Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Невозмущенное давление р, имеет тогда линейное гидростатическое распределение, и уравнение (1) описывает, как обычно, любое избыточное давление р „возникающее из-за наличия волны. Для того чтобы методы атого раздела были применимы, изменения в случаях г и д также должны происходить в пределах компактной области, а это для случая. д означает, что угол наклона трубы не долноен быть слишком. мал. о оное у.
Одноморнмо волны о жидкостях Ркс. 20. Некоторые виды сочлзквввй. а — сравнительно быстрое растпирзкнз; б — скачкообразное сужение; в — одновременное нзмзнзнкз ширины н глубины канала; г — соединение, содержащее горизонтальную поверхность раздела (пунктирная линия) между разлнчнымн жидкостями; д — наклоненная трубка с подобной поверхностью раздела. но бзз изменения поперечного сечения. Прохождение волны через сочленение в самом общем случае зависит от шести параметров: А„р„с, и А„р„сз — площади поперечного сечения, плотности и скорости звука в трубах № 1 и 2 соответственно.
Такую сложную зависимость от шести переменных (из которых можно образовать три независимых безразмерных переменных Аз/А„р,/ры сз/с,) было бы трудно исследовать акспериментально, если бы нз было следующих теоретических соображений, указывающих, что существенной является зависимость всего лишь от одной безразмерной переменной (А,/А,) (рз/р,)-~ (сз/с,)-т. д,д. ссврвдача евам черве ввчаемеммм Мы рассмотрим случай, когда сначала жидкость невозмущена везде в трубе № 2 и в трубе № 1 везде, кроме области, расположенной далеко слева от сочленения. Из этой области бегущая «падающая волна», заданная выражениями Р, = /(1 — х/сс), и = (Р,с,) '1($ — х/с,) (32) (ср. (11) и (12)), приближается к сочленению, положение которого выбрано как х = О, причем х ( О в трубе № 1 и х ) О в трубе Л'.
2. Если с (1) = О для с ( О, то волна ке достигает сочленения при с < О и жидкость в трубе № 2 остается певозмущенной, в то время как движения в трубе Л1 1 полностью описывасотся уравнениями (32). Самое общее решение волнового уравнения для р, в трубе №в 1 есть рв = 1 (в х!сс) + з (с + х/сс), (33) и можно ожидать, что после того, как волна достигнет сочленения, она содержит член д (1+ х!сс), отвечающий возможному частичному отражению падающей волны у сочленения.
Между тем, как только возмущение достигнет сочленения, в трубе № 2 может возникнуть бегущая волна р, = й (1 — х/с,) (34) с соответствующей скоростью распространения. С другой стороны, мы исключаем возможность появления в трубе № 2 каких-либо составляющих волны, зависящих от 1 -1- х'с„ потому что такие составляющие будут представлять волны, бегущие в отрицательном х-направлении из области с болыпим положительным х, которая предполагается левозмущенной. Очевидно, практически труба № 2 должна иметь некоторую конечную длину 1.
Это означает, что любая волна (34), бегущая з положительном х-направлении, может генерировать, когда она достигнет х = А, отраженную волну, бегущую в противоположном направлении. Однако при данном рассмотрении мы пренебрегаем этой волной, отраженной от дальнего конца трубы, либо потому, что мы ограничиваем анализ временем 1( 21,/с„за которое волна не успеет вернуться и повлиять на условия у сочленения, либо потому, что мы предполагаем 1, настолько большим, что даже при том довольно малом коэффициенте ослабления волны, который может иметь место (равд.
1.13 и 2.7), волна, отраженная при х = 1, станет пренебрежимо малой, дойдя до х = О. Таким образом, мы рассматриваем только падающую волну 1, волну д, отраженную от сочленения, и проходящую волну й. Чтобы определить неизвестные функции л и Ь из известной (согласно предположению) функции 1, требуется два уравне- ав л. Одномерные нонны о жидкостях 1Зг ния, из которых первое (35) 1 (г) + а (г) = й (~) выражает необходимость непрерывности избыточного давления р„заданного формулой (33) для х( 0 и формулой (34) для х)~ О. Тот факт, что изменение свойств около сочленения (если оно не происходит скачком при х = 0) происходит на расстоянии порядка 7, удовлетворяющем условиям компактности со1/с, >) 1 и Ы/сг « 1, (36) где оо — характерная частота, означает, что в:побои пз членов уравнений (33) и (34) в пределах 1 можно оокпдать лишь небольших изменений; зто наводит на мысль, что флуктуации давления также могут быть почти однпаковыпн во всей области сочленения, и подтверждает условие непрерывности (35) (см.
также (41) ниже). Можно было бы предположить, что второе условие у сочленения должно состоять в непрерывности скорости жидкости и, зеличииа которой и = (р,с,) -' (7 (~ — х7с,) — д (Г + х!с,)) (37) в трубе М 1 содержит член (р,с,)-"р, для каждого компонента волны в направлении его распространения; величина скорости в трубе енй 2 аналогично равна и = (ряся) 'Ь (Ф вЂ” х7се). (38) Действительно, в случае, подооном показанному на рис.
20, д, было бы справедливо потребовать непрерывности прн х = О скорости и, заданной формулами (37) для х н. 0 и (38) для х)~ О, так как скорость коляска быть непрерывна при переходе через границу раздела двух жидкостей. Тем не менее эти соображения становятся неверными в любом случае, когда происходит измененпе площади поперечного сечения. Например, в случае г скорость действительно непрерывна прн переходе через гранийу раздела, по скорость в середкне области сужения болыпе, чем соответствующая скорость в широкой трубе, и меньше, чем соответствующая скорость в узкой трубе, где тот же самый объемный расход жидкости проходит через меньшее поперечное сечение. В общем случае, Как н в вышеупомянутом, именно объслсный расход Аи непрерывен в сочленении; в основном потому, что в обеих жидкостях он меняется очень мало на рассматриваемом коротком расстоянии, а на самой поверхности раздела нет разрыва объемного расхода.
я,а. >ее>>едача волн черве сочленения Строгая проверка этого утверждения требует оценки разности А,и, — Ачие между объемами жидкости, втекающей в область сочлепения н вытекающей из нее в единицу времени. Запгппем эту разность как интеграл по области сочленения А,и,— Аеие-= ~ (К+ Р) (др,1д1) а)>, (39) р, ди/дг = — др,!дх выражения и2 ре> — реч= ~ (роди1д1) с(х. -1/2 (40) Этот интеграл по длине сочленения 1 имеет порядок рч (ю (р,с) 'р,) 1 = (е>11с) р„ (41) что подтверждает корректность условия непрерывности давления.
Эти два условия отражают особую природу екидкостеи, а именно их способность передавать давление неизменным от одного поперечного сечения к другому и подобным же образом, сохраняя объеленый расход, изменять его структуру применительно к поперечному сечению с иной формой и размером.
Волны в твердых телах подчиняются другим ааконам: продольные волны, бегущие вдоль металлического стержня, удовлетворяют прн внезапном изменении поперечного сечения условиям непрерывности силы и скорости; например, полные продольные силы, приложенные к обеим сторонам малого элемента материала, расположенного в сочленении, должны аффективно уравновешивать друг друга, так как нет другой силы, чтобы сбалансировать их. Это соображение непригодно для >кидко- где à — объем жидкости в области сочленения, а (К вЂ”; Р) Х ~ (дрв1д1) — относительная скорость его изменения за счет сжимаемосги и растяжимости.
Используя выражение (10) для К ' Р и принимая порядки др,1д1 и (> равными соответственно о>(рос) и и А1 (где о„, с, и и А — значения плотности, скорости звука, скорости жидкости и площади поперечного сечения в промежуточной точке), получим в качестве оценки правой части (39) величину (о>1'с) Аи, которой можно пренебречь по сравнению с каждым членом в левой части равенства (39) при условии компактности (36). Заметим, что аналогичные сообран;ения приводят к получению из линеаризованного уравнения количества движения Я. Одиовееряме волям в жидкостях стей, потому что разность действующих на жидкость в сочленении продольных сил РеьАг Рез 4ю уравновешена суммой реакций спгеняи трубы у ее сужения... Из условия непрерывности объемного расхода Аи при х = = О, который для х «О вычисляется по формуле (37) при А = 1„а для х > Π— по формуле (38) при А —.— А „следует, что 1 (г (~) з ( )) Уз,~ (~)г (42) где У, = А, (р,с,) ' и У, = А, (р,с,) ' (43) — обозначения двух комплексов таких переменных, как площадь, плотность и скорость волн, которыми исчерпывается вхождение последних в условие (42).
Так как (35) и (42), очевидно, определяют и отраженную волну д, и проходящую волну Ь, то этим подтверждается более раннее утверждение, что они завпсят от указанных шести величин только в комбинации УзгУг. Величины У, и У„важность которых покааана этим анализом, называются проводимостями этих двух труб. Из уравнения (32) становится ясным, что для неискаженной бегугг)ей волны Объемиьгй расход в направлении распространения У, = Проводимостью Избыточное дазлеиив (44) и из уравнений (34) и (38) следует та яте самая физическая интерпретация для У',. Термин «проводнмостьэ выбран по аналогии с электротехникой, где Проводимость = Тои (45) Разность потенциалов 1(т) — х (г) ' Х(с)+дрй (48) — простое уравнение для отраженной волны ь, решение которого есть й (1))1 (1) = (У, — Ук)г'(У, + У,). (47) В ооеих упомянутых дисциплинах величина У, называемая проводимостью, используется наряду с обратной ей величиной Я = 1г'У, называемой сопротивлением; позже будут выведены правила, позволяющие определить, в каких случаях одна из них более удобна для изучения волн в жидкости, чем другая.
Деление уравнения (42) на уравнение (35) дает Л.Ю. Передача волн черее сочленения Это соотношение, согласно (35), означает, что Ь (1)>>1(1) = 2У>!(У, + У,). (48) В связи с этими результатами следует отметить первый особый случай: если >грове>)имости в точное>пи согласованы (т. е. хотя поперечные сечения, плотности, волновые скорости в двух трубах могут быть совершенно различны, их комбинации (43) равны одной и той >ке величине У> = У,), >но о>праженлал волна отсутствует, Тогда форма проходящей волны й (1) идентична форме падающей волны 1 (1). Это следует из того, что проводимость есть отношение объемного расхода к избыточному давлению в простой бегущей волне; соответственно простые бегущие волны в двух различных трубах могут сосуществовать, если проводимости труб равны, что делае~ совместными условия непрерывности для избыточного давления и для объемного расхода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
