Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 37
Текст из файла (страница 37)
С другой стороны, продольные волны со сдвиговыми распределениями скорости по-прежнему удовлетворяют линеариэованному уравнению неразрывности, взятому в форме (1047 др,/д1 = — сУ» ду/дх, (135( хотя его нельзя болыпе вывести исходя из уравнения (4), тан как и меняется по поперечному сечению. Однако соображение, поясняющее, почему р, меняется по поперечному сечению пренебрежимо мало (уравнение (1)), остается справедливым. Кроме того, относительная скорость изменения объема жидкого.
элемента из-за пульсации поперечного сечения А и зависимости местного объемного потока Х от сечения может быть записана как (1367 А ' (дА/д»+ де"/дх) и приравнена относительному изменению плотности, взятому со знаком минус и усредненному по элементу. Применяя черту для обозначения такого усреднения по данному поперечному сечению, эту последнюю величину можно записать нак — р-' (др/д1+ и др(дх) = — К дре(дт, (137) где уравнения (99) и (100) были использованы для каждой частицы жидкости отдельно. Уравнения (136) и (137) вместе с (101) теперь дают в линеаризованной форме (К + ]7) дре/дг + А, ' дХ(дх = Ю, (138) что с учетом (98) дает (135), как и прежде.
При условиях, изученных в равд. 2.6, когда поперечное сечение и состав меняются посв«епенмо (если вообще меняются), было найдено, что уравнения (104) и (105) имеют приближенное решение (91) для р,. Это позволяет легко получить решения уравнений (134) и (135), так как они имеют в точности ту же а.
Одяамарнаа ааяяэ а яаидкааааяя форму, что (104) и (105), но с заменой с и У соответственно на с И вЂ” (т/(го))'Я (г/Аа))'/а и У [1 — (а/(ао))а/а (г/Аа))'/а, (139) Такая замена превращает с)' в коэффициент перед др,/дх в правой части (134), но величина сУ ' сохраняется неизменной. Наиболее важное следствие этих изменений, вызванных введением множителей, предполагаемых лишь слабо отличающимися от 1, это изменение с ', так как оно производится под знаком эксноненгны в (91) при / (1) = ехр (1оа). В двучленном приближении влияние вязкого пограничного слоя (139) сводится к замене с ~ на с ' ) 1 + 2 ( /(/о))~~~~(а/Аа) ) = =с '~1+ — (а/(2в))' (а/Аа)~ — — ас '(т/ (2в))мз(г/Аа), (140) где изменение действительной части означает незначительное уменьшение скорости волны из-за увеличения эффективной инерции, в то время как наличие мнимой части в с т описывает .ослабление волны из-за сопротивления, вызванного трением.
Например, в однородной трубе или канале уравнение (140) означает, что бегущая волна имеет вид р,= р, ехр (гол — 1вхс '( 1+ — (т/ (2в))0 ~(г/4а) ~— $ — — охс-г (т/ (2о))мз'(г/Аа)), (141) л связанный с ней средний поток энергии равен —, Ур', ехр ( — вхс-' (т/ (2о))юэ (г/Аа)) (142) Отметим, что это экспоненциальное затухание потока энергии согласуется с уравнением (132) для скорости диссипации энергии на единицу длины трубы, которая при приближенной замене др,/дх на ( †/с) р, становится равной — гр 'вс а( ра)а(т/(2о)) Мз= — Ур,'вс ' (т/(2в)) Мз(г/А ) (143) 2 мз 1 при х = О, что в точности совпадает со скоростью уменьшения (142) на единицу длины трубы. Между прочим, из уравнения (143) следует, что относительная потеря энергии на одной длине волны приближенно равна етношению толщины пограничного слоя (126) к размеру сечения А,/г.
Напротив, скорость диссипации энергии при отсутствии твердых границ, рассмотренная в равд. 1.13, содержала Э,г. Осааэаение ааааа аа счет тренил вклад эа счет вязкости, пренебрежимо малый по сравнению с выше приведенным значением (143), потому что продольные волны в трубах нли каналах с твердыми степками подвержены вязкой диссипацнн, связанной с изменениями скорости по упомянутой толщине пограничного слоя, а не по длине волны.
Все результаты равд. 2.4 — 2.6 для разветвленных и ревонирующих систем можно сразу обобщить, учтя ослабление волны за счет трения, если во всех формулах сделать простую замену с " на величину (140). Тогда, согласно уравнению (96), со1/сав имеет отрицательную мнимую часть, которая видоизменяет ааключекия, выводимые из основной формулы для разветвлений (97). В сущности зто связанное с трением демпфирующее воздействие, как можно было оакидать, делает все резонансные пики конечными, ограничивая максимально возможную степень приближения комплексного числа соРслв к полюсу 1 М М)~слв) например к 2 я.
Подстановки (139) заставляют дополнительно сделать небольшие изменения значений проводимостей в правой части (97). Эти иаменения включают, в двучленном приближении, замену каждого У на (144) Влияние этой поправки часто пренебрежимо мало, однако она может нарушить хорошую согласованность проводимостей. Сделанные выше замечапия о том, как линейную теорию одномерных волн в жидкости следует изменить, чтобы принять во внимание вызванное трением ослабление волны, достаточно просто дополнить в большинстве случаев, но два вопроса, совершенно не затронутые здесь, могут потребовать обращения к специальной литературе.
Первый нз них таков: каким должен быть метод анализа, когда толщина пограничного слоя (126), аначения которой показаны на рис. 26 для воды, крови и воздуха (т приближенно равно соответственно 1, 4 и 15 мм'с '), сравнима с размером поперечного сечения.
Один из эффективных пря этих обстоятельствах методов пригоден для круглых поперечных сечений, и он успешно применялся к пульсации крови в малых артериях. Более радикальные изменения подхода необходимы, если масштаб движений таков, что преобладает турбулентное трение. Это применимо, например, к приливным движениям: хотя вязкий пограничный слой, рассчитанный на основании полусуточной периодичности приливных движений, будет, как показывает рис.
26, достаточно тонким (около 0,5 м), в движениях 172 3. Однамврныв волны в авиднаатлл Воздух Нрава Вада Рис. 26. Зависимость толщины пограничных слоев (126) для воды, крови и воздуха (а иииаматичесиай вязкостью соответственно 1, 4 и 15 мм'с-') ат частоты ю)(2я), в герцах. при таких больших числах Рейнольдса обнаружена гораздо более сильная диффузия за счет турбулентности.
Для приближенной оценки ее влияния на распространение волн часто достаточно использовать, как показано выше, знание (в данном случае полученное экспериментально) дефицита объемного расхода турбулентного пограничного слоя в зависимости от давления и частоты. 2.8.
Нелинейная теория плоских волн Различные аспекты линейной теории одномерных волн в жидкости были весьма подробно изучены в первой половине гл. 2 после изложенного в гл. 1 введения в линейную теорию звуковых волн в трехмерном пространстве. Вторая половина гл.
2 посвяацена нелинейньвм аффектам, которые до сих пор полностью игнорировались; теперь же постараемся проанализировать, что произойдет, если амплитуды волн не настолько малы, чтобы их квадратами и произведениями можно было пренебречь. Полученная информация полезна хотя бы просто для того, чтобы установить, при каких обстоятельствах нелинейными членами действительно можно пренебречь.
К тому же она представляет и более широкий интерес, так как в результате обнаруживаются любопытные и немаловажные явления, б о !о-! оюв л !о-' с о Ю а !о- !с- !о- ]р- ! ю ю ю' и' Чаатота, Го Я.8, Нелинейная теория плоение Ео.ен 173 качественно отличные от всего, что можно объяснить в рамках линейной теории. Однако подобное расширение области исследований сцелью охвата дополнительных сложностей нелинейных явлений должно с самого начала сопровождаться жесткими ограничениями в других отношениях. В разделах 2.8 — 2.11 мы сосредоточим внимание на илоских звуковых волнах, хотя укажем в нескольких местах, что соответствующие результаты применимы также к продольным волнам общего вида в однородных трубах или каналах (если пренебречь трением), и в равд.
2.12 непосредственно возвратимся к случаю длинных волн в однородном открытом канале. Отбрасывая во всех этих пяти разделах любые усложнения, вызванные неоднородностью физических характеристик жидкости или поперечного сечения, ослаблением волны или влиянием эффектов трехмерности, мы сможем сфокусировать внимание непосредственно на характерных особенностях, привносимых нелинейными членами уравнений движения даже в те очень простые свойства плоских звуковых волн, которые уже полностью изучены с помощью линейной теории в равд. 1.1. Блестящее математическое открытие, сделанное Риманом— одним из крупнейших математиков середины Х1Х столетия— заложило основу всей последующей работы по нелинейной теории плоских звуковых волн.
Это открытие, равносильное преобразованию уравнений движения к форме, замечательно легко поддающейся изучению для волн любой амплитуды, привело в свое время к прекрасному уровню понимания предмета. С другой стороны, сверкающее великолепие математической техники, использованной для проведения этого исходного преобразования, в течение долгого времени производило гипнотизирующее воздействие на акустиков. Это привело к некоторому застою в нелинейной теории звука, связанному с всеобщим убеждением, что весь успех в понимании предмета зависел от первоначального математически блестящего преобразования. В течение многих десятилетий это препятствовало обобщению результатов на любые другие условия распространения волн, и в том числе на важный случай одномерного распространения в трубах или каналах с постепенно меняющимися физическими характеристиками жидкости и поперечным сечением, потому что в этих случаях невозможно найти преобразование с подобными свойствами.
В этом разделе, чтобы избежать такого гипноза, предпошлем описанию самого математического преобразования Римана цепь простых физических соображений, приводящую .в'точности к тому же результату. Эти соображения, возможно, 3. Одномернав вовки в кеидкое ак смогут дать более ясное физическое понимание смысла теории Римана и следствий из нее и заложить прочный фундамент для последующего изложения в этой книге современных достижений нелинейной волновой теории, начиная с описания в равд. 2.13 нелинейного распространения волн в трубах или каналах с постепенно меняющимися физическими характеристиками жидкости и поперечным сечением; это описание будет в равд. 2.14 применено к нелинейному распространению вдоль трубок лучей геометрической акустики. Изложение дальнейщего развития нелинейной теории будет затем отложено до эпилога.
Далее мы рассмотрим волну с произвольной амплитудой и формой, которая является «плоской»,в том смысле, что все движение жидкости происходит, скажем, в направлении х, причем х-составляющая скорости и, давление р и плотность р зависят только от х н времени 1; мы предположим также, что диссипативными процессами можно пренебречь, так что энтропия на единицу массы Я, которая первоначально берется однородной, сохраняется однородной и постоянной. Тогда возникает вопрос, можно ли предсказать развитие такой плоской волны с яроизвольпой амплитудой в отсутствие дисснпацип при помощи простых физических соображений, предполагая только знание линейной акустики. Разумно попытаться ответить на него, заметна, что для любого частного положения х = х, и времени 1 = 1, должны существовать некоторый пространственный интервал около х = х» и некоторый временной интервал около ~ = 1п оба настолько малые, что для х и 1, принадлевсащих этим интервалам, соответствующие возмущения и и р относительно значений и, и рм которые они имеют в (хп 8,), остаются достаточно малыми, чтобы линейная теория правильно описывала нх поведение.
Воаможен случай, когда х-составляющая скорости и описывается малыми возмущениями от ненулевого значения и„а не от нуля, как предполагалось в линейной теории, развитой в гл. 1 и 2. Если, однако, мы исследуем возмущения в указанных интервалах относительно специальной системы отсчета, движущейся с постоянной скоростью и„причем местоположение в ней определяется новой пространственной координатой х — иА (145) то скорость в этой системе будет равна и — и», в рассматриваемых интервалах эта величина веаде остается малой (совсем как в линейной теории).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
