Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 45
Текст из файла (страница 45)
40, являются результатом процессов днссипации энергии внутри ударной волны, которые существенны (равд. 2.10) для самого ее существования. Следовательно, плоская волна, распространяющаяся в покоящемся воздухе, до тех пор, пока ударные волны в ней имеют интенсивность, меньшую 0,5, будет удовлетворять с высокой степенью точности в любой непрерывной части волны соотношениям, которые Рнман вывел в предположении постоянства энтропии, а именно соотношениям для простых волн, включая равенство (178). Мы можем сделать независимую проверку этого заключения, так как оно означает, что с высокой степенью точности величина с — (1/2) (у — 1) и должна иметь одно и то же значение, равное с„по обе стороны такой ударной волны. Уравнения (205) и (206), с другой стороны, точно определяют относктельное изменение этой величины поперек ударной волны как с» — (1/2) ~т — 1) иу — с l, т+1» — Ыз = ~(1-ы — ~~~ Х сс 2т х ~(1 В (1+ — ~) (217) в системе координат, в которой скорость и непосредственно перед ударной волной равна нулю.
Рис. 40 показывает, что эта величина чрезвычайно мала (меньше чем 0,001) при р ( 0,5. Это подтверждает сделанное ранее заключение, которое существенно облегчает изучение простых волн: даже после появления разрыва в форме слабой ударной волны все непрерывные части волны удовлетворяют тем же законам распространения, какие были установлены в равд. 2.9. Применение этих законов к расчету искажения волнового профиля после момента, при котором предсказанный коэффициент наклона оказывается бесконечным, теперь выглядит целесообразным, потому что, если даже волновой профиль в целом, рассчитанный таким способом, принадлежит к типу, описанному (рис. 32) как «невозможный», каждая непрерыаыал часть реального профиля должна быть частью волнового профиля, рассчитанного таким способом.
Поэтому этот реальный волновой профиль в целом должен содержать разрыв в каком-то месте того пространственного «-«за«о 210 2. Одномерные волны о згидностян Рис. 41. Образование ударной волны в воздухе. Иитерферограымы залнового профиля з последовательные моменты а, 6 и о. каждая темная линия по существу предстазляет собой график зависимости плотности, взятой со знаком минус (к соответствующем масштабе), от расстояния. В момент а эти линии имеют умеренный наклон, е момент 6 они становятся круче, а в момент о — разрывными.
интервала, где рассчитанная простая волна трехзначна; на рис. 32, например, разрыв мог бы проходить от А до С, разделяя непрерывные части волнового профиля, лежащие справа от А н слева от С. Но он мог бы проходить и в другозг месте профиля, например от гг до Г, рааделяя его непрерывные части, лежащие справа от ьГ и слева от Е. Экспериментальное подтверждение того, что увеличение крутизны волнового профиля действительно приводит в конечном итоге к образованию волнового профиля, содержащего подобный разрыв, приведено на рис. 41.
В каждый момент распространения волны выбор между различными возможными положениями разрыва внутри этого пространственного интервала можно сделать на основании уравнений ударной волны, которые были выведены с помощью законов сохранения (баланса массы, количества движения и энергии), примененных к жидкости, пересекаемой разрывом. Кстественнагг, но трудоемкая процедура, которая раньше представлялась единственно возможной,— это использонать выражение вроде (Рь|Ра) ~ (Рь Рог (Рь Ра) (218) для скорости ударной волны (относительно жидкости непосредственно перед ней) для того, чтобы определить смещение ударной волны между последовательными моментами и, таким образом, рассчитать ее положение, продвигаясь малыми шагами вперед по времени от момента, когда она впервые появилась.
Значительно более удобная процедура, открытая позднее, 211 2.11. Простые волны, еодераеаиЕие свабые ударные волны Ро Рис. 42. Поскольку закон сохранения массы должен выполняться как для распределения плотности, зызедепного из теории простых волн, так и для истинного распределения плотности при наличии ударной волны, соответствующий разрыз должен быть помещен туда, где его введение пе изменит площади между графиком р и осью и. использует закон сохранения массы непосредственно для определения положения ударной волны в любой момент времени невависимо от каких-либо вычислений ее предшествующих положений. Эта улучшенная процедура исходит из того факта, что любое решение в виде простой волны, включая даже невозможное, вроде показанного на рис.
32, является точным решением уравнений движения, к которым относится уравнение сохранения массы, или уравнение неразрывности. Другими словами, такое решение удовлетворяет закону сохранения полной массы жидкости на единицу площади поперечного сечения ~ рбх. Плотность р в простой волне однозначно связана со скоростью жидкости и или с избыточной скоростью сигнала и (раад. 2.9), и поэтому, когда любой волновой профиль, аналогичный изображенному на рис. 32, определяется по правилам простого сдвигового искажения, пояснениым на рис. 31, легко получить соответствующее распределение плотности как функцию от х. На рис.
42 показано такое распределение плотности, выведенное для еневоэможного> волнового профиля, приведенного на рис. 32, но с необходимостью удовлетворяющего условию, что интеграл ) рдх (площадь между кривой и осью х) описывает неизменную полную массу жидкости на единицу площади поперечного сечения. С другой стороны, реальный волновой профиль, содержащий разрыв, должен удовлетворять тому же самому условию сохранения массы. Это повволяет удобным 212 2, Однояерниь ь яни о жидкостях и единственным образом фиксировать положение разрыва, как именно то, которое не вызывает изменения интеграла ~ рбх.
На рис. 42 показано, как легко на глаз провести вертикальный отрезок, который сохраняет неизменной площадь между кривой и осью х, потому что заштрихованные участки, заключенные между этим отрезком и кривой, лежат по разные стороны от него и имеют одинаковую площадь. Дополнительное упрощение при практическом использовании этой процедуры связано с тем, что диапазоны изменения плотности внутри слабой ударной волны таковы, что характерное для простой волны соотношение между плотностью р и добавочной скоростью сигнала о можно с достаточной степенью точности считать линейным в этих диапазонах.
Это означает, что построение, выполненное на графике зависимости р от х (рнс. 42), можно непосредственно применять к графику зависимости о от Х (рис. 32), что с хорошей степенью точности дает идентичный результат (приводя фактически к выбору отрезка ЭРЕ как правильного положения раврыва на рис. 32), так как линейное преобразование ординаты (переход от р к о) не может изменить равенства площадей двух заштрихованных сегментов на рис. 42. Хотя здесь опущен полный анализ причин, по которым введение этого дополнительного упрощения лишь незначительно ухудшает точность теории, можно отметить, что слабая ударная волна даже интенсивности 0,5 (т. е.
на верхнем пределе) вызывает в атмосферном воздухе изменение избыточной скорости сигнала о, равное 0,359 с„и что отношение плотностей при атом равно рь/ро = 1,333, что только на 2,6«4 балыке получаемого в предположении о лпнейной зависимости плотности от и; это максимальная ошибка, выраженная в процентах, для р( 0,5. Кроме того, идея о том, что результат построения разрыва по участкам равной площади можно непосредственно применить к «невозможномуэ» волновому профилю, заданному зависимостью от Х, допускает проверку в особом случае (рис.
35) импульсного движения поршня в жидкость. Очевидно, это построение помещает разрыв точно в центре Е-образной фигуры на рис. 35, откуда следует, что избыточная скорость ударной волны (/ — со равна половине избыточной скорости сигнала и, + с, — со = иы наблюдаемой за ударной волной.
Точные значения (1/ — со)/(и, + с, — со), вычисленные по уравнениям (205) и (206), лежат между 0,500 и 0,543 при 0 ( /5 ( 0,5; это подтверждает, что результаты теории «слабых ударных волн» являются хорошим приближением в етом диапааоне интенсивностей. 2с3 3.11. Просюые еолыы, содерлсащие слабые ударные еолкьс Рис, 43. Общее построение для относительно слабой ударной волны АВ, сформировавшейся в ходе искажения волнового профиля (правило Уизема). Штриховые линии показывают отброшенные равновеликие участки волнового профиля, полученного в результате сдвига в течение времени а В течение этого времени прямая ОО, обратная величина козффициента наклона которой равна — т, отсекающая равновеликие сегменты на исходном волновом профиле, превращается в вертикальную пряную ЛВ. Из предыдущих рассуждений вытекает очень простая процедура для определения искажения волнового профиля для простых волн, содержащих слабые ударные волны.
Если рассматривать волновой профиль как график зависимости избыточной скорости сигнала и от Х = х — сос, то можно описать его искажение следующим образом (рис. 3$): сдвиг происходит все время с единичной скоростью при условии, что там, где необходимо сохранить однозначность волнового профиля, вводится вертикальный раарыв, отсекающий участки равной площади с каждой стороны от него. На рис. 43 показано искажение волнового профиля за время ~, рассчитанное этим способом; как и иа рнс. 31, каждое значение и находится в точке, смещенной на расстояние И вправо; здесь, кроме того, изображены заштрихованные участки равной площади, которые отбрасываются при введении разрыва АВ. Полезно было бы уанать, какая именно прямая (обоэначиьт ее СП), проведенная на исходном волновом профиле, будет переведена искажением сдвига, имеющим единичную скорость в эту вертикальную прямую линию АВ спустя время й Ответ на этот вопрос таков: во-первых, СП должна быть прямой, для которой величина, обратная коэффициенту наклона, равна — 1, потому что единичный сдвиг, который увеличивает подобную величину для любой липин с единичной скоростью, должен увеличить ее до нуля ва время 1; во-вторых, площади сегментов, лежащих между СЮ и кривой по обе стороны от СП, должны быть равны, так как обе эти площади остаются неиаменными в процессе сдвига, переводящего их в равные сегменты, лежащие между АВ и искаженным волновым профилем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
