Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В случае тела общей формы приведенное выше решение для ближайшего поля не будет описывать действительное поле вблизи тела, потому что распределение напряженности источника по поверхности становится, вообще говоря, неверным, поскольку не будет удовлетворено соответствующее граничное условие непрерывности нормальной составляющей скорости на поверхности. Правильное решение для ближайшего поля может быть получено введением поправки, которая является локальным решением уравнения Лапласа с такой величиной нормальной к поверхности составляющей скорости, которая необходима для устранения этого расхождения.
Это решение, однако, дает нулевую полную напряженность источника, а также нулевую полную напряженность диполя (поскольку движение центра инерции тела учитывается отдельно при рассмотрении присоединенной массы), и поэтому выражением для дальнего поля можно пренебречь по сравнению с оставленными чле- 78 1. Эвукввыв ввлкьв нами. Кроме того, распределение давления на поверхности обычно вызывает деформацию тела, соответствуюгцее которой изменение объема оказывается малым по сравнению с основным. членом (124).
1.1О. Излучение квадруполя Раздел 1.8, посвященный моделированию в волновой кювете, заканчивается кратким обсуждением излучения звука компактными областями источников в случае, когда суммарная интенсивность диполей, а также суммарная интенсивность источников равна нулю. Было указано, что обычно такой характер носит излучение звука турбулентными потоками, не содерявагцими посторонних тел, которые моглп бы оказывать на воздух силовое воздействие. Более простой пример представлен на рис.
15; звук, генерируемый двумя равными и противоположными диполями, описывается как излучение кеадруполл. Вго дальнее поле, как показывает сравнение рис. 13 и 15, слабее полей отдельных диполей по существу по той же причине, по которой дальнее поле компактной группы источников, суммаряая интенсивность которых равна нулю (равд. 1.7), слабее полей отдельных источников. В данном разделе указывается связь между этими двумя прпмерамп и показывается, как турбулентное течение жидкости генерирует то же самое звуковое поле, что и некоторое распре- деленые кеадруполей с некоторой заданной напряженностью квадруполей на едияпцу объема.
Заметим, что в то время как напряженность диполя включает направление (направление малого смещения от стока до источника) исоответственно является векторной величиной, напряженность квадруполя содержит деа направления (не только направления равных и противоположных диполей, но н навравление смещения между ними) и соответственно является тенворной величиной.
Мы покажем, что тензорная напряженность квадруполя на единицу объема в турбулентном потоке принимает довольно простой вид. Результирующее излучение квадруполя может иметь намного более слабое дальнее поле по сравнению с ближним полем, чем имеет даже излучение диполя. В некоторых случаях это может означать, что дальнее поле квадруполя вообще едва заметно. Однако з других случаях, когда напряженность квадруполя велика и на него не накладывается излучение монополя или диполя, такое квадрупольное излучение от турбулентности может вызывать очень неприятный шум, который важно исследовать количественно, чтобы найти способ его уменьшения.
е.еО. Иекунение кеадрднолк Таким образом, исследование шума струи методами, основанными на теории данного раздела, должно дать ценные рекомендации для уменыпення шума. Для того чтобы вычислить напряженность квадруполя на единицу объема, начнем с преобразования основных уравнений движения (2) и (3) в двух аспектах. Во-первых, потребуем„ чтобы они описывали локальную скорость изменения (д'дл) количества движения илн массы на единицу объема; например, ссруппируем последние два члена в (3), записав их в виде члена лу (рп), которьлй с точностью до знака представляет локальную скорость изменения р. Во-вторых, примем индексные обозначения, что позволит легче использовать тензорвые величины в дальнейшем; итак, в этом разделе координаты обозначаются как х„ хзэ хэ, вектор скорости как (и„ и„ и,), а повторение нижнего индекса в любом члене уравнения автоматически оаначает суммирование по нему от 1 до 3.
Тогда уравнение (3) запишется как др!дС + д (рил)!дхл = О. (143) Аналогично уравнение (2) после такого второго преобразования принимает вид рдил!дл + ри,ди дх; + др'дхл = О, (144) и мы достигнем цели первого преобразования, а именно получим уравнение для д (рил)~дл, если сложим уравнение (144) с уравнением (143), умноженным на и;. Прежде чем сделать это, заменим в уравнении (143) индекс л па ) (что не меняет смысл уравнения, поскольку любой нижний индекс, повторенный дважды в одном члене, оаначает суммнрол.„пие от 1 до 3) н затем составим произведение илдрлдл + и;д (рид)'дхл — — О.
(145) После сложения уравнений (144) и (145) получаем требуемый внд уравнения: д (рил)!дл чх д (рилил)лдхл + др,'дх; = О. (146) Преобразованные уравненлля (143) и (146) имеют простой физический смысл лл масут быть непосредственно выведены следующим образом. В уравнении (143) локальная скорость изменения плотности приравнивается днвергенции велепора польска масси ри, с обратным знаком.
Это выражает закон сохранения массы, согласно которому скорость изменения массы в элементарной области равна скорости истечения массы из атой области. Аналогично скорость изменения плотности количества движения, согласлло (146), равна взятой с обратным знаком л. Звуковые ве»я» ,дявергенцип тенвора плотности поп>ока количества движения ри;и> плюс поправка (поскольку количество движения не сохраняется, а меняется со скоростью, равной прило>конной силе), равная силе давления на единичный объем — др!дхг. Действительно, последние два члена в уравнении (146) можно объединить и ааписать уравнение в виде д(риг)ад> + д(ои;и, + (р — рв) 6, Гдх> — -- О, (147) где 6;, — символ Кронекера, который равен единице прп г = — 7' и ну:по при г чь /. Смысл уравнения (147) заключается в том, что изоыточное давление р — р, создает поток количества движения (р — рв) бпе который, как показывает множитель боь является ивотропниж (т.
е. равным во всех направлениях), поскольку избыточное давлеяие действует во всех направлениях одинаково. Член в квадратных скобках в уравнении (147) представляет собой тензор гголноео потока количестла движения, равный скорости переноса х,-составляющей количества движения в направлении х> и обусловленный: (г) конзекцией за счет составляющей скорости по оси х> и (П) действием избыточного давления р — р,; таким образом, в уравнении (147) скорость изменения х;-составляющей количества движения з элементарном объеме равна взятому с обратным знаком суммарному полному потоку количества движения через поверхность, ограничивающую этот объем. Преобразование уравнений движения жидкости к специальному виду (143) и (147) дает возможность получить оценку для авука, генерируемого турбулентными течениями жидкости, которая следует из установления точного соответствия динамики жидкости и линейной теории звука. В линейной теории член в квадратных скобках в уравнении (147) принимает значение с' (р — р,) бы, так как связь между давлением и плотностью является линейной в силу соотношений (11) и (14) и отбрасывания малых величин вида и;ир Уравнения движения жидкости при питой аппроксиэгаиии тенвора пслнвво потока количества движения сводится к линейному волновому уравнению для р, т.
е. из (147) имеем д (риг)lдс + с'др(дхг = О, (148) .а исключив плотность количества движения ри, (для этого из производной д/дг от уравнения (143) надо вычесть производную дгдхг от (148)), получим линейное волновое уравнение дзр/дез — сздзр(дх~ = О. (149) При отсутствии действия на жидкость посторонних тел, погруэкенных в нее, это уравнение не будет давать излучения звука.
1,10. Излучение яеадруполя Таким образом, излучение звука потоком жидкости полностью обусловлено отклонением значения полного потока количества движения (член в квадратных скобках (147)) от его приближенного значения с' (р — р,) б;1, даваемого линейной теорией. Если записать зто отклонение как Тзд = ри и1 + ((р — ро) — с' (р — р,)) бы, (150) то становится ясным, что ивбыточнов значение патона количества движения по сравнению с величиной, даваемой линейной теорией, описывается квадратичными членами и членами более высокого порядка малости, обусловленными как наличием малых величин вида и;ин так я нелпнейностью связи давления с плотностью. С учетом обозначения (150) уравнение количества движения (147) можно переписать в виде д (ри;)!д1 -+ с'др'дх; = — дТз1Ъхт (151) зл после исключения ри; с помощью етого уравнения и уравнения неразрывности (143) получить уравнение д«р~д㫠— сод р/дхз« .== д«Т;;,!дх,дх, (152) которое представляет собой линейное уравнение (14»9) с «вынуждающим членом» в правой части.
Зтот «вынуждающий член» должен определить любое генерирование звука, т. е. флуктуации плотности р, распространяющиеся от турбулентного потока. Заметим, что величины Тм можно считать пренебрежимо малыми вне области течения, где имеют место только таким образом генерируемые звуковые волны, для которых справедливы приближения линейной теории. Зтп приближения с пренебрежимо малыми Т;; могут, однако, быть непригодными внутри потока, который составляет, следовательно, ограниченную область источника для генерируемого звука.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
