Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 34
Текст из файла (страница 34)
с постоянным Ур, '— произведением проводимости на квадрат избыточного давления. Такая волна будет удовлетворять уравнению р, = — [У (х)!У (0) ] ь э ~ ( е — ( с ' Ых), (91) где г'(е) — волновой профиль при х = 0 и ~ с 'Нх — время Ъ прохоясдения волны от 0 до х. Уравнение (91) обобщает уравнение (11), полученное для трубы или канала с однородными свойствами. Соответствующее выражение для волны, бегущей в отрицательном направлении х, будет х р,=]1 (х)/У(0)]-"'д(1+ ~ с-~Их). о (92) В обоих случаях объемный расход е направлении распросгпранения будет равен У (х) р,. Мы временно отложим более тонкие доводы в пользу высокой точности уравнения (91) для случаев, когда свойства меняются достаточно постепенно (смысл этого условия нуждается в уточнении), а пока что опишем следствия нэ него.
Для длинных волн в ааполпенных водой каналах иа (91) получим, что высота свободной поверхности р,!рд изменяется как У-И', где для поперечного сечения ширины Ь и средней глубины Ь, как и в (58), У = ЬЬИа/рб11о (93) Таким образом, при распространении волны вдоль канала с постепенным изменением Ь и Ь подъем уровня воды пропорционален Ь иаЬ и'.
(94) Этот результат иавестен более столетия как закон Грина. Другой особый случай простого правила (91) — это один из принципов геометрической акустики: изменение амплитуды вдоль трубки лучей с постепенно меняющимся поперечным сечением определять исходя из постоянства потока энергии. Например, изменение амплитуды звука, излучаемого сферой достаточно большого радиуса ао в одноролную невоамущенную жидкость, как было установлено в равд. 1.11, содержит мно- 166 Л. Одноменнне еолнн е неидноеоелн житель ао/г, что объясняется постоянством потока энергии вдоль трубки лучей, распределенного по площади поперечного сечения, увеличивающейся как го.
Для других лучей (связанных, например, с другой формой тела) поток энергии на расстоянии х вдоль трубки лучей будет распределен по площади А (л) с другим законом изменения, что приведет к изменению р„пропорциональному [А (х)/А (0)]-1/', в соответствии с (91) для однородной невоамущенной жидкости. Если свойства хоидкости постепенно изменяются, то лучи снова могут оказаться другими; например, в гл. 4 будет показано, что изменения волновой скорости с вызывают рефракцию (преломление) лучей, так же как и в геометрической оптике, в сущности потому, что они изменяют условие стацнонарности фазы. С другой стороны, поток энергии вдоль трубки лучей, а именно произведение площади ее поперечного сечения А на акустическую интенсивность Х = ре/рос, сохраняется постоянным тогда и только тогда, когда р, изменяется как (А/рос) '/' =- У '/', опять как в (91).
Эти соображения усиливают ваокность (91) как подходящего правила для определения распределения амплитуд во всех задачах геометрической акустики, как только лучевые трубки найдены. В сердечно-сосудистой системе уравнение (91) применимо к распространению пульсовых волн по артериям, площадь поперечного сечения А и растяжимость Р которых постепенно меняются.
Вдоль аорты, например, как А, так и Р постепенно уменьшаются с увеличением расстояния от сердца. Отсюда следует, что У = — А/р,с, принимающее, согласно уравнению (31), форму А (Р/ро)'/', также уменьшается, и, значит, амплитуда волны (91) зозрасньель, в данном случае пропорционально А -ПоР-'/о. Такое медленное увеличение амплитуды флуктуации давления вдоль аорты в действительности наблюдается с помощью катетера (тонкая трубка, присоединенная к датчику давления, введенная через периферийную артерию и продвинутая на известное расстояние по аорте). Во всех разветвленных системах уравнение (61) для эффективной проводимости в А (где х = — [) трубы АВ, в котором учтено отражение от разветвления В (где х = О), может быть легко обобщено на случаи, когда свойства трубы постепенно меняются вдоль нее.
В сущности это связано с тем, что один и тот же множитель П (х)/1' (О)) '/з входит в формулу для прямой волны (91) и для отрах<енной волны (92), сокращаясь, следовательно, в выражении, подобном (59). Действительно, величина 'У',"и, представляющая собой отношение объемного расхода 157 л.а. Линейнаа теории распространении волн в А к избыточному давлению (причем последнее берется как сумма (91) и (92)), принимает вид Уеп УА ) (с+()сав) — х (с — ((слн) (95) Г (С+((сАВ)+ д (С вЂ” 6 сАВ) где УА — проводимость У ( — е) трубы АВ в точке А, а слав средняя скорость волны вдоль АВ, определенная выражением о (/схв=- ) с ' с?х.
(96) С другой стороны, уравнение (55), позволяющее найти отношение отра'кенной волны д (2) к падающей волне ( (() прн х =-. 0 (разветвление В), применимо, если в атом уравнении вместо У, взять проводимость Ув = У (0) трубы АВ в В. Соответственно рассуждения, приводящие к уравнению (61), теперь дают немного измененное уравнение ( 2, Ун) + с) его(се((слв) Уесс УА,=2 (9 ) УВЕ +2 ( ~ Ун) 2д(СОПСАВ) «=2 которое можно столь же просто использовать для расчета свойств ветвящихся систем из труб с постепенно меняющимися свойствами, как уравнение (61) — для расчета систем из однородных труб.
Например, прежнее условие резонанса (длина трубы равна четверти длины волны) превратится в условие соГсдв .=- = (1!2) я, а резонансное значение эффективной проводимости в л А (заменяющее (63)) будет даваться выражением УАУв)(~", У„). н=-2 Однако остается вопрос: насколько постепенно должны изменяться поперечное сечение и свойства жидкости, чтобы правило постоянства потока энергии (91) было хорошим приближением? Все приведенные выше примеры полезности этого правила показывают необходимость ответить на указанный вопрос. Однако использованные грубые рассуясдения не слишком помогают это сделать; они лишь подсказывают, что изменения проводимости должны быть достаточно постепенными, чтобы их можно было рассматривать как последовательность очень малых изменений (возможно, они должны быть рассредоточены по некомпактпой области, поскольку существенное изменение внутри компактной области, как было показано в равд, 2.2, предполагает непрерывность объемного расхода и избыточного давления, а не потока волновой энергии).
155 2, Одномернае вохна в жидкостях Мы должны вернуться назад, к полным уравнениям для продольных волн (2), (3) и (4), чтобы получить точный количественный ответ. Уравнение (2) напоминает нам, что при неоднородности свойств в отсутствие возмущений как р, так и А зависят, кроме р„также от других переменных (Я и х соответственно), Однако уравнение (10) по-прежнему можно испольаовать для определения локальной скорости волны с, если считать, что оно означает следующее: р,'с ' = К+.0 = [р ' (др(др,) -;- А ' (дА(дрв)) р о, (98) где две частные производные вычислены при постоянных Я и х соответственно.
Величина р, (х) есть значение плотности р, когда р, = 0 и Я принимает свое локальное невозмущенное аначение. Теперь, так как продольные волны без диссипации удовлетворяют уравнению дд/дт + и дд/дх = О, (99) выражающему сохранение знтропии для частицы жидкости, определение К (98) дает р ' (дрсдс+ идр/дх) = Кдр,/д(, (100) где в линейной теории член Кидрв/д( в правой части мояоет быть опущен как ирсивведекие возмущений относительно состояния равновесия и =- О, р, = О.
Дифференцируя площадь поперечного сечения А при постоянном х, получаем (101) А ' дА/де = 12 др,/дй Следовательно, уравнение неразрывности (4), которое может быть записано как р ' (др/дт + идр/дх) + А -т [дА/дт + д(Аи)/дх) = О, (102) в линейной теории принимает внд (К + й) дре/дс + Ао1д(Аои)/дх = О, (103) что дает с помощью (98) уравнение дре/дт = рос Ао1д(Аои)/дх = — сУ 1 д(/дх, (104) где Х = А,и — линеаризованный объемный расход и У (х) = = А,/(р,с) — проводимость. Но уравнение количества движения (3) в линеаризованной форме может быть записано как дй/дс = (Ао/ро) дрв(дх = — сУ др,(дх. (105) 159 З.а. Линейнаа теорие распространения волн Исключая о иа (104) и (105), получаем д'ре'дог = сУ ' (д!дх) (сУ дре(дх) (106) — модифицированную форму уравнения (8), когда с и У— функции х.
Это точное линейное уравнение (106) для продольных волн не имеет простого точного решения, однако степень неточности простого выражения вроде (91) может быть оценена через величину погрешности, с которой оно удовлетворяет (106). Результат подстановки (91) в правую часть (106) оказывается равным (У(х)/У(0)) ) 1 (à — ~ с 'Ах) — — су (сУ У ) х о в то время как подстановка (91) в левую часть дает, очевидно, то же самое выражение, но в фигурных скобках сохраняется только первый член. Если еое есть отношение характерных значений 7' к 7', то относнтельную ошибку (отношение второго члена к этому первому члену), расписав производную (сУ-игУ')', можно оценить как у у" ~ у ~ ~ и )г (108) Если относительные скорости изменения с н У, а также У', которые входят здесь в квадратные скобки, все малы по сравнению с со/с = 2п))., то искомая ошибка будет малой величиной порядка квадрата этих относительных величин.
Такое условие высокой точности обсуждаемого правила имеет тот же тип, что и ожидалось на основании рассмотренного в гл. 1 приближения геометрической акустики, которое является одним из случаев правила постоянства потока энергии. Однако важно отметить, что постепенности изменений поперечного сечения и состава (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
