Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 38
Текст из файла (страница 38)
В то же время мы должны приписать скорости звука с на интервале частное «локальное» значение с» для атих малых возмущений давления р относительно его значения р» в (хп 8,). з.а, Нелииейиая теория плоских лели При заданной постоянной энтропии Я значение плотности р = р, соответствует р = р„а с,' есть производная др/др, взятая при постоянной Я (равд. 1.2) и еычисленная ври р = = р„р = р„.
Она возрастает при возрастании р, (и, следовательно, при постоянной Я также -ри росте температуры). Теперь линейная теория звука дает для малого возмущения давления р — р„а также для скорости жидкости и — и, в системе отсчета, в которой пространственной координатой является х — и,г, общее ре|пение в виде плоской волны (разя.
1.1) р — р, = 7" (х — и,1 — с,1) + а (х — иес+ с11) (146) и — и, = (р,се) '1 (х — и, С вЂ” с,Е) — (р,с1)-'у (х — и,1+ с, Е), (147) справедливое на тех иптервалах, где эти величины, которые мы будем записывать как бр и би соответственно, остаются о* ень малыми. Отсюда следует, что на этих малых интервалах бк + (Ресе) лбР есть фУнкцин только х — (и, + с,) т (148) и аналогично бы в (р,с,) ебр есть функция только х — (и, — с,)1.
(149) В методе, существенно увеличивающем цепность этих результатов, используется интеграл, форму которого они подсказывают, а именно е ~ (рс) др — Р(р) (150) ре где рэ — некоторое давление, взятое в качестве базисного, например начальное давление жидкости до появления плоской волны. Очевидно, при очень малом отклонении бр от р = ре 6Р = Р'(ре) бр = (р,с,) 'бр. (151) Величину, стоящую слева в утверждении (148), можно, следовательно, записать как соответствующее очень малое отклонение 6 (и + Р) величины и + Р (р) в малой окрестности точки (х„1,) от ее значения в этой точке.
Внутри этой малой окрестности укаэанное утверждение означает, что 6 (и + Р) = О, когда бх — (и, + с,) бт = О, (152) где бх и бе — малые отклонения х и г от их значений хе и Ги Это следует иа того, что б (и + Р) является функцией только х — (и, + с,) 1; но она равна нулю в (х„1,) и, следовательно, также во всех точках (х, 1), в которых х — (и, + с,) т имеет то же самое значение, что и в точке (хм 1,). $76 2. Одномерные волны в эендноетян Уравнение (152) означает,что мы рассматриваем некоторую пространственно-временную кривую С+, во всех точках которой выполнено дифференциальное соотношение Ых = (и + с) ей вдоль Ся.. (153) Очевидно, что Сь является траекторией точки, которая всегда движется вперед с локальной волновой скоростью с в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью с локальной скоростью и. Уравнение (152) устанавливает, что вдоль такой кривой С+„ проходящей через (хь 7е), величина и+ Р является стационарной и равной ее значению в точке (х„7,); это замечательный результат, потому что, как показывает (150), величина и + Р (р) определена совершенно независимо от выбора точки (хп 1,); поэтому все приведенные рассуждения применимы к малой окрестности любой другой точки кривой С.ь! Так как функция, стационарная во всех точках кривой С+, долхсна быть постоянной всюду вдоль С+, получаем первый результат Римана: и + Р = сопзс вдоль кривой С: дх = (и + с) М.
(154) Аналогичные рассуждения, примененные к (149) и снова использующие (151), дают второй результат Римана и — Р = сопэь вдоль кривой С: аех = (и — с) е1е. (155) Очевидно, что кривая С является траекторией точки, которая всегда движется назад (т. е. в отрицательном х-направлении) с локальной скоростью волны с в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью с локальной скоростью и. Отметим, что рассуждения, приводящие к этим важным результатам в нелинейной теории плоских звуковых волн, столь же справедливы для других видов продольных волн произвольной амплитуды, а именно для волн в трубах или каналах с постоянным поперечным сечением и однородными физическими характеристиками жидкости, потому что в соответствии с уравнением (12) эти волны определяются такими же локальными соотношениями между выражениями для избыточного давления и скоростью жидкости, как соотношения (146) и (147), и можно аналогично определить интеграл, в точности подобный (150).
С другой стороны, приведенные рассуждения требуют однородности жидкости, и в частности постоянства энтропии Я; в противном случае подинтегральное выражение (150) не является просто функцией р, а зависит также и от Я, которая, вообще говоря, не постоянна вдоль кривых С+ или С, а скорее имеет свойство сохранять постоянство вдоль траектории жидкой частицы Ых = ид1. Если свойства поперечного сечения меняют- В.В. вввликвйнав творил овввких вввн 177 ся в зависимости от х (и, следовательно, не могут оставаться неизменными вдоль Ст и С ), то вышеприведенные рассуждения теряют силу. Теперь подтвердим справедливость утверждений (154) и (155), выведя их непосредственно из полных уравнений двикгения с помощью оригинального метода Римана, распространив его на случай одномерных волн общего вида в однородных трубах или каналах.
Определим с для волн, имеющих произвольное избыточное давление р„в атом общем случае придав уравне~пю (9) вид с-' = А-' Ы (рА)/Ырв, (156) где равенства (2), в которых энтропия Я и свойства поперечного сечения считаются постоянными, задают р и А, а следовательно, также с как фУнкции только Рв; опРеДелим Р Равенством ~в Р= ~ (р ) 'дР.. о (157) Тогда уравнение количества движения (3), деленное на р, прпннмает впд ди!д/+ ди/дх + сдР/дх = О, (158) а уравнение неразрывности, д (рА)/дг + ид (рА)/дх + рАди/дх = 0 (159) (см. (4)), деленное на рА/с, запишется с помощью (156) и (157) так: дР/д/ + идР/д/ + сди/дх = О. (160) Складьгвая (158) и (160), получаем уравнение д (и + Р/д) г + (и + с) д (и + Р)/дх = О, (161) которое отличается от (154) только формой записи! Вычитая (160) из (158), получаем д (и — Р)/дг + (и — с) д (и — Р)/дх = О, (162) что аналогично доказывает (155).
Эти доводы столь же убедительны, как и прегкде, хотя они, конечно, совершенно не объясняют, откуда появился интеграл Р. В качестве первого указания на полезность утверждений (154) и (155), перед тем как в равд. 2.9 будут приведены дальнейшие примеры, рассмотрим следующую задачу с начальными условиями: пусть в начальный момент г = 0 вся жидкость, за исключением содержащейся в некотором слое (конечном гг-оыоо у. Одномерные еолнн в жидкостях 178 Рис. 27.
Задача с начальными данными, решаемая методом Римана. Воамущеиие, первовачальво огравичевное отрезком ВР, расплетается при г = гщ, иа две простые волны (волиу, ааключеивую между С+ и С, бегущую ваправо, и волну, ааключеввую между в Св и Ск, бегущую палево) с иевоамущевиой областью между кими. интервале значений х), не возмущена (т. е. для нее и, р, = = р — рю а следовательно, таки е и Р имеют нулевые значения), в то время как возмущения внутри слоя могут быть большими, но, конечно, с постоянной энтропией; тогда возникает вопрос: как будут распространяться возмущения впереди и позади этого слоя в последующем движении? Чтобы решить эту задачу методом Римана, изобразим пространственно-временную диаграмму на плоскости (х, 1) (см.
рис. 27). Возмугцения при 1 = 0 заключены в слое между граничными точками В н г. Чтобы проанализировать последующее развитие течения, представим себе некоторое число кривых Сж (для которых Их/М =- и + с), нанесенных на эту диаграмму, и выделим среди них Св и С",', начинающиеся при 1 = О соответственно в точках В и г', и аналогично кривых С (для которых дх/Ю = и — с). Форма этих кривых заранее неизвестна, так как она аависит от того, как меняются и н с, однако определенные полезные сведения о них можно получить следующим образом. Утверждение (155) означает, что вдоль каждой кривой С величина и — Р имеет постоянное значение, вообще говоря, конечно, различное для рааличных кривых С .
Однако Сь н все кривые впереди нее начинаются из области впереди г', 2.», Нелинейное»>сория не««них ооон где и = Р = О; постоянное значение и — Р на каждой из них по»тому может быть только нулем. Отсюда следует, что "е и=Р (р,)= ~ (рс) >др, впереди от С».
о (163) Для всей етой области, лежащей впереди от С (которая по мере роста 1 расширяется и всегда содержит з себе ту «область впереди слоя», распространением возмущения в которой мы интересовались), уже установлено важное упрощающее соотношение (163), являющееся обобщением уравнения (12).
Рассуждая аналогичным образом, получаем, что и = Р позади Св, (164). в то время как рассуждения для С» означают, что и = — Р позади Св (165) и что и = — Р впереди С+. (166) Действительно, определения (154) и (155) означают, что С~~ должна лея>ать впереди С», так что во всей области (1662 справедливо таки>е равенство (163), которое мох«ет означать только одно: и = Р = О; очевидно, зто та область пространства-времени, которая остается невозмущенной, поскольку волна ее достичь не может. Аналогичные замечания применимы к области (164), заключенной енутри области (165): эта область позади Св является тогда также невозмущенной и в ней и = =Р=О.
Более удивительным является то, что спустя определенное время с = с«1« (рис. 27), когда Сг пересечет С+, возникает область, лежащая между этими кривыми, где применимы оба равенства (163) и (165), из которых снова получаем, что и = = Р = О. В течение времени О С Г( 1«1, возмущения «расилетаются» (61зеп1апд1ед) и далее распространяются как две «простые волны» (одна вперед, другая назад), разделенные невозмущенной областью. Чтобы понять особые свойства этих «простых волн», рассмотрим простую волну, распространяющуюся вперед в области спереди от С~ между Свв» и С~+ Из уравнения (163), справедливого в этой области, следует, что величина и + Р, которая благодаря (154) постоянна вдоль каждой С+, равна просто 2и„так что сама и постоянна вдоль каждой С+. Поэтому, благодаря (163), р, постоянно, и поэтому с тоже постоянно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
