Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 31
Текст из файла (страница 31)
3. Одномерные еални е ееидкоетле Наблюдение флуктуаций давления в аорте согласуется с качественным заключением о полоязительной отраженной волне. Физиологическое значение возникающих в результате повышенных перепадов давления в относительно растяжимой аорте состоит в том, что они способствуют накоплению крови, выбрасываемой сердцем при каждом ударе, для обеспечения сравнительно постоянной периферийной циркуляции. Вь1ше, в грудной аорте, есть ряд сочленений совершенно другого типа, в каждом из которых две узкие льежреберные артерии отводят из аорты небольшое количество крови, предназначенное для питания области, лежащей между двумя парами ребер. В этом случае Х = 4, а проводимости У, и Уз частей аорты, лежащих выгпе и ниже разветвления, по существу равны и очень велики по сравнению с проводимостями У, и У, межреберных артерий.
Суюеа в (56), следовательно, близка к У„ и соответственно имеет место почти полная передача пульсации. Этот результат, никоим образом не удивительный для непрерывной передачи вниз по аорте, заключает в себе нечто оолее интересное — флуктуации давления, распространяющиеся вдоль межреберных артерий, те же, что и в самой аорте. В точности аналогичное рассмотрение применимо для длинной волны, которая распространяется вверх по устью реки, подходит к ее разветвлению или проходит в малые притоки. Разветвление вызывает положительное отражение, когда сумма проводимостей двух рек меныпе, чем проводимость эстуария, который опп образуют после слияния. (Для открытых каналов вообще, согласно (19) и (54), проводимость равна У = ЬЬ!(р (дЬ) л ) = ЬЬ ~з((ру Г ), т.
е. пропорциональна ширине поверхности воды Ь и корню квадратному нз средней глубины Ь.) Кроме того, по узким притокам, впадающим в эстуарпй сбоку, проходят те же флуктуации уровня воды (р,!рд), что и в люоой длинной волне, распространяющейся вдоль эстуария. В этом введении к прохождению волн через разветвленные системы мы будем избегать анализа сложных случаев, но сделаем следующий птаг после изучения одного разветвления и покажем, как взаимодействуют два разветвления, если расстояние между ними не предполагается компактным.
Это приводит к качественно новым особенностям, тогда как множественные взаимодействия между ветвями в сложной системе лишь количественно увеличивают объем необходимых вычислений. Рассмотрим (рис. 22) разветвление В, в точности подобное разветвлению на рис. 21, за исключением того, что труба № 1 Л.в. Раеарестранение «елн нерее разлет«ленные системы Рнс. 22.
Взаимодействия между разветвлением А (глз х = — 1) и разват аленнзм В (гла х = О). длиной ! сама является одной на труб, получающих волны, проходящие через расположенное выше разветвлонне А. Отношение отраженнои волны к падающей в разветвлении В (для которого х = 9, как и на рпс. 21) по-прежнему определяется с помощью (55). Вычислим эффективную нроводиэсость У';и трубы М 1 в разветвлении А (где х =-- — 1). Она определяется как отношение объемного расхода А,и к избыточному давлению р, при х = — й Принимая во внимание, как и в уравнениях (37) и (33), наличие волн обоих направлений в трубе Л! 1, получим у =у! .ен 111+1/с!) — х(г — !!с!) ' 1(з+1Гс!)+е(! — 1!с!).
(59) Если мы сможем вычислить раз и навсегда У' ' — отношение объемного расхода в трубе Л~ 1 к избыточному давлению в разветвлении А, получонное с учетом наличия второго разветвления В,— то исследование разветвления А можно будет проводить в точности по правилам, описывающим единственное разветвление, заменив У, — проводимость трубы Л" 1 в А— на У;!' при суммировании проводимостей всех труб, которые получают волны, проходящие через А. Качественно новая особенность этой задачи — время запаадывания с/е! между приходом волн в А и В, которое в формуле (59) сдвигает 1-волну (бегущую от А по направлению к В) и у-волну (бегущую от В по направлению к А) в противоположных направлениях.
Это обстоятельство вал<но, потому что оно не позволяет непосредственно испольаовать уравнение (55), определяющее д (1)l)' (1), для вычисления (59). Способ обойти эти трудности, общепринятый в исследованиях по распространению волн через разветвленные системы,— зто фурье-анализ в классе комплексно-экспоненциальных вол- 2. Одноме>>нме волнм в жидкостно $42 л >о (У>+ к» У„) еео1>~" — (У~ — кч У„) е у ем )е о 2 н=э > = > к >о ( у (ч у > оо>мо» Еу Ч> у > е-1м>~е> н)е ( — „) е. о=2 н4 а (60) Отражение и прохо>кдение у разветвления А сигналов, пропорциональных е'м', моя>но, таким образом, вычислить с учетом наличия разветвления В, если в качестве эффективной проводимости трубы № 1 ваять комплексное число (60), зависящее от е>.
Такое использование комплексных проводимостей, зависящих от частоты, вполне аналогично анализу электрических цепей переменного тока, где также принято результаты вычисления отклика обобщать с помощью фурье-анализа на произвольные вынуждающие воздействия. Формула (60) для эффективной комплексной проводимости трубы № 1 у разветвления А при наличии разветвления В ста- новых форм, пропорциональных е™. В рамках линейной теории, «вынуждающее воздействие», которое вызывает проходя>цие через систему волны (каково бы оно нн было), моя<но с помощью фурье-анализа представить в виде линейной комбинации членов вида е'"' с различными аначеннями е>, и если любая характеристика отклика системы может быть вычислена отдельно для каждого такого члена, то полный отклик должен быть той же самой линейной комбинацией этих отдельных откликов.
Например, периодическое, но не сннусоидальное вынуждающее воздействие, подобное колебанию избыточного давления у аортальных клапанов (отделяющих сердце от аорты), разлагают в ряд Фурье, члены которого пропорциональны е'м', причем а> принимает значения, равные целому числу, умноженному на 2н>'ею где ер — период. Апериодические вынуждающие воздействия представимы иятеораяалеи Фурье. Разложение избыточного давления у входа в устье содержит несколько членов вида е™, где дискретные частоты соответствуют периодическим приливно-отливным силам астрономического происхождения, н апериодический член — интеграл Фурье, описывающий ветровой нагон (см.
эпилог, часть 1). Тот факт, что в рамках линейной теории компонента вынуждающего воздействия, пропорциональная е' ', вызывает повсюду в системе отклики, пропорциональные е'"', означает, что соответствующие значения / (2) и д (~) в уравнениях (55) и (59) сами пропорциональны е' е, что сразу дает у.4.
Раснрасднранение вала нерее раевеаыленнне сасдненн 143 нет более удобной, если ее переписать в упрощенной форме: ( ч,' Ун)+Л'д «д(ад/сВ уея у н 2 (61) ус+ « ( ~д ун) «а («де/сд) н=з Хотя в разд. 2.7 будет дана модификация формул (60) и (61), учитывающая ослабление волны (путем задания мнимой части ад/сд), тем не менее простая формула (61) выявляет много важных свойств взаимодействия, когда д не очень велико. Если д настолько мало, что выполняется условие компактности (ад1/сд (( 1), то равенство (61) выродкдается в Мс (62) а=2 это означает, что свойства короткой трубы /«' = 1 становятся несущественными: она просто является областью, где давление всюду одинаково, и которая функционирует в качестве части компактного разветвления А, осуществляющей доступ,'к трубам 2,..., А/.
Интересно отметить, что аналогичная «проарачность» по отнодпению к распространению волны демонстрируется формулой (61) также и тогда, когда эд)/сд цриблиаительно равно ды труба АВ, длина которой 1 составляет около половины длины волны, «передает» волну к разветвлению В с фазой, измененной на и, но во всем остальном так, как если бы этой трубы не было.
Значения 1, кратные полудлине волны, также обладают этим свойством «прозрачности», хотя в этом случае оно в довольно значительной степени видоизменяется влиянием ослабления. Промежуточной между «прозрачными» значениями едд/сд (около 0 и около л) является область значений около л/2, когда труба М 1 имеет длину около четверти длины волны и характеристики ее проводимости являются особенными, так как тогда у," = у,'/ ( ч ', у„) .
(63) а=« Так, если У, больше ~, 'У„, то Удедд также больше Уд, если жв а=2 У, меньше ), У„, то и У;дд меньше Уд. а=2 По отношению к характерной основной частоте сердечного ритма длина аорты у здоровых людей равна примерно четверти длины волны. Таким образом, для этих частот эффективная про- 144 3. Одномерние волна в жид«остах нодимость аорты у аортального клапана увеличено, что является физиологически важным фактором, так как позволяет умеренным флуктуациям избыточного давления, создаваемым сердцем, порождать первую фурье-компоненту флуктуаций объемного расхода через клапан.
Для некоторых фурье-компонент более высокого порядка длины волн могут быть достаточно малы, чтобы длина подввдошнмх артерий примерно равнялась четверти длины таких волн; это усиливает влияние уменыпенной проводимости подвздошных артерий, способствуя формированию положительного отражения от подвздошной бифуркации. Оказывается, что общий анализ распространения волн, подобный намеченному в этом разделе, но с учетом многократных взаимодействий между разветвлениями, существенно проясняет свойства сердечно-сосудистой системы. 2.5. Полости, сужения, резонаторы Распространение волн по разветвленной системе можно, как мы видели, удобно описать, если представить себе произвольную волну разложенной на компоненты, пропорциональные е'а', и использовать комплексную проводимость У, зависящую от в, для определения отклика любой части системы на такие компоненты. Общая формула, которая, если пренеоречь ослаблением волны, имеет вид (61), связывает эффективную проводимость у предыдущего разветвления с проводимостями у последующего разветвления.
Многократное применение этой формулы з обратном порядке, начиная от наиболее отдаленных разветвлений п кончая самым первым, позволяет охарактеризовать свойства всей системы; подобным образом цепи переменного тока изучаются с помощью суммирования (в соответствии с законами Кирхгофа) зависнщих от частоты комплексных проводимостей (или сопротивлений) «сосредоточенных элементов» сети. Эта аналогия вызывает вопрос, могут лн для одномерных волн в жидкости существовать какие-лиоо сосредоточенные элементы с чисто мнимой проводимостью, подобные таким обычным элементам электрической цепи, как емкости н индуктивности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
