Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В такой безграничной жидкости в силу симметрии расход массы доляеен быть поровну разделен между частью х ) 0 и частью х О, которая должна поэтому иметь массовый расход на единицУ площади, Равный Роу. Следовательно, ноРмальная скорость жидкости вблизи стенки в части х ) 0 будет включатгя (1) вклад ~ (У, Е, г), обусловленный массовым расходом от ближайших источников, но (й) нулевой вклад от удаленных источников, которые создают лишь касательное движение жидкости вблизи плоской стенки.
Из утверждений (1) и (В) следует, что звуковое поле с распределением (180) точечных источпнков удовлетворяет необходимому граничному условию для нормальной скорости, хотя следует отметить, что такой вывод типичен только для плоских стенок, так как он зависит от утверждения (И). Распределение (180) точечных источников с полямп (71) генерирует в точке (х, у, г) избыточное давление р — ро= ~ ) (2ро/(У, Х, 1 — ге!с)!(йяге)] Л'ИЯ, (181) где ге — расстояние до точки х, у, г от источника, расположенного в точке (О, У, Т): ге —— — (хг + (у — У)' + (г — ь)аРР (182) Хотя пределы интегрирования в (181) бесконечны, мы будем рассматривать излучение только от конечных областей, для которых функция 1 становится пренебрежимо малой, когда величина У или Я превышает масштаб длины й Интегралы вида (181) могут оказаться весьма трудными для точного вычисления, но они существенно упрощаются в дальяеле иоле, когда расстояние (хг л уг + гг)1/2 (183) от начала координат настолько велико, что в разложении (181) по убывающим степеням г можно учитывать только главный член (пропорциональный г ').
Это определяет главный член (пропорциональный г г) в аналогичном разложении интенсивности, а следовательно, как акустическую мощность, так и ее диаграмму направленности вдали от области источников. 1. Звуковав волНа Заметим прежде всего, что г, =- г — (у/г) У вЂ” (г/г) Х Ч- О (г ') (184) при г — «.со в заданном направлении (т. е. с заданными отношениями у«г и г«г). Следовательно, соотношение (181) можно переписать как т. с.
во всех дальних полях переменное расстояние г, от источника в знаменателе (181) можно заменить фиксированным с ошпокой 0(г з), но для получения ошибки того же порядка для времени запаздывания г,/с нужно брать следующее приближение. Действительно, при фиксированном г изменения времени запаздывания в (185) имеют порядок 1/с. Только в том случае, когда выполнено условие компактности (91), моокно пренебречь изменением « па интервале времени такого порядка и брать все значения «при одном и том же значении времени à — г/с. Тогда, как и в общей теории в равд. 1.6, все поле является полем единственного источника в начале координат, напряженность которого складывается нз напряженностей всех источников и в данном случае равна удвоенной скорости изменения массового расхода от плоскости.
Заметим, что напряженность такого источника, соответствующего компактной совокупности мембран, вмонтированных в плоскую стенку больших размеров, вдвое больше, чем в случае, когда та же совокупность устанавливается на поверхности компактного тела. Интенсивность (82) дальнего поля будет вчетверо больше, хотя телесный угол здесь равен 2я вместо 4я; соответственно при установке мембран на таком болыпом плоском зкране нх выходная мощность просто удваивается, Чтобы определить излучение от некомпактной совокупности мембран, заметим, что каждый член вида «г (У, 7) ехр (1ыг) (186) в распределении «(У, /, 1) нормальной скорости порождает в выражении давления (185) для дальнего поля член (ро/оэ/ (2пг)! Р, (соу/(гс), оэх/(гс)) ехр [/во (г — г/с)), (187) 97 7,/э, Иэлучэкие огп плоских стенок где ээ ег(М, ггг)= [ Г /,(У, Л)ехР(гМУ+гХУ)агУс[У (188) представлнет собой фурье-изображение функции /г (УгЕ) (при двумерном преобразовании Фурье).
Заметим, что зги формулы включают и кохшактную совокупность, так как в случае, когда ег/с, а следовательно, и г)Х, и Х малы по сравнению с 1//, функцию Р'г в (187) и (188) можно приближенно представить постоянной г, (О, О), задающей поле давления точечного источника. Однако в общем случае, флуктуаци~ давления (187) в дальнем поле включают в себя зависимость от нанравленил, т. е. от у/г и е г, определяемую преобразованием Фурье распределении скорости на стенке.
Как н в случае других дальних полей, можно попользовать уравнение (81) для вывода интенсивности (р — рэ)э/(рэс), что приводит к акустической интенсивности [Рпогэ/(8пэг'с)! [гг!огУ/(ес), гоз/(гс)! ! э, (189) распределенной ио наггравленияж ги осредненной по времени (при таком осреднении квадраты синусов и косинусов ог/ заменяются на 1'2). Сформулированные правила позволяют легко рассчитать набор хгембран для некоторых частных случаев. Так, для одной круговой мембраны радиуса а,, амплитуда колебаний скорости которой равна (/, имеем /г =- (/ или /, = 0 в зависимости от того, какое из неравенств, уе + у' < а,' илн 1" + 7' > а', выполняется; тогда Р (М, Дг) = 2~Ула(Мв -[ мг)-г/гу [а(Мг + /(гг)г/з! (190) т. е. ег выражается через функцию Бесселя уг. График безРазмеРной величины(г/Яа') ге'г в зависимости ота (Ма + Хт) М' построен на рис. 18.
В соответствии с формулой (187) зто определяет зависимость флуктуаций давления от направления в виде функции от ога(у' + з')'".'сг = (ега/с) згп 0, где 0 = агс сов (х/г) — угол с осью х. Заметим, что прн ога/с( 3,83 (первый нуль функции эг) амплитуда является убывающей функцией 0 при приближении любым способом к 0 = н/2. Однако при ббльших значениях «га/с амплитуда обращается в нуль при значении угла (192) 0, = агс а[в [3,83 (ога/с) г! 7-ЕЫОО 98 1. Звуаовмв вовам <иван-'К <М,Н< 0,5 а <ив в ми '<в в,аа рнс.
18, Функция рм заданная формулой (19<8 и определяющая распределенне даааення (187) а дальнем поле колеблющейся с ампацтудой скорости <7 круговой мембраны раднуса а в болыпой плоской стенке. и большая часть излучепнн заключается внутри конуса О ( О,. Таким образом, одна мембрана громкоговорителя может излучать узкий конический пучок звука, если ее радиус а достаточно велик по сравнению с с!ю = "в<' (2п). Однако нпдикатрпса излучения включает также «боковые лепесткив с О ) О, и пиковыми амплитудами в 13, 7, 4'о и т. д. от центральной пиковой амплитуды. Такие вбоковые лепесткив характерны для болыпинства простых способов генерирования узких пучков звуна.
Однако для технических целей может потребоваться некоторая заданная ипдикатриса излучения, например без боковых лепестков; выражение (187) показывает, как это сделать прп помощи набора мев<бран, аппроксимируя функцжо распределения скорости обратным преобразованием Фурье: вю Х<(У, Я)=(2п) ' ) ~ Р,(йХ, <Ч<)ехр( — <ЛХЪ' — <<Ч<л) <1М «<Ч< О в (193) с желаемым распределением нзлучення по направлеяням. В общем случае, когда функцин Х< (У, 7) описывает колебания набора мембран, покрывающих площадь с линейным размером 1, фурье-преобразование Ев (ЛХ, <<<) должно стремиться к нулю при больших ИХ и 7<Ч< (см. литературу по теории преобрааований Фурье), и тогда выражение (187) означает, что при больших <о1<с излучение звука доля<но сосредоточиваться во все более узкой конической области.
Интересно сравнить зти результаты при больших о<1/с для общего случая плоской л.12. Излучение от клоскиз стенок стенки с результатами, вытекающими из представлений геометрической акустики, приведенных в равд. 1.11. Из геометрической акустики следует, что при болыпих оз!!с флуктуации давления в каждой точке Р передаются вдоль луча, который определяет наикратчайший путь от плоской стенки до точки Р, т. е. вдоль проходящей через точку нормали к стенке. Тогда геометрическая акустика предсказывает параллельный пучок лучей, а действительный конический пучок отклоняется от него на угол, которьш стремится к нулю при оз!'с — оо.
С другой стороны, флуктуации давления, которые, согласно правилам геометрической акустики, передаются вдоль луча у = У, г =- Х от епоршняз, движущегося со скоростью (186), а именно со скоростью рос)', (у, з) ехр ((со (с — х,'с)), (194) не имеют ничего общего с формулой (187) дальнего поля даже в предельном случае болыпих сойс. Здесь не только отсутствует коэффициент затухания г ', учитывающий тот факт, что лучи не остаются параллельнымп, а конически расходятся, но и распределение поперек пучка ошибочно описывается функцией 7', вместо ее фурье-преобразования Г,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
