Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Эта величина, если материал изотропен, есть модуль Юнга, в противном случае — модуль упругости при окружном растяжении. Относительное изменение площади поперечного сечения жидкости в трубе (А — А«)1А» равно удвоенному относительному изменению окружности трубы (24), откуда, согласно определению растюкимости (17), .получим формулу (25) Й = 2а«/(ЬЕ). :Этого достаточно, чтобы можно было применять всю линейную теорию распространения волн по однородным трубам, изложен.ную в равд.
2А. Однако, прежде чем зто делать, нам хотелось бы отметить одно следствие окружного напряжения (23), с необходимостью сопровождающего окружную деформацию (24), а именно появление деформаций противоположного знака и несколько мень«пей величины в направлениях, ортогональных этой деформации. Нет нужды комментировать радиальную деформацию, представляющую собой просто небольшое относительное уменьшение толщины стенки при р, ) О. Некоторые интереснь«е задачи возникают, однако, в связи с продольной деформацией сжатия стенки трубы, порождаемой таким избыточным давлением х«ццк ости. Ее величину можно определить по формуле д$!да = — аа«рейЬЕ) тде $ — продольное смещение частицы стенки трубы, а деформация д~~да представляет собой относительное изменение длины короткого отреака трубы. Константа а, если материал изотропен, есть коэффициент Пуассона (см. курсы теории упругости), тогда как для труб из произвольного материала ( — о!Е)— это коеффициент, связывающий продольное удлинение с окруж- 2.
Одномерные волны в кеидкоеневх е26 ным растягивающим напряжением. Типичные значения о лежат в диапазоне от 0,2 до 0,5. Таким образом, хотя продольные волны в заполненных жидкостью эластичных трубах могут вызывать продольные смещения 6 самих стенок трубы, инерция этих смещений не оказывает существенного влияния на законы распространения указанных волн. Это можно проверить, показав, что продольное напряжение сжатия рь которое необходимо для преодоления указанной инерции, мало но сравнению с (23) и не меняет характера системы напряжений в стенке трубы, в основном соответствующего простому растяэкению. Действительно, линеаризованное уравнение количества движения для продольных перемещений материала стенки трубы, имеющего по предполон'епию плотность р„таково: р, двЬ(дР— — др ~!дх.
Согласно уравнениям (26) и (27), 'д'рддхв =- (рвоаоДЬЛ)) д'р !дР = (ренан((ЪЕ)) сздвр !дхв (28) откуда с помощью выражений (10) для св и (25) для лл получитв (29) Рд~рв= 2 о Ф!Ф+л)) (Рв(Ро). Это показывает, во-первых, что продольные напряжения имеют самое большее такой же порядок величины, как и радиальные, и поэтому столь же малы по сравнению с окрунеными напряжениями, использованными при вычислении растяжнмости (25), и, во-вторых, что продольные напряжения стенки трубы сивфазны давлению жидкости (а стало быть, скорость. жидкости и скорость твердой стенки также сннфазны); соответственно решения волнового уравнения (8), удовлетноряюгциэ граничным условиям, наложенным на жидкость либо на свободном открытом конце (нулевое избыточное давление), либо на жестко закрепленном закрытом конце (нулезая скорость), должны также удовлетворять соответствующим граничным условиям, наложенным на материал стенки трубы и, следовательно, быть приемлемыми в целом. Другой тип продольного распространения воли в заполненных жидкостью эластичных трубах наблюдается, однако, если труба езафиксирована» по отношению к продольным смещениям, т.
е. закреплена снаружи таким образом, чтобы сделать их невозможными. Такая фиксация на самом деле весьма обычное свойство эластичных труб, по которым распространяютси волны. укажем кратко на явление, связанное с ним в случае 127 2.2. 77римерв изотропности материала: фиксирующий механизм должен порождать компенсирующее напряжение, равное по величине (26) и противоположно направленное, создавая силы, вызывающие в стенке трубы продольное распыгивающее напряжение оа,р,й.
Это продольное напряжение сравнимо с окружным (23) и вызывает, как и оно, деформации в перпендикулярных направлениях, которые можно вычислить, умножив его на ( — а(Е). Добавление одной из них к окружной деформации (24) равносильно умножению ее на (1 — о'). Окончательно получим, что растяжимость закрепленной трубы уменьшается до (30) й = 2аэ (1 — оэ)/(ЬЕ). Формулы (25) и (30) описывают волновые движения, существенно различные по механизму их распространения, хотя разница между вкладами растяжимости в выражение (10), определяющее р ',с-', для этих двух случаев не очень велика и обусловлена множителем (1 — о').
Сжимаемость К для воды равна 5 10 ' бар '(где 1 бар = = 10' Н7м' — нормальное атмосферное давление), и это намного больше, чем растяжимость большинства металлических труб, для которых отношение диаметра к толщине стенки 2зэ% едва ли может в (25) и (30) уравновесить влияние очень малого коэффициента податливости Е ', имеющего порядок 10 э бар '. Распространение по водопроводным сетям гидравлического удара (больших флуктуаций давления, вызванных быстрым закрытием крана) происходит, следовательно, со скороетями, близкими к скорости звука в воде (1400 м(с).
Напротив, скорость продольных волн может упасть существенно ниже атой величины для водопроводных труб, сделанных из более растяжимых материалов, например из пластмассы. Весьма крайний случай этой ситуации представлен эластомерами (вроде вулканиэированной резины) с коэффициентами податливости Е-' порядка 10 ' бар '. Далее, если растяжимость Р больп7е, скажем, еще на один порядок, то сяоимаемостью К э выражении (10) можно совсем пренебречь и предсказываемая скорость волны будет всего лишь порядка 10 м(с. Артерии млекопитающих обладают подобной растяжимо- стью (порядка 1 бар '), что соответствует увеличению площади просвета сосуда на 10% при изменениях давления порядка 10 г бар, обнаруженному при нормальных физиологических условиях. Сложная компознтная структура артериальной стенки включает волокна эластомера эластина, который допускает растяжения такого порядка при умеренных изменениях давления, а так>не образования (состоящие из более жестких 2, Одооморямо «охов о жидкостях '128 .волокон коллагена и волокон гладкой мускулатуры), которые при более высоких давлениях существенно ограничивают прирост площади, вызванный изменением давления.
На распространение сильных пульсовых волн подобная нелинейность отклика площади на давление может подействовать способами, которые будут изучены в равд. 2.3; пока что обсуждается только линейная теория распространения пульсаций. Мягкие ткани, окружающие артерию, столь податливы, что внешнее давление непосредственно у артериальной стенки пренебрежимо мало откликается на пульсации, как и предполагалось при выводе окружного напряжения (23). Однако вероятно, что эти ткани ответственны за фиксацию артерии по отношению к продольным смещениям; в таком случае для вычисления Р нужно применять вырансение (30), где коэффициент Пуассона и берется лишь немного меньше 0,5 — величины, характерной для материалов, податливость которых гораздо больше нх сжимаемости; отношения толщины стенки к диаметру трубы лежат в диапазоне от 0,06 до 0,10.
Измерения скорости пульсовой волны в артериях лучше всего проводить, замеряя время прохождения искусственно вызванного резкого перепада давления, хорошо отличимого от естественных флуктуаций давления, содержащих (см. равд. 2.4) наряду с непосредственно проходящими волнами также некоторые отраженные волны. Сравнение с прямыми измерениями растяжимости Р подтверждает справедливость приближенной формы выражения (10) (31) с (р«Р) 'оч, а измерения Р и Я в одинаковых условиях в целом согласуютсн с формулой (30), хотя их точность недостаточна для предпочтения этой формулы формуле (25). В аорте (главной артерии) крупных млекопитающих скорость волны может принимать столь низкое значение, как 5 м!с; в менее растяжимых периферических артериях она возрастает до приблизительно 10 м(с.
Максимальная скорость движения крови значительно ниже, около 1 и!с. Этот раздел, посвященный некоторым примерам, следует, вероятно, закончить простым напоминанием о том, что к одномерным волнам в трубах или каналах относятся не только те длинные волны в открытых каналах илн эластичных трубах, которые здесь обсуждались довольно пространно, но также чрезвычайно важный случай обычных звуковых волн в абстрактно определенных отрубках лучей» или в реальных трубах с пренебрежимо малой растяжимостыо. г,д.
Передача ее*а черее еечеенение 129 2.3. Передача волн через сочленения Влияние непостоянства свойств трубьг (канала) илн жидкости на одномерные волны будет изучено здесь в очень простом случае единственного и резкого разрыва в свойствах, что послуокит введением в исследование разнообразных более сложных случаев, рассмотренных в следующих трех разделах. Мы проанализируем, что произойдет с бегущей одномерной волной (11), когда она достигнет сочленения, где труба (нли канал), вдоль которой она бежит, соединяется с другой трубой (или каналом), обладающей иными свойствами и, возможно, содержащей другую жидкость.
Рис. 20 иллюстрирует разнообразие таких сочленений, соединяющих в каждом случае длинную трубу (или канал) № 1 с другой длинной трубой (или каналом) № 2. В случае а показано довольно резкое расшпрение трубы пли канала, вызывающее изменение площади поперечного сечения от А, до А,. На вопрос, насколько внезапными должны быть такие изменения, чтобы была справедлива их трактовка как разрыва, будет найден ответ, что онн должны быть когапактнаьни (протяженность области изменения очень мала по сравнению с характерной длиной волны).
Напротив, случай б иллюстрирует сильное сужение; здесь предполагается, что оно происходит совершенно внезапно. Сочленение открытых каналов с различной средней глуокной Ь показано в случае в: здесь изменяются не только площадь поперечного сечения, но и скорость волны (19), скажем, от значения с, до с,. Это горизонтальное сочленение пе является тем местом, где плотность жидкости р могла бы внезапно измениться, потому что тогда невозмущенное состояние перед приходом волк не находилось бы в гидростатическом равновесии. Однако случаи г н д, относящиеся к распространению воля по вертикальной нли наклонной трубе за счет сжимаемости жидкости, эластичности трубы, нли из-за обоих факторов вместе, предусматривают наличие в сочленении горизонтальной границы раздела между различными жидкостями (или, возможно, между одной и той яое жидкостью с различными значениями удельной энтропии), плотности которых р, и р,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
