Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому не удивительно, что залповой пакет, встречая это тело на своем пути, заставляет его порождать волны, которые можно видеть в форме концентрических теней, окружающих правую точку. Это «поле рассеянных волн» несет ту часть энергии падающих волн, которую телу «удалось» рассеять. Теория явления анустичесного рассеяния, которое моделирует этот эксперимент, будет развита в равд. 1.9. Приводя нашу последнюю картину волновой кюветы, мы не только заглядываем далеко вперед, затрагивая излучение квадруполя, которому будет посвящен равд.
1.10, но преследуем и еще одну цель: подтвердить допустимость проведенной в в равд. 1.7 процедуры смещения диполей, при которой предполагалось, что онн сдвигаются в другую точку, находящуюся на расстоянии, много меньше»«длины волны. Рис. 15 следует сравнить с рис. 13; на нем также представлен случай, когда дза вертикальных стержня колеблются в направлении «север— юг» около неподвижных точек, одна из которых расположена «к востоку» от другой. Амплитуды движения обоих стержней снова совпадают и такие же, как па рнс.
13. Однако на рис. 13 стержни двигались в фазе, тогда как на рис. 15 их фазы различаются на 180'. Таким образом, если на рис. 13 представлена сумма волновых полей двух диполей, создающих, как указано выше, дальнее поле, близкое к полю точечного диполя, в подтверл«донне того, что «смещение» не вносит большой разницы, то рис. 15 дает дальнейшее обоснование такого утверждения, реально показывая разность между волновыми полями одинаковых диполей, расположенных в различных точках. Относительная интенсивность теней волн на двух рисунках позволяет усмотреть, что дальнее поле для этой разности (рис. 15) действительно оказывается слабым по сравнению с дальним полем суммы диполей (рис.
13). Кроме того, рис. 15 показывает существенное ослабление излучения звука, которое имеет место при излучении от компактной области источников, когда суммарная напрян«енность е.р. Рассеяние на камвактнкх телах Рис. 15. Поле квадруполя, возникающее в волновой кювете при колебании двух вертикальных цилиндров с одинаковыми амплитудами, но противоположными фааами. (Любовно предоставлено Центром по раавнтию обрааованив, 11ьютон, Массачусетс, СП1А.) диполей (а также суммарная напряженность источников) равна нулю.
К такому виду излучения диполя с нулевой напряженностью обычно относится излучение звука турбулентными потоками, не содержащими каких-либо посторонних тел, которые могут оказывать силовое воздействие на поток воздуха. Волновая картина, приведенная на рис. 15, относится к специальному типу волн, характерных для излучений такого рода. Она называется картиной волн кеадруполя по существу потому, что два равных и противоположных диполя можно рассматривать как совокупность четырех источников. Заметим, что здесь также существуют четыре направления (по диагоналям области источников), в которых волны наиболее интенсивны. Важность квадрупольного излучения при аэродинамическом генерировании звука будет кратко обсуждаться в равд. 1.10. 1.9.
Рассеяние на компактных телах Описанные в равд. 1.8 эксперименты в волновой кювете включали эксперимент по «рассеянию», иллюстрированный рис. 14. Он показал, что волны не рассеиваются на свободно плаваюгпем теле (левая точна на фотографии). Объяснение состояло Х. Звуковые ееккы в том, что такое тело, имея по закону Архигкеда массу, равную массе вытесненной воды р„)>, движется точно так же, как двигалась бы вода при отсутствик тела. Соответствующий закон для случая распространения звука в жидкости состоит в том, что на теле с той же массой и с той же сжимае>костью, что и у вытесненной жидкости, рассеяния не происходит.
Действительно, при распространенип звука иэ всех характеристик жидкости важны только масса и сжимаемостгк постороннее тело с теми же значениями этих величин, что и у вытесненной нм жидкости, расширяется, сжимается и колеблется точно так же, как это делала бы жидкость, и поэтому играет ту же роль в распространении звука, что и жидкость.
(Заметим, что аналогией сжимаемости прн моделировании в волновой кювете является связь между локальным увеличением глубины воды и повышением давления; эта связь также не меняется при налпчии плавающего тела.) В этом разделе мы изучим рассеяние звуковых волн на компактных телах со значениями сжимаемости и плотности, отличными от значений для окружающей жидкости.
Мы используем выводы, сделанные в равд. 1.6 и 1.7, чтобы рассчитать возникающяй благодаря этим двум аффектам рассеянный звук как поле источника и поле диполя соответственно. Разность между изменениями объема тела и объема вытесненной жидкости создает рассеяние точечным источником; разность между изменениями их количества движения создает дипольное ассеяние. Может показаться, что методы, развитие в равд.
1.6 и 1.7 для расчета генерирования звука областями источников, излучающих в >гееозмуг>!выкую жидкость, нельзя применять для изучения явлений, включающих поля >гадающих звуковых волн. Однако в рамках линейной теории эти методы ложно иснользовать для расчета поля рассеянного звука, которое определяется как разность двух полей: (!) звукового поля в случае, когда наличие тела возмущает падающие звуковые волны, и ()!) звукового поля в случае, когда тело отсутствует и падающая волна распространяется в однородной жидкости. В лннейной теории такая разность двух звуковых полей должна удовлетворять уравнению распространения звуковых волн и стремиться к нулю при удалении от тела, где параметры поля (г) стремятся к тем же значениям для поля падающих волн, что и параметры поля (й). Таким образом, указанную разность полей можно вычислить как ноле звуковых волн, излучаемых в невозмущенную жидкость вследствие различий между воздействиями тела в случае (!) и замещающей его жидкости в случае (1!).
~7,З, Раеееаыие на компактных пееаах 71 Из результатов равд. 1.6 и 1.7 следует, что такой излученный звук образуется наложением звука от точечного источника, напрюкенность которого д равна разности между величиной напряженности (105) для тела в случае (1) и для замещающей его жидкости в случае (й), и звука от диполя, напряженность которого 6 равна разности между величинами напряженности (112) для этих двух случаев. Таким образом, Ч = (Р»Р)« — (Р»Р) и (118) где (е (е) — объем тела в случае (1) или замещающей его жидко- сти в случае (й), и С' = (В -~- роЛ))« — (г + ро Л3) и = — (Г + Р«Л)) „(119) Это означает, что опадающая волна», определенная в случае (й), пренебрежимо мало меняется по фазе во всем сферическом объе- ме жидкости, вытесненной телом: если в центре объема давле- ние в падающей волне равно р р - — р е«ы~ (121) (подразумевается конечно, что в таком комплексном выражении цля реальных величин берется действительная часть), то во всем этом объеме давление будет приближенно таким же.
В результате изменение полного объема сферы У, занимаемой жцдкостью в случае (й), яо сравнению с его невоамущенным значением те е о = — яю о 3 (122) где г (1) — сила, с которой тело действует яа жидкость, а б— скорость его центра инерции. В формуле (119) мы использовали обстоятельство, уже отмеченное в равд.
1.8: напряженность диполя Г )- р«Л) в случае (й) обращается в нуль потому, что для массы жидкости р, е', замещающей тело в этом случае, выполняется закон Иьютона. Вычислим теперь напряженности (118) и (119) для сферического тела и вкратце укажом, как можно распространить эти вычисления на случай тел более общей формы. Рассмотрим постороннее тело (твердое, жидкое или газообразное), в яевозмущенном состоянии являющееся сферой радиуса а, и погруженное в однородную жидкость, по которой распространяются звуковые волны частоты ео, удовлетворяютцей условию компактности еоао/с « 1. 72 1. Звуковнв волна составит ()' — Ро) и = — Ро ИР— Ро)/Ро) = — )'о ПР— Ро)/(Рос')) = = — )г (Р>/(Расо)) е™. (123) Здесь было использовано соотношение (37) для связи изменений давления н плотности при постоянной знтропни. Соответствующее изменение объема самого тела в случае (1) вычисляется в предположении„что реакция на равномерное изменение давления р, на его поверхности определяется средним значением сжимаемости тела К: ()' — ) о)> = ) оК (Рв Ро) ° (124) Здесь К вЂ” относительное уменьшение объема при единичном изменении давления на поверхности.
Соотношение (123) показывает, что для жидкостей Х = р,'с ', так что если нашим посторонним телом является пузырек газа, подобный рассматривавшемуся в равд. 1.6, то мы доля<вы положить К=р ',с '. (125) В то же время для однородного твердого тела К представляет собой величину, обратную модулю всестороннего сжатия материала тела. В случае (1) давление на поверхности р, складывается из давления, обусловленного падающей волной (оно дается формулой (121)), н давления, обусловленного точечным источником с напрян'енностью д, помещенным в центре сферы: рв — ро = р>сия+ д (1)/(4яао). (126) Здесь учтено, что в выражении (71) для обусловленного точечным источником избыточного давления при г = ао можно пренеоречь отличием в — а,с от 1 в силу условия компактности (120).
(Таким образом, для представления искомого решения волнового уравнения мы локально используем решение (67) уравнения Лапласа.) Какое-либо влияние дипольного распределения избыточного давления в формуле (126) можно не учитывать, так как его среднее значение на поверхности сферы равно нулю; действительно, зто распределение порождает только движение тела как целого. Значение ()г — >го)и определяемое формулами (124) и (126), и значение ()г — Ро) я, определяемое формулой (123), надо теперь подставить в соотношение (118), чтобы получить дифферен>/иаланое уравнение для напряженности источника у = р )г К [р юзевв>в д /(4яао)) ро)го [р>/(роса)! юзе>о> (127) ~.Э.
Раеееаные на комнактных темах где два члена в правой части соответствуют двум членам в соотношении (118). Уравнение (127) является уравнением вынужденных колебаний системы с собственной частотой Мяие~(ре е»Х))»Г». (128) Заметим, что в случае пузырька формулы (125) для К и (122) для Ре приводят к выражению для резонансной частоты, идентичномеу выражению (109), полученному совершенно другим методом. Решением уравнения (127) будет д = [1 р»'е »Ко11/(4яаз)) ' (Х рос»») р»Рорееэзеехе. (129) Здесь первый множитель указывает на резонанс прн совпадении частоты о» падаю1цего звука с собственной частотой (128). Нак н в случае других резонансных систем, от особенности при этом значении ее можно избавиться только тогда, когда мы учтем аатухание (в случае пузырька, как было указано в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
