Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 22
Текст из файла (страница 22)
й!ы опускаем здесь подробное обсуждение главной из упомянутых трудностей, состоящей в том, что, когда геометрическая акустика предсказывает параллельный пучок, в дальнем поле ее выводы необходимо модифицировать. й!ожно, однако, вкратце указать, как разрешается это кажущееся противоречие между двумя теориями. Тщательное исследование точной формулы (181) для поля давления показывает, что приближение (194) параллельного пучка геометрической акустики является почти точным на определенной длине пучка вблизи стенки, далее следует область перехода к зависимости (187) для конического пучка, в то время как на болыпих расстояниях дальнее поле почти точно описывается приближением конического пучка.
Заметим, что переходная область — зто область, в которой ширина пучка меняется от величины порядка ! до величины порядка гс!(со!) (при таких порядках величин у н х справедливы формулы (194) и (187) соответственно). В самой переходной области расстояние з от стенки имеет порядок ю!з/с. В действительности оказывается, что геометрическая акустика дает хорошее прнолижение при г« юР)с; по существу зто та область, в которой фааа полученного сигнала обладает достаточно четко выраженным минимумом, чтобы разрушающая интерференция имела место вдали от него.
Аналогично аппроксимация (187) дальнего поля хороша там, где г>) соР1с, 7* 1. Звхковве вовкв в то время как область перераспределения амплитуды от функциональной зависииости (194) с (, к виду (187) с г", охватывает промежуточные значения г порядка еове1с. Заметим, что такое перераспределение не вносит ншсаких изменений в полный поток энергии. Из теоремы Парсеваля следует, что (у (у, г)!ее(уей=(2я) з ) ~ (Е (М Л))зе)МдХ (198) (см, литературу по теории преобразований Фурье); потоки энергии в параллельном пучке (194) и в коническом пучке (187) равны величине (1(2) р,с, умноженной на левую и правую части этого равенства соответственно (как мы получаем, например, прп интегрировании формулы (189) для определения интенсивности по всей площади поперечного сечения пучка).
!.13. Диссипация акустической энергии Мы закончим зту главу изучением механизмов, которьы|и до спх пор пренебрегали и которые способствуют диссипацип акустической энергии в тепло, а также остановимся на тех модификациях линейной теории, к которым приводит учет этпх механизмов. Рассмотрим прежде всего плоские бегущие волны. Для обычных жидкостей мы найдем, что, хотя в случае таких волн, соответствующих слышимым или даже ультразвуковым частотам, достигающим нескольких мегагерц, потери энергии на каждой длине волны за счет диссипации очень малы на расстояниях, много больших длины волны, они приводят к экспоиенцнальному уменьшению амплитуды, называемому зитухаиием.
Для того чтобы учесть диссипацию при помощи полученных результатов для плоских волн, некоторые из положений теории, развитой в атой главе, нужно несколько видоизменить. Например, внутри компактной области источников и в окрестности этой области диссипация акустической энергии не может оказывать значительное влияние на процессы генерирования и распространения звука к порогу дальнего поля, так как он располон'ен на расстоянии всего одной-двух длин волн. Однако такое дальнее поле, будь то поле точечного источника или диполя, иа каждой длине волны имеет характеристики плоской волны, за исключением множителя г ', учитывающего постепенное распределение энергии по площади, увеличивающейся как г'.
В частности, относительные потери акустической энергии на длине волны должны быть почти такими же, как и для 1.1г. Диссииация аялстичссяай гисргии 101 плоской волны, причем уменьшение амплитуды с расстоянием будет описываться произведением двух членов: экспоненцнальным членом, учитывающим потери энергии так же, как в плоской волне, и множителем г ', который позволяет учесть распределение энергии по площади, увеличивающейся как гя. Аналогично любые волны, рассматриваемые в геометрпчесьой акустике, при распространении вдоль трубок лучей обладают свойствами плоских волн на ка'кдой длине волны, т.
е. изменение их амплитуд описывается произведением той же самой экспоненцпальной функции от расстояния и геометрического множителя, который учиттзвает распределение акустической энергии по меняющейся площади поперечного сечения трубки лучей. Одним пз механизмов диссппации энергии является вязкость, которая из-за внутренних напряжений в жидкости прн неравномерных движениях приводит к различным потокам количества движения в различных направлениях. Эта апизотропия выражается тензоролг напряжений рц, элементы которого представляют собой скорость обусловленного напряжениями жидкости потока хксоставляющей количества движения в направлении х; через едшшчную площадку в единицу времени. В гидростатике или в случае пренебрежимо малой вязкости тензор напряжений принимает изотропный вид Ры =Р" г (196) одинаковый во всех направлениях.
Для учета анизотропного потока количества движения рия обусловленного напряжениями в жидкости, и конвектнвного потока количества движения ри;исо как в уравнении (147), необходимо применять нелинейные теории; таким образом, теория генерирования звука турбулентным потоком, рассмотренная в равд. 1.10, станет более точной, если в уравнении (147) и последующем определении Ты (150) заменить рб;; точным тензором напряжений рип В учебниках по кинетической теории показывается, что в совершенных газах, определяемых уравнением (23), тензор напряжений можно рассматривать как осредненный избыточный поток количества движения, конвективно переносимый большими флуктуациями скоростей молекул относительно средних значений, представляемых скоростью жидкости мп В линейной теории учитывается только поток количества движения, обусловленный напряжениями рип так как рисиг включает произведение малых величин.
Для плоских волн, распространяющихся, например, в направлении х„на которых мы остановимся в силу сообрагкений, криведенпых выше, единственной важной составляющей рм оказывается рм. 1. Звумввмв в«вам Действительно, все величины в такой плоской волне не зависят от х, и х„так что линеарнзованное уравнеяие количества движения о«ди,!д~ = — др„!дх, (197) выражает равенство скорости изменения х;составляющей количества движения и взятого с обратным знаком градиента х; составляющей потока количества движения, в то время как линеаризованное уравнение неразрывности (5) сводится к соотношению др'дг — — — р,дирдх„ (198) связываюьцему только р и и,. Из уравнений (197) и (198) вытекает довольно простое соотношение, связывающее р и р„: д'р/д1« = д»рп!дх',.
(199) Если при малых возмущениях рп отличается от невоэмущенного давления р, на величину с' (р — р,), кратную избыточной плотности, как это следует нз соотношения (196) для невязких жидкостей и формулы (37) для обратимых (с постоянной энтропией) процессов, то уравнение (199) будет одномерным волновым уравнением. Однако можно получить более точное соотноптенне, если принять, что р„может меняться не только в зависимости от р, но также и в зависимости или от др'дс, или от ди,~дхп Поскольку две последние величины в силу (198) пропорциональны, такую зависимость в линеарязованном виде можно записать как (200) рм — ро =- с' (р — рв) ж бдр'д1, где первый коэффгщиент с» остается прежним, поскольку изменения, которые не являются слишком резкими, должны удовлетворять соотношениям для течений невязкой жидкости с обратимыми процессами.
С помощью коэффициента б можно учесть вязкость (анпзотропность тензора напряжений, позволяющую р„превышать другие составляющие, когда производная ди,/дх, отрицательна) илн необратимость, обусловленную запаздыванием при установлении термодинамического равновесия (с помощью члена др'дв, учитывающего отставание изменений плотности от изменений давления), но из уравнения (198) видно, что в экспериментах с плоскими звуковыми волнами этн два эффекта различить невозможно; это обстоятельство привело к такому термину, как «объемная вязкость», который используется для описания второго эффекта и который мы стараемся здесь нс употреблять. Оба вклада в б и менее очевидный вклад, обусловленный теплопроводностью, научаются ниже после краткого 1,И.
Диссикацик акустической ггсергии анализа следствий уравнения (200), касающихся распространения звука. Для акустической энергии И' на единицу объема, задаваемой в виде суммы (42) и (50), или, в частности, для плоских волн в виде (201) = — Рои,т 2 (Р Ро) с Ро в силу формул (197), (198) п (200) получаем, что апг — =- — илдрлл!дхл — сс (Р— Р ) дил1дхл = о = — д [(рм — ро) ил),'дхл + (ры — ро — с' (р— — Р,)) дил/дхл = = — д11дхл — Роб (дил/дхл)а, (202) где У вЂ” ноток энергии, обусловленный мощностью избыточного напряжении р„— р;, уравнении (200) и (198) испольаованы здесь для того, чтобьл показать, что последний член существенно отрицателен. Таким образом, уравнение (202) помимо изменений, обусловленных потоком энергии Х, дает дополнительную скорость днсснпацпп акустической энергии на единицу объема, равную (203) Р,б (дил!дх,)'. Тот факт, что днсснпацня энергии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
