнимыми.
В равд. 1.5 было показано, что в таком случае дальнее поле диполя мало по сравнению с полями отдельных источников. Следовательно, когда суммарная напряясенность не на много меньше, чем напряженности отдельных источников, суммарное поле давлений от источников будет главным в дальнем поле, где опо близко (как показывает рис. 6) к нолю давлений одного точечного источника с напряженностью, в точности равной их суммарной напряженности. Это простейший рецепт для оценки дальяего поля сложных, но компактных групп монопольных и дипольных источников.
Все зависит лишь от суммы напряженностей монопольных источников, которые в свою очередь равны производной по времени от суммарного расхода массы, соответствующего этим источникам. В жидкости звук часто генерируется колебаниями погруженных в нее посторонних тел. Только что проведенные рассуждения применимы н к тем случаям, когда колебания приводят к значительным изменениям суммарного маосового расхода, поскольку тела меняют свои объем и форлсу; например, когда в воде содержатся пузырьки газа, звук (как зто часто случается) генерируется их пульсацией.
«-бы об 1. Звуков>и волн» В самом деле, когда постороннее тело совершает внутри жидкости движения, возможно включающие изменения его объема и формы, их акустический эффект можно изучать, задавая на поверхности тела непрерывное распределение особенностей, таких, как; (1) источники, напряженность которых отражает расход массы жидкости, обусловленный смещением поверхности тела нарун<у; (П) диполи, напряженность которых отражает силу, с которой поверхность тела действует на жидкость. Такое описание легко понять, исходя из физической интерпретации этих особенностей, данной в последних двух разделах и хорошо известной для течений несжимаемой жидкости из курсов гидродинамнки, где подобные результаты выводятся на основе теоремы Грина; параллельный вывод для акустики, приводящий к указанной здесь интерпретации, довольно прост.
В ближнем поле движения, вызванные днполем н источниками, сравнимы по величине; соответственно в дальнем поле преобладает движение от источников. Если в результате смещений поверхности тела его объем, скажем Е (г), меняется значительно, то напрян>енности различных источников складываются и могут приводить к значительной суммарной напряженности, которая монгет быть записана как ч (г) = р. р/И), (105) поскольку в линейной теории полный массовый расход жидкости д (/) равен р,У (/), где р, — плотность невозмущенной жидкости. Таким образом, дальнее поле близко к полю точечного источника с напряженностью р,Ё (1), если тело акустически компактно.
Связанная спим акустическая выходная мощность на основании (83) равна [ро/(4яс))Ё' (>) (106) Проведенные выше рассуждения хорошо иллюстрируются излучением звука пузырьками воздуха или другого газа в >кидкости. Такие пузырьки обычно совершают слон>ные колебания как формы, так и объел>а, причем из-за ограничений, налагаемых поверхностным натяжением, колебания происходят около сферической формы с различными модами, описываемыми различными сферическими гармониками. Однако (в приближении линейной теории) объем У И) не меняется ни в одной из этих мод, кроме одной, той, в которой пузырек остается сферическим и только его радиус а колеблется около невозмущенного значения аю Для такой единственной моды возвращающая сила в.б. Комиоктнио области источников в общем случае преобладает пад силой поверхностного натяжения, что связано со сжимаемостью газа. В уравновешивающем эту возвращающую силу инерционном члене масса почти в точности соответствует жидкости с плотностью р, в обычном случае, когда плотность газа пренебрежимо мала по сравнению с плотностью жидкости.
При описании такой радиальной моды колебаний в качестве обобщенной координаты удобно выбрать переменный радиус пузырька а (об использовании обобщенных координат в линейных теориях колебаний см. учебники по классической меха- вике). Когда а совершает малые колебания около своей равновесной величины от радиальная скорость а определяет местную скорость нсидкости (несжимаемой) в радиальном направлении на расстоянии г от центра как аа,'г '.
Кинетическая энергия таких движений жидкости (а только ее мы и учитываем) равна (1/2) (4яроаее) а'. Здесь величина, заключенная в скобки, представляет собой «обобщенную массу» для рассматриваемого двинсения. Соответствующая потенциальная энергия вычисляется на основе предположения, которое мы проверим поаднее н которое состоит в том, что пузырьки колеблются достаточно медленно для того, чтобы плотность газа в них ра можно было считать практически постоянной, хотя и совершающей малые колебания во времени относительно невовмущенного значения Р „.
Тогда относительное изменение разности р„будет равно относительному изменению объема пузырька со знаком минус: (Ра Рао)/Рао = — 3 (и — ив)/ио. (107) В силу уравнения (50) соответствующая потенциальная внергия на единицу объема составляет — (Ра — Рао)' саР«о =' .2 Ра«4 [3 (и — ио)/яо)', (108) что в объеме гава (4/3) яа„' дает полную потенциальную энергию (1/2) (12яР сасао) (а — ао)о. В последнем выражении величина, заключенная в круглые скобки, является «обобщенной ясесткостью» для рассматриваемого двинсения.
Может показаться, что изменения потенциальной энергии, связанные с поверхностным натяжением Т (поверхностной энергией на единицу площади), тоже валены, но это не так: соответствующий линейный член просто смещает точку равновесия в точку с давление»», несколько превьппающим давление исидкости, а на обобщенную жесткость влияет только квадратичный член, увеличивая ее 1. Лауяаеыа а»азы на величину 8яТ, что для пузырьков в воде радиуса свыше 0,1 мм дает поправку менее 1%.
В соответствии с общей теорией колебаний угловая частота моды колебаний пузырьков, определяющая анук в дальнем поле, представляется как -=( Обобщенная жесткость ) 1/2 Обобщенная масса / 12ярнаазааа 1112 1!2 4 р еа / = (ся/ае) (Зрзе/ре) ° (109) Теперь мы убеждаемся в том, что из-за наличия мнояентеля (Зр,,/р,) 0' частота 1» действительно мала по сравнению с характерйой частотой сз/а» распространения возмущений плотности внутри пузырька, так что предположение о том, что плотность таза остается приближенно постоянной, является допустимым. Условие акУстической компактности, т. е. Условие малости »1ае ню сравнению с гораздо болыней скоростью звука с в жидкости, тем более удовлетворяется.
Для пуаырьков воздуха в воде при 20 'С имеем сз —— 340 м/с н о,,е/о, = 0,0013, что дает частоту 1»/(2я) = (680 Гц см)/(2а»). (110) Таким образом, при колебании пузырьков звук в дальнем поле прпближается к звуку, генерируемому точечным источником с частотой 680 Гц, деленной на диаметр пузырька в сантиметрах; часто зто вполне музыкальный звук! Пульсации, однако, существенно затухают как вследствие теплопередачи от газа к жидкости, приводящей к отклонениям изменений плотности от тех, которые диктуются постоянством знтропни, так н в результате потерь энергии, обусловленных самой генерируемой акустической мощностью.
Обычно движения воды, которые сопровождаются шумом, гепериру1от звук посредством флуктуаций давления в потоке, вьиывая пульсации пузырьков с такими модами, которые, как мы видели, являются главными в дальнем поле даже в тех случаях, когда имеются еще и различные моды колебаний формы пузырьков. Отдельные пузырьки создают музыкальные звуки; совокупность пузырьков, например, в бегущем потоке создает «плещущий» шум, включающий спектр частот, связанный с распределением их размеров. В гидравлических движениях часто содержатся пузырьки, механизмом возникновения которых служит «кавитация», при которой давление в потоке становится достаточно низким, так что растворенный в жидкости газ начинает выделяться или жидкость начинает испаряться. Шум кавитапионных течений включают пе только звуки, генерируемые к.в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
