Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Уравнение (152) опнсывает распределенный источник звука. Мы можем установить соответствие его звукового поля и звукового поля, обусловленного изученными ранее механизмами генерирования звука (скоростью изменения массового расхода, генерирующего поле монополя, или силой, генерирующей поле диполя): и в то же время мы моя«ем глубже понять эти механизмы, выводя аналогичные у.равнения для описания распределенных монополя и диполя в линейной теории звука. Гипотетическая идея распределения монопольных источников подразумевает распределенное возникновение новой массы со скоростью Ч на единицу объема в единицу времени (как если бы точечные источники с массовым расходом д в единицу времени были распределены по конечному объему таким образом, о-оыоо Х. Звгвовме волям 82 чтобы они давали такое возникновение массы на единицу объема в единицу времени). В правую часть уравнения (143), выражающего скорость изменения массы в элементарной области на единицу объема, требуется ввести член (), обусловленный таким возникновением массы, так что др/д~ + д (ри;)!дх, =- ~).
Коли теперь из этого уравнения и уравнения количества движения (148), выведенного в линейной теории, исключить рио то получится д'р!61з — с'д'р!дх,' .=- д~~д1. (154) Это линейное волновое уравнение (149) с нппряхгеянестью источника (скорость изменения массового расхода) яа единицу объела в правой части. Иначе говоря, распределенные монопольные источники с напряженностью дЧ!дг на единицу объема создают поле плотности, удовлетворяющее линейному волновому уравнению, содержащему в правой части эту напряженность на единицу объема. Рептение такого уравнения должно находиться как объемное распределение полей источников, даваемых уравнением (71). Таким образом, можно записать с'(р(х) — р,) = ~ ф(у, 1 — г!с)Я4яг)) Ыу, (155) где в левой части стоит соответствующая линейной теории величина р — ре в точке с радиусом-вектором х, а в правой — интеграл по всей области распределенных источников.
В точке у внутри атой области напряженность источника на единицу объема в момент времени г равна Д (у, г) (где Д означает дед~), так что в силу (71) генерируемый звук определяется величиной, стоящей в квадратных скобках (снова на единицу объема), если (156) г= )х — у) представляет собой расстояние от источника, расположенного в точке у, до приемника в точке х.
Полученное таким образом решение (155) неоднородного волнового уравнения (154) совпадает с теми решениями, к которым приводят классические математические рассуждения (см. литературу по волновому уравнению); это является проверкой теории данной главы. Рассмотрим далее звук, который генерируется без возникновения новой массы жидкости, а просто под действием распределенных внешних сил 7"; на единицу объема жидкости. Тогда уравнение неразрывности принимает обычный вид (143), а в правую часть уравнения для скорости изменения количества дви- 7.70. И«ли«ение ив«дрок«ля женин на единицу объема требуется ввести член /ы выражающий приложенную силу; таким образом, линеаризованное уравнение количества движения (148) запишется в виде д (ри;)/дг + с'др/дх; = /; (157) и после исключения ри; из уравнений (157) и (143) получится уравнение д'р/д/е — с'д'р,'дх, '= — д/;/дхи (158) которое представляет собой линейное волновое уравнение с вынуждающим членом — д/;/дх; в правой части.
Этот результат также служит проверкой теории данной главы. Согласно равд. 1.5, звуковое поле, генерируемое таким Распределением внешних сил /; на единицу объема, должно быть распределением полей диполей напряженности /; па единицу объема. На первый взгляд из сопоставления уравнений (158) и (154) следует другой вывод, а именно что указанное звуковое поле представляет собой распределение полей точечных источников напряженности — д/;/дх; на единицу объема.
Можно показать, однако, что эти два описания всегда одинаковы. В самом деле, поле источника с напряженностью — д/1/дх, на единицу объема (одно из трех слагаемых суммы — д/;/дх;) является предельным случаем при е «О поля напряженности на единицу объема з '/, (х„х,, х,) — з '/, (х, + з, хю х,). (159) Это соответствует размещению каждой огадельной величины з '/, со знаком «плюса в точке х„х„хз и со знаком «минуса в точке (х, — з, х„хз), где второй член в (159) имеет то же численное значение. Комбинация таких двух величин, согласно равд.
1.5, представляет собой диполь с напряженностью (/„О, О) на единицу объема. Проведя подобные рассуя«дення для « = 2 и 1 = — 3, мы видим, что распределение исепочников с напряженностью на единицу объема — д/;/дхо как и следовало ожидать, эквивалентно распределению диполей с напряженностью на единицу объема (160) Первое из этих двух эквивалентных представлений звукового поля, обусловленного распределенными источниками, является практически бесполезным: это распределение источников имеет суммарную нулевую напряя'енность (согласно теореме Остроградского — Гаусса, интеграл от д/1/дх, по объему всей области источников равен нулю), так что свойства такого Распределения, рассмотренные в равд, 1.7, позволяют в любом «.
1. Зввковав во.вам случае ожидать появление представлений посредством диполей, Последнее представление, наоборот, позволяет построить решение для (159) в виде объемного распределения полей диполей, задаваемых уравнением (102); зто решение получается В ВИДЕ с'(р(х) — р,] = — (дух;) ~ !(в (у, 1 — г1с)I(1«лг)) Ыу, (161) в точности совпадающем с полученной ранее формулой (155). Далее на основании формулы (103) можно записать вид этого выражения для дальнего поля, соответствующий его диполь- ному характеру, как с» (р (х) — ро) = ~ (гД~ (у, С вЂ” гас)((4лг)) ду, (162) где г; = х; — уо В случае представления точечными источниками такая форма записи совсем не очевидна как приближенное выражение для дальнего поля. Дальнейшей проверкой полученных выражений служит следующий факт: в силу того что интеграл (155) удовлетворяет уравнению (154), интеерал в правой части (161) является решением линейного волнового уравнения с ); е правой части.
Следовательно, выражение (161), которое представляет собой производную — д,'дхв от упомянутого интеграла, удовлетворяет тому же самому линейному уравнению с правой частью — д/,~дхь которая в самом деле совпадает с правой частью уравнения (158). Математически этот вывод справедлив, поскольку линейный волновой оператор дЧд1» — с'д»!дхв и оператор д1дх; перестановочны. Только что описанные гипотетические распределенные источники и днполк, возможно, и нельзя непосредственно использовать, но полученные реаультаты подсказывают, как практически работать с важным уравнением (152) для звука, генерируемого турбулентным гютоком. Так же как первая производная в правой части уравнения (158) свидетельствует о том, что при этом излучение имеет вид излучения диполя с напряженностью г; на единицу объема, вторая производная в правой части уравнения (152) определяет излучение вида излучения кеадрупсля с напрян'енностью Ты на единицу объема.
Действительно, полученные выше результаты для диполя показывают, что решение уравнения (152) представляет собой диполь с напряженностью — дТы)дх1 на единицу объема, а именно диполь, соответствующий «эффективной силе», которая в уравнении количества движения (151) покааывает, каким образом градиенты полного потока количества движения Тгз через 85 1.10.
Лалучеэие квадрупазз +— т~а гс рис. 16. Соответствие кажду диагональными элвисвтаяи тспзора Т 1 в продольным квадруполеи (дипсаи расположены вдоль прямой), а также между знвдиагональныин элеиентамв этого тснзора, и поперечным квадруполем (диполи сдвинуты в перпендикулярном направлении). элементарную область приводят к изменению количества движении вследствие неравенства зтекающего и вытекающего потоков. 11роме того, поле диполя с напряяепностью — дТпирх, на единицу объема (одно из трех слагаемых суммы) является пределом при е — ~0 поля диполя с папряженностьто на единицу объема, равной е 'Т„(х„, х,) — е 'Т;, (х, + е... з), (1(«) которая, как показывают рассуждения, приведенные после уравнения (159), эквивалентна распределению квадруполей па едшпщу объема, каждый пз которых определяется как сумма днполя с векторной напряженностью е 'Т;, в точке (х„х.„х,) и диполя с напряженностью --е 'Тп в точке (х, — с, х.„хз).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
