Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сле- 12* 2. Одномерное всяки в жидкостях довательно, для любой кривой С+ в этой области простой волны из выраясения (154) имеем (167) и + в = соней вдоль С».. Поэтому эта кривая является прямой линией в плоскости (х, с), что и показано на рис. 27. Вообще простые волны, которые изучаются в равд. 2.9, могут бежать либо вперед по отношению к жидкости, и тогда они необходимо содержат такие «кривые» С«., которые все .являются прямыми линиями и на каждой нз которых скорость потока и и избыточное давление р, принимают постоянные значения, связанные уравнением (163); либо'назад (подобно другой простой волне на рис.
27), и тогда они содержат прямые линли С, вдоль которых и н р, постоянны и связаны с помощью (165). Примечательность следствий из исследования Римана состоит не столько в том, что существуют простые волны, а в том, что любое конечное возмущение эа конечное время 1«~в распадется на пару простых волн, бегущих в противоположных направлениях н разделенных невозмущенной областью. Это следствие показывает, насколько мощен анализ с помощью кривых Св н С; более общую математическую трактовку этих кривых, при которой они рассматриваются как особые случаи характеристических кривых гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных, можно найти в учебниках по теории дифференциальных уравнений.
2.9. Простые волны Выражение «простая волна» достаточно удачно обозначает весьма непосредственное обобщение понятия плоской бегущей волны (равд. 1.1), заимствованное из линейной теории, на возмущения с произвольной амплитудой. В равд. 2.9 исследуются механизмы генерирования простых волн, а также аналнаируются ааконы их распространения. Весьма интересно узнать, насколько просто рассчитать распространение этих нелинейных волн, но возникает и более глубокая проблема.
Эта аагадка, намек на которую, возможно, содержится на рис. 27 (а именно что произойдет, если две кривые С+ пересекутся), шаг за шагом формулируется в настоящем разделе, хотя ответы на этот важный вопрос отложены до последующих разделов. Выберем направление распространения простой волны в качестве положительного х-направления. Такая волна определяется как область, где постоянное впачение (155) и — р 'вдоль каждой кривой С в каждом случае равно нулю, как и в (163), 181 9.9.
Проетке нолик что дает и = Р (р,) = ) (рс) ' ар,. о (168) Тогда соответствующие кривые С+ являются прямыми линиями, вдоль пал~дай из которых и принимает постоянное акачекие, вообще говоря разное для каждой С+, так же ведут себя иа этих кривых р„с и (уравиепие (т67)) величина и + с, равная ~ЫЖ. Заметим, что это краткое описание столь же применимо и к простой волке, движущейся иааад (рис. 27), так как измеиекие знаков у х и у и, которое необходимо, чтобы сделать направление распространения этой волны положительным х-иаправлекием, преобразует уравнение (т65), которому удовлетворяет волна, к виду (168), и заставляет величину и— — с, равную ах/Жяа прямых, соответствующих атой волне и вдоль которых и и р, постоянны, ваписать в виде и + с.
Простые волны отличаются от плоских бегущих волн линейной теории только тем, что, во-первых, теперь проводимость па единицу поперечного сечения (рс) ' является, как показывает (168), дифференциальной проводимостью, зависящей от избыточного давления р, и представляющей собой увеличение скорости жидкости и иа единицу увеличения р„и, во-вторых, различные избыточные давления распространяются с различными волновыми скоростями с, свойствеппыми каиедому из ких, относительно собственной скорости жидкости, так что абсолютная скорость их распространения равна и + с. Простые волны возникают ие только как конечные результаты эволюции решений довольно общей задачи с начальными данными, как в равд.
2.8; оии появляются также в граничных задачах определенного типа. В частности, если первоначально кевозмущеяпую жидкость, заполняющую однородную трубу или капал, начинают возбуждать с одного конца, то возникающее возмущение яоидяости сразу принимает форму простой волиы (в этом случае только одной). На рис. 28 это показано для трех типов возбуждения: в каждом случае, если х возрастает вдоль трубы при удалении от места возбуждения, то вся труба наполнена кривыми С, берущими начало в кевозмущеккой жидкости, так что постоянное значение, которое и — Р имеет вдоль каждой С, должно быть нулем, как в простой волне. Воабуждекие давлением показало иа рис.
28, а: волна возбуждается изменениями давлекия„происходящими ка открытом конце, причем характерные частоты этих изменений таковы, что поперечные сечения трубы или канала являются при яих Л. Одяомедяме воины е е<идкопияе Рис. зс. <ря способа возбуждения простых волн: а — изменениями давления, происходящими у конца, открытого в большой резервуар; б — объемным расходом иа компактной полости; е — смещением поршня. компактными. Такие иаменения давления (они могут быть вызваны, например, распространением длинной волны в большом внешнем резервуаре) будут приближенно, но, как мы увидим, не точно непрерывными Ори проходе через сочленение с примыкающим каналом, компактность которого, с другой стороны, предотвращает сколько-нибудь значительные реакции двия<ений в резервуаре на объемный расход через отверстие (сразни конфигурацию на рис.
20, 6, изученную на основе линейной теории в конце равд. 2.3). Возбуждение за счет объемного расхода показано на рис. 28,6; конец' открь<т в этом случае в полость, которая сама является компактной; изменение объема полости возбуя<дает волну тем, что вызывает определенный объемный расход череа конец трубы.
Это возбуждение напоминает выброс крови в аорту при сокращении сердца, но в весьма упрощенном виде, потому что на рис. 28,6 труба предполагается однородной, а жидкость первоначально невозмущенной. Возбуждение смещением показано на рис. 28,в; простая волна в атом случае возбуя<дается смещением закрытого конца, который можно рассматривать как поршень, перемещения которого в трубе (подобно движению мембраны громкоговори- 183 Х.У. Простил волна теля) приводят в движение первоначально невозмущенную жидкость.
Этот рисунок иллюстрирует задачу с граничными условиями, определенными на нсдеижной границе, т. е. на поверхности поршня. Для каждого из этих способов возбунсдения возникающая простая волна полностью определяется через изменения избыточного давления или объемного расхода либо на открытом конце при х = О, либо через смещение х = Н (г) поршня. Иапример, если избь1точное давление ре изменяется как р,(1) при х = О, то соответствующие изменения с = с (1) и и = и (г) могут быть выведены соответственно из (156) и (168), так что прямые С о, исходящие иа х = 0 в момент времени ~ = т, полностью определяются уравнениями р, = р,(т), и = и(т), с=с(т), х = (и(т),'+ + с (т)] (т — т).
(169) Заметим, что скорость последовательных сигналов и (т) + с (т) увеличивается с ростом т в волне сжатия (когда избыточное давление р, (т), переносимое последовательными сигналами, растет), а это приводит к загадке (ответ на которую мы откладываем): что произойдет, когда более поздние сигналы перегонят более ранние сигналы? Возбуждение давлением на компактном конце, открытом в резервуар, предполагает непрерывность не самого избыточного давления (как было показано на основе линеаригсеаннсго уравнения количества движения (40) и вытекающего из пего соотношения (41)), а более слонспой величины ]в]г+ ~ р ~дре о (170) Это выражение выводится из нелинейного уравнения количества движения для безвихревого течения с постоянной энтропией, которое, как показано в учебниках по гидродинамике, означает, что градиент выражения (170) равен — дп!дг.
Из этого следует, что изменение величины (170) при переходе через компактное сочленение пренебрежимо мало; движение в резервуаре с заданным значением (170) в каждый момент времени г определяет давление р (т) па конце трубы так, чтобы соответствующее значение выражения (170) (где ] и ]о=(и (1)]э связано с р, (~) в соответствии с (168)) было одним и тем же. Однако на практи- 184 2. Одномврныв волны в жидкостях ке появление члена — 1 и 1 не делает зто условие сильно отли- 1 2 2 чающнмся от условия непрерывности давления. Аналогично, при возбуждении изменением объемного расхода на компактном конце величина, для которой обеспечивается непрерывность, в нелинейной теории представляет собой, строго говоря, лсассооь«й расход рАи, который, согласно уравнению (4), имеет производную по х, равную — д(рА)'дг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
