Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Заметим, что единственными особенностями, которые могут изменить наши заключения о распространении простых волн, являются диссипативные процессы, так как теория Римана (равд. 2.8), лежащая в основе наших заключений, точна только для недиссппативных волновых процессов. Среди различных диссипативных процессов, рассмотренных в равд. 1.13 и 2.7, мы должны установить, следовательно, может ли какой-нибудь из них вызвать эффекты, достаточно боль1яие и быстрые, чтобы противостоять мощной тенденции к быстрому преобразованию волнового профиля, показанному на рис. 31 и 32. На первый взгляд это кажется маловероятным, так как было установлено, что диссипативные процессы производят в типичных случаях только постепенные изменения волнового профиля за счет ослабления волны, происходящие с умеренной скоростью из-за трения на стенке (равд.
2.7) и с обычно намного меньшей скоростью из-за диффузии звука б (равд. 1.'13). Мы хотим знать, однако, сможет ли какой-нибудь из этих процессов действовать достаточно мощно и быстро, когда коэффициент наклона волнового профиля станет крайне велик. В атой особой ситуации оказывается, что трение на стенке продолжает оставаться слишком слабым, но, что довольно любопытно, диф- л.лО. ударыыв волны 195 фузия вступает в свои права и становится чрезвычайно эффективной.
Причина этого в том, что коэффициент диффузии звука 6, определенный в равд. 1.13, дает добавку бдр/д г (193) к продольному сжимающему нанряжепию р„, добавку сверх значения, которое опо бы имело в недиссипативном движении. При нормальных скоростях изменения плотности др/д1 это дополнительное сжимающее напрюкение (193) весьма мало и медленно по своему воздействию (равд. 1.13). Напротив, там, где участок, соответствующий сжатию волнового профиля, становится круче, так что локальная скорость увеличения плотности стремится к бескон«и«ости при приближении к определенному моменту, дополнительное сжимающее напряжение (193) растет пропорционально локальной скорости, пока оно не достигнет такого огромного локального значения, что вызовет остановку всего процесса увеличения крутизны (в сущности, за счет замедления сигналов позади этого участка и ускорения сигналов перед ним).
Тогда для очень крутой волны с»патия, называемой «ударной волной», появится возможность продолжать распрострапяться со скоростью, промежуточной между скоростями сигналов за волной и перед ней с помощью уравновешивания процессов диссипации и увеличения крутизны; локальная крутизна волнового профиля саморегулируется так, чтобы мощное и быстрое стремление к увеличению крутизны компенсировалось сильными эффектами локальных напряжений (193).
При обсуждении этих процессов (здесь — для одного типа возбуждения и в равд. 2.11 — для более общих типов) мы не придаем особого значения вопросу о точном значении 6. Действительно, удвоение коэффициента диффузии вдвое умепыпает необходимую крутизну профиля в ударной волне и поатому удваивает ее толщину; однако ударная волна остается настолько предельно тонкой по сравнению с другими характерными размерами, что ее поведение с учетом удваивания или без него — зто в сущности то же самое разрывное изменение плотности. Соответствепно всякие попытки улучшить линейную аппроксимацию (193) добавочных сявимающих напряжений или учесть действительную частотную зависимость вклада в 6, свяаанного с «запаздыванием» (равд. 1.13), адесь опущены.
Тот факт, что диссипация энергии с помощью механизмов равд. 1.13 мо»кет вызвать значительные эффекты при изменениях, настолько резких, что добавочное сжимающее напряжение (193) становится существенным, связан с тем обстоятельством, 1». 3. Одномерные волны о леиднооиыол Рис. 35. Для внезапного движения порзпия в иевозмущеивую жидкость теория простой волны иемедтеипо предсказывает иевозможиые ситуации; а — пересечевие линий Се, 'б — формирование трехзпзчяого волнового профиля. что эти механизмы уменьшают, с одной стороны, энергию сииусоидальной волны за один период на часть, пропорциональную юб, которая может быть существенной, если величина юб достаточно велика. Высокие скорости изменения уменьпепют, с другой стороны, эффективность механизма диссипации за счет трения (равд.
2.7); при этом относительная потеря энергии за период падает как ю М' при увеличении ю (уравнение (142)). Таким образом, ударная волна, движение которой обусловлено конвективными процессами, хотя и может взаимодействовать с вязким пограничным слоем, по существу есть явление со слабым рассеиванием энергии. Импульсное движение поршня в жидкость, на котором мы сейчас остановимся, немедленно порождает разрывный волновой профиль (рис.
35), для которого сигналы за ним движутся с болыпей скоростью, чем невозмущенная скорость со сигналов перед ним, что сразу приводит при отсутствии диссипации к нереальным следствиям. Мы рассмотрим, может ли волна почти 3.10, ударвыа во.«вм 197 36. Вознвкковенве ударной волны прн внезапном движении поршня в певоемущенную жндкостгн добавочное сжимающее напряжепве (193) в почти разрывной ударной волне достато шо велнко, чтобы замедлить сигналы (распространяющнеся вдоль линий Ст) повадв нее н ускорить свгпалы перед ней (рвс а), так что (рпс.
б) ударная волна ыожет распространяться без кзменепвя волнового профиля, показанного здесь также в более позднпй момент времени, отмеченный на рпс. а пунктнрной линией. мгновенно стабилкзнроваться в почти разрывной форме «ударной волныв, т. е. переходной области с чрезвычайно малой толщиной, определенной так, что добавочное сжимающее напряжение (193) предотвращает дальнейшее увеличение крутизны, замедляя сигналы за ней н ускоряя сигналы перед ней, так что сама ударная волна распространяется с некоторой промежуточной скоростью в невозмущенную жидкость (рис.
Зб). Теория будет развита в двух направлениях. В первом, которое при изучении ударных волн вполне достаточно для практических целей, рассматривают ударную волну как действительный разрыв (ио с диссипацией), где скорость жидкости и изменяется мгновенно от нуля до постоянного значения и„которое она принимает в области между поршнем и ударной волной; нри этом стремятся определить, используя закон сохранения массы и другие физические законы, как могут измениться другие переменные, такие, как давление н плотность.
Во втором 198 2. Одномерные волны в жидкостях направлении рассматривают действительную структуру ударной волны н ее толщину и подтверждают, что первое направление создает правильное представление о природе волны, когда она распространится на расстояния, намного болыпне, чем ее толщина. Первая трактовка интересна тем,что показывает, как законы сохранения количества движения, массы и связанные с ними термодинамические принцнны, получившие количественное выражение в случае непрерывных движений ( в равд. 1.1 н 1.2 соответственно), могут быть также применены совершенно подругому для анализа возможности существования разрывных движений жидкости. В случае, подобном изображенному на рнс.
36, такой анализ позволяет определить скорость распространения разрывной волны У (которая может, как упоминалось рань1пе, превосходинаь са), а также давление р, н плотность Р, в области за ней, если скорость жидкости и, в этой области равна скорости поршня. Таким образом, масса невозмущенной жидкости с плотностью р„пересекаемая со скоростью У единицей площади ударной волны за единицу времени, равна Ран'. (194) Закон сохранения массы требует, чтобы эта жидкость выходила с тем же самым потоком массы за ударной волной с относительной скоростью У вЂ” и, и плотностью р„что дает Ра (17 ыа) = Ра17.
(195) Скорость приобретения этой жидкостью количества движения, а именно поток массы (194), умноженный на х-составляющую скорости и„которую она получает, можно приравнять к суммарной силе р, — ра в х-направлении, действующей на жидкость, пересекаемую единицей площади ударной волны, что дает Рабпг = Рг Ра (196) Представляет определенный интерес решить уравнения (195) н (196) относительно У и и„выразив эти величины только через давления н плотности: ("-= Ре Р' Р' пя= (Р' «а)(~' Р') (197) Ро Ре — Ра Раре Здесь уравнение в «конечных разностях» для скорости ударной волны У является обобщением для случая разрывов с произвольной амплитудой дифференциального соотноптения са = = сартр, к которому оно сводится для малых возмущений, в то время как уравкенне для и> аналогично обобщает уравнение и = (р — ро)/(рас). Действительно, законы сохранения мас- 19 г.ео.
Ударзиг волна Ра(7 ( ~ и,+ Е1 — Ег) =РРь ° (198) Правая часть (198) выражает тот факт, что на такую жидкость действуют со стороны примыкающей жидкости силы р, сзади и рг спереди (см. (196)), из которых, однако, только жидкость за ударной волной находится в движении (со скоростью и,) и„следовательно, производит работу (с мощностью на единицу площади р,и,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
