Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Задание рАи (причем рА является функцией р„а соотношение (168) делает и функцией р,) определяет р, (1) н приводит к тому ясе регяению (169). Возбуждение смещением поршня х =- Н (1) задает скорость жидкости и на порп«не как и (1) = Н (1), откуда р, (1) выводится с помощью (168) и с (1) с помощью (156). Тогда С„-сигнал, возникающий в точке х = Н (т) в момент времени 1 = — т, несущий избыточное давление р, (т) и распространяющийся с постоянной скоростью и (т) + с (т), удовлетворяет уравнению х = Н (т) + (и (т) + с (т)1(с — т). (171) Для такой трубы, которая, будучи ограничена поршнем, не может вместить новую жидкость, интересно проверить, что наше решение удовлетворяет закону сохранения массы.
В фиксированное время Г масса «кндкости между последовательными С+-сигналами (171), излученными во времена т и т + дт, будет р (т) А (т) (х (т) — х (т + Ыт)1, (172) где р (т) и А (т) — плотность жидкости и плошадь поперечного сечения соответственно, связанные с избыточным давлением р, (т), а расстояние меясду сигналами х (т) — х (т + дт) может быть получено дифференцированием (171) по т. С учетом равенства Н (т) = и (т) приращение массы (172) можно выразить в виде р(т) А(т) с(т)дт — р(т) А(т) (ди(т) + Ыс(т)] (г — т) = = — Ы ( р (т) А (т) с (т) (1 — т)) (173) поскольку, согласно (168) и (156), рАди = (с) «Аа>рв = сс((рА).
(174) Интегрирование (173) от т дог определяет р (т) А (т) с(т) (1 — т) как массу жидкости, заключенную между сигналом, испущенным во время т, и поршнем, который испускает свой 18о Я.У. Простил оални текущий сигнал в момент времени 1. Закон сохранения массы прекрасно демонстрируется этим выражением, представляющим собой полную массу, которую за время с — т пересекает С„-сигнал, двюкущийся с огнноситсльной скоростью с (т) через жидкость, масса которой на единицу длины равна о (т) А (т). Подстановка т = 0 (время испускания сигнала, несущего нулевое возмущение) дает полную массу жидкости в волне во время / в виде роА оооо прн любом способе возбуждения. В случае открытого конца (169) соответствующее вычисление требует отбрасывания члена Н (т) в (171) и приводит к появлению в (172) добавочного члена Р(т)А (т) и(т) с/т, интеграл от которого от О до ~ является добавочной массой, вводимой на открытом конце.
Приведенные примеры показывают важность всех этих соотношений, которые связывают различные переменные в простой волне. В частности, соотношение (168) между и и р, определяет давление, которое противостоит заданному движению поршня (илн заданному объемному расходу жидкости, вводимой из сжимающейся полости) и, наоборот, определяет направленный внутрь объемный расход, сопровоокдающий изменения давления на открытом конце.
Соответствующие значения с снова определяют распространение сигналов. Вычислим теперь эти соотношения явно в двух практически важных случаях. Первым из них является случай плоских звуковых волн в совершенном газе. Как было показано в равд. 1.2, для такого газа (т. е. имеющего очень низкую плотность по сравнению с тем же веществом в конденсированной фазе) при процессах, протекающих с постоянной энтропией, справедливо уравнение сз = ир/пр = ур/р, (175) где у = ср/с, — отношение удельных теплоемкостей. В условиях, где у сохраняется приблизительно постоянным (например, в одноатомном газе у = 5/3, тогда как в атмосферном воздухе у = 1,40 с точностью до двух десятичных знаков прп температурах, лежащих примерно между 100 К и 1000 К), уравнение (175) дает (Р/Ро) = (Р/Ро) (с/со) = (Р/Ро) т (176) если р = ро, а с = с, при р = ро.
Из этого следует, что Р= ~(рс) 'Ыр= ~ р 'сйр=2(с — со)/(у — 1). (177) оа 2. Одномерннв еоянн е кеизкоетяк 188 Это простое линейное соотношение между Р и с означает для совершенного газа с постоянным у, что уравнение (168) для простой волны принимает вид с со+ — (у — 1) и. 1 2 (178) 1 и+с — со= — (7+1) и, 2 (179) которая для у = 1,40 на пять шестых обусловлена переносом за счет собственного движения жидкости и на одну шестую увеличением скорости распространения волны. Соответствующие значения плотности и давления получаются вз (176) такими: Р)ро = ~ 1 т 2 (7 1) (а)со) 1 Р(Р = ~1+ 2 (У вЂ” 1) (и/со) ~ (180) Рис.
29, где изображены зги соотношения, показывает, что для больших значений и!со избыточное давление, тормозящее движение поршня в невозмущенный воздух, возрастает значительно быстрее, нежели пропорционально скорости поршня и. В качестве второго случая рассмотрим длинные волны в открытых каналах с постоянным поперечным сечением, которое может быть произвольным при условии, что ширина свободной поверхности Ь сохраняется постоянной для всех значений уровня свободной поверхности х = ~, встречающихся в волне.
Это делает уравнение (16) точным, хотя уравнение (19) для скорости волны относительно жидкости принимает вид с = (дА)1)оЬ-о)а (181) когда площадь поперечного сечения воды изменяется от Ао до А. Соответственно ре еА Р = ~ (рос) ' аро = д')зЬ ~)~ ~ А ')~ ЫА = 2 (с — со) (182) о Ао является другим линейным соотношением между Р и с. Для воздуха с у = 1,40 зто означает увеличение скорости распространения волны по отношению к неидкости, с, на одну пятую скорости жидкости и в направлении распространения. Абсолютная скорость сигнала и + с, таким образом, превосходит с, на величину 127 э,э. Простыв волям Р рв Р рв 0 ! 2 и/с, Рнс, 22 Зааяснмость давления р н плотности р от скорости жндкостн и а направления распространення для простой волны а сояершенном гаае с отношением удельных теплоемкостей 1АО пря неяоамущенных даялення, плотности н скорости ааука рт рв и ва соответственно.
Простые волны в открытых каналах с постоянным поперечным сечением и с постоянной шириной свободной поверхности удовлетворяют поэтому уравнениям, очень похожим на (178), (179) и (180) ! 1 3 в 1 -4!2 с=се + — и; и+с — с,= — и; А/Ао —— !11+ — и/со) . (183) 2 2 ' 1 2! Про уравнения (183) часто говорят, что описываемые ими простые волны ведут себя в точности как волны в совершенном газе с у = 2, хотя такой газ вовсе ке существует! Аналогия может быть действительно полезной в ограпиченком контексте, т.
е. применительно к простым волнам при выводе реаультатов для открытых каналов иэ результатов акустики с проиаволькым значением у. Заметим, что избыток скорости сигнала и+ с— — с, алесь обусловлен па две трети перекосом за счет собственного дввжения жидкости и ка одну треть увеличившейся скоростью распространения волны. 188 2. Одномерные волки е аеидкосоиек Рис. 30.
Искаженве волнового профиля в случае совершенного газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей 1,40. Сплошиые линии; перестройка волнового профиля АВСВ Е в А'В'С'В'Е' аа время д когда каждое аначекве и оказывается сдвинутым вправо ка расстояние сег + (1/2) (у + 1) иг (например, расстоЯние СС' Равно сег + (1/2) (т + 1) идй а ВВ' и ВВ' Равны со/+ (1/4) (у+ 1) и,д тогда как АА' я ЕЕ' равны см). Штриховая линия: все оти расстоявия умепьшаются па ееи если волновой профиль построен как график аавпсвмоств от Х = х — сег (адесь АВ "С"В'Е), что делает искажение более наглядным.
Во всех случаях, когда имеются простые волны, наблюдается такое возрастание избыточной скорости сигнала при росте и; зто свойство все более искажает волновой профиль по мере его продвиясения. График зависимости и от х не может теперь в последующие моменты времени иметь ту же самую форму, что и в предыдущие (равд. 1 1); вместо етого сигналы, несущие болыпие значения скорости, смещаются вперед по отношению к сигналам с низкой амплитудой на величину, увеличивающуюся с ростом и. Для случаев, удовлетворяющих линейному соотношению (179), которое включает (183) как частный случай при 7 = 2, волновой профиль испытывает простое сдвиговов искажение (рис.
30); за время 1 каждое значение и перемещается вправо на расстояние сот + — (у + 1) ис (сплошная линия), 1 зависящее линейно от и. Искажение волнового профиля, зависящее от времени, удобнее описывать в системе координат, которая движется со скоростью се волн в невовмущенной жидкости. В етой системе сигнал движется со скоростью и = и + с — се (184) и пространственной координатой служит Х = х — се(. (185) Если избыток скорости сигнала и прямо пропорционален и, как в (179), то график зависимости и от Х сдвинется за время 1 на величину — (у+ 1) и1 (штриховая линия на рис. 30), пропорциональную расстоянию над горизонтальной осью.
В результате участки волнового профиля, имеющие положительный нак- А9. Простые волны Рис. 31. Графики зависимости избыточной скорости сигнала о от Х = = г — св«показывают искажение произзсльяогс волнового профиля. Спустя время» (здесь взяты значения О, «о!2 и»о) каждое виачеяяе о будет находиться з точке, смещенной яа расстояние Ю вправо, так что волновой профиль подвергнется сдвигу с едяяячзой скоростью. лон, становятся положе, а участки с отрицательным наклоном — круче. Для этих последних участков, которым соответствуют волны сжатия (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
