Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Флуктуации давления в некоторой точке Р передаются вдоль «луча», определяемого как кратчайший путь от поверхности тела до точки Р. Если предстазпть себе «трубку лучей», образованную пучком таких лучей, идущих к точке Р и другим близким к ней точкам, то в такой трубке движения поверхности сферы будут создавать те же самые флуктуации давления, что и одномерные волны, генерируемые поршнем в прямой трубе, но уменьшенные при г!а» на множитель и«!г, необходимый для того, чтобы поток энергии вдоль трубки лучеи распределялся по площади поперечного сечения, увеличивающейся как г». Таковы законы, совокупность которых составляет содержание так называемой «геометрической акустики» (по аналогии с геометрической оптикой), и в следующих главах мы часто будем заниматься выяснением условий их широкой применимости.
Здесь же, предположив на основе единственного примера, что, по всей вероятности, законы геометрической акустики очень важны, мы продолжим изучение вопроса, проверив их на примере, который отличаетсн от предыдущего з одном за>ином отношении. В качестве второго примера рассмотрим излучение твердой сферой, колеблющейся вдоль прямой.
Если функция Ь (г) описывает перемещение центра сферы относительно фиксированного начального положения, то в сферических координатах, в которых О представляет собой угол между направлением перемещения и радиусом-вектором, граничное условие, соответ- 1.11. Иолуосние ооо сфер ствующее формуле (166), запишется в виде (дср/дг)... = Ь (1) соз О. (174) Таким образом, скорость эквивалентного поршня будет различной в различных точках сферы, а это обеспечивает более строгую проверку предположения, что при больших свао,'с флуктуации давления в точке Р зависят от движения поршня в ближайшей к Р точке на поверхности сферы. Предыдущий пример, в котором граничное условно (166) удовлетворяется точно, если поместить источник в центре сферы, позволяет предположить, что граничному условию (174) можно удовлетворить, поместив там диполь.
Поле давления диполя, напряженность которого имеет величину 6 (1), а направление совпадает с направлением перемещения тела, дается формулами (92) н (90), и поэтому поле радиального ускорения будет описываться формулой ро' др!дг = (4лро) ~ (2г о6(1 — г~с) + +2г 'с '6(1 — г!с) +г 'с о6(à — г(с)) созО. (175) Отсюда следует, что условие (174) выполняется точно, если 6 (1) удовлетворяет уравнению 6 (1 — ао,'с) -'; (ао,'с) 6 (1 — ао(с) + — (аеас) 6 (1 ао(с) = 2 =- 2л рос, 'Ь (с).
(176) Интересно, что в случае выполнения условия компактности, т. е. прп малых соао!с, левая часть этого уравнения, согласно теореме Тейлора, будет приближенно равна функции 6 (1) с погрешностью всего 0 (ооао!с)о, что служит проверкой результата (114) длл сферы, полученного приближенными методами равд. 1.7. Можно удовлетворить соотношению (176) и в более общем случае, заметив, что каждый член вида Ь, ехр (с<о1) в перемещении сферы Ь (1) пороясдает в 6 (о) член Основной интерес, однако, представляет поведение 6 (1) и соответствующее поле давления при больших значениях соао(с.
В этом предельном случае из (176) получаем 6(1) =- 4яроаос'Ь (1+ ао(с) (178) и поле давления, определяемое по формуле (92), в которой при больших соао/с главным является член дальнего поля при всех 1. Звуковые волны г ) а„представляется как Р— Р, = (ао(г) Р„сЬ (à — (г — ао)Ы СОЗ О.
(179) Уравнение (179) для колеблющейся сферы при больших «оао!с подтверждает представления «геометрической акустикиь, в частности, что флуктуации давления в некоторой точке Р распространяются вдоль луча, представляющего наикратчайший путь от Р к поверхности тела (рис. 17). Это подтверждается не только велнчпной времени запаздывания (с — ао)1с, но также и величиной Ь соз 9 для скорости эквивалентного поршня, которая, как показывает формула (174), равна радиальной скорости ближайшей к Р точки на поверхности сферы, в которой значение 0 то же, что н в точке Р.
С другой стороны, в формулу (179), точно так же как и в формулу (173), входит множитель ао/г, который учитывает, что поток энергии в трубке лучей будет РаспРеделяться по площади поперечного сечения, увеличивающейся как г'. Соображения в пользу справедливости таких представлений при высоких частотах будут высказаны в следующих главах, начиная с гл. 2, в которой приводятся аргументы, связанные с потоком энергии, и в гл.
3 и 4, в которых дается дальнейшее Развитие попнтия лучей. Все приведенные выпте рассуждения Рис.17.Поле давления в точке Р, обусловленное колеблющейся твердой сферой, в соответствии с законами геометРической акустики передается вдоль луча, представляющего собой наикратчайшее расстояние от точки Р до поверхности сферы.
1.1л. Иелукение от плоских стенок мы принимаем с одной оговоркой: основной вклад в флуктуации давления в точке Р дается источниками, расположенными на минимальном расстоянии от Р, отчасти потому„что группы источников с сильно меняющимся расстоянием от Р дают флуктуации переменной фазы в Р, которые стремятся взаимно упичтояснть суммарный эффект (еразрушающав интерференция»), в то время как флуктуации от источников, расстояяие от которых до Р почти постоянно, имеют почти постоянную фазу и этн когерентные флуктуации могут складываться в значительное суммарное поле.
Излучения звука прн других движениях сферы, отличных от пульсации или колебания ее как твердого тела, обычно пе представляют практического интереса. Заметим, одяако, что граничные условия равенства радиальной скорости сферической гармонике второго порядка можно удовлетворить точно, если поместить квадруполь в центр сферы; такие условия соответствуют колебаниям, при которых мгновенные формы тела эллипсопдальны, но его объем остается постоянным и центр инерции покоится. 1'раничные условия общего вида можно разложить по сферическим гармоникам, и обычно более высокие гармоники связаны с мультнполями более высокого порядка.
Лрн этом оказывается, что з высокочастотных предельных случаях выполняются приведенные выше законы геометрической акустики. 1Л2. Излучение от плоских стенок Сравнительно нетрудно рассчитать звуковое поле, генерируемое в жидкости внутренней сферической границей, совершающей задашеые малые переменгения (равд. 1.11), н полученные результаты можно использовать как для проверки общих теорий для компактных областей, так и для исследования характеристик излучения звука в высокочастотном предельном случае. Другой задачей об излучении звука, которую довольно легко исследовать при любых частотах, является задача об излучении в жидкости от плоской границы (достаточно болыпой, чтобы считать ее бесконечной), часть которой совершает заданные малые перемещения. Эта задача (подобно задаче, рассмотренной в равд.
1.11) представляется важной как с теоретической, так и с практической точек зрения и достойна включения даже во вводный нурс акустики. таким образом, хотя рассчитать генерирование звука колеблющимися мембранами громкоговорителя в общем случае очень трудно, практически интересный случай колеблющейся мембраны, заделанной заподлицо с плоской стенкой, можно 94 1. Звуковые вовны исследовать при помощи изложенной здесь теории. Можно представить себе и другие технические приложения этой теории просто потому, что излучение от плоской стенки настолько просто рассчитать, что требуемую картину излучения звука можно воспроизвести с хорошей точностью (см.
ниже) при помощи подобранного надлежащим образом набора мембран, заделанных заподлицо со стенкой. С точки зрения теории анализ излучения от плоских стенок в высокочастотном предельном случае представляет особый интерес, как типичный случай, в котором приходится модифицировать правила лучей при расчете звука, генерируемого любой илоской частью поверхности.
Сравнение с равд. 1.11 показывает, почему зто так: когда излучает сфера, флуктуации давления в некоторой удаленной от нее точке Р складываются из компонент, приходящих от всей поверхности, для одной вз которых (дающей «стационарную фазу») величина фазы имеет отчетливо выраженный минимум. То же самое верно и при излучении от плоской части поверхности в точках Р, не слишком удаленных от пее, когда в соответствии с закопамп, выведенными в равд, 1.11, получается параллельный нучон лучей. Однако с удалением на большие расстояния минимум становится все менее глубоким и, таким образом, перестает оказывать какое-либо влияние, в то время как энергия в параллельном пучке перераспределяется и (см. ниже) в конце концов сосредоточивается внутри узкого конуса.
Решение такого рода теоретических и практических вопросов легко получить, анализируя генерирование звука в жидкости, заполняющей область х ) О, в том случае, когда часть ограничивающей ее бесконечной плоской стенки х =- 0 совершает заданные малые перемещения. Они задаются как такие перемещения, которые заставляют точку стенки с координатами (О, У, Я) в невозмущенном состоянии двигаться с нормальной скоростью ((У, е, 1) в положительном направлении оси х в момент времени 1; в дальнейшем мы предположим, что вне конечной колеблющейся части стенки, линейный размер которой равен 1, скорость ~ пренебрежимо мала.
В рассматриваемом случае плоской стенки результирующее звуковое ноле можно точно (в рамках линейной теории) представить для всех частот в виде линейной комбинации полей точечных источников, таких, что каждый элемент плоскости е(УИЕ генерирует суммарный массовый расход д(1) = 2р,((У, г, 1) (У (У.. (180) Как и в равд. 1.11, где звуковое поле вне пульсирующей сферы определялось как часть более сильного звукового поля точеч- 1.13. Яелучекие оое клоекик екмкок ного источника в покоящейся жидкости, здесь мы будем определять звуковое поле колеблющейся плоскости как часть (часть х ) 0) ноля с распределением (180) по всей плоскости (х = 0) источников, излучающих в однородную жидкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
