Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Гидрааеичееяие ярыжки г=о Рис. 46. Для гидравлического црыжиа, движущегося вдоль канала постоянной ширины о, поперечное сечение воды перед прыжком Ае ограничено уровнем невозмущенной воды е =- О и имеет центр пасс Се, а поперечное сечение поаадв прыжка Аг ограничено уровнем поднявшейся воды е = ьг и имеет центр масс бы Разность площадей А, — Ае равна Ьге и имеет центр тяжести о' при е = — (1)2) ь. жимо мала по сравнению с растяжимостью. Это дает уравнение реАг (5' — ыг) = роАе(г (223) очень похожее па уравнение (195) для ударной волны.
Однако форма уравнения количества движения будет теперь более сложной, чем (196), по крайней мере для его правой части, потому что в открытых каналах давления перед разрывом и ча ним приложены к рааличным площадям поперечного сечения, а также гидростатически изменяются по этим сечениям. Непосредственно за разрывом избыточное давление (15) принимает значение родЦ„где ~г — превьппение высоты свободной поверхности над невозмущенным уровнем. Суммарную силу в направлении х, действующую на жидкость, пересекаемую разрывом, можно разделить на две части (рис.
46): вопервых, на силу редсгА „действующую на жидкость ниже уровня невозмущенной воды благодаря избыточному давлению, действующему по площади поперечного сечения А, этой жидкости, и, во-вторых, на силу 41 ~ МЯ вЂ” )5 ( = — МР='р (224) о действующую на жидкость, лежащую выше невозмущенного уровня воды. Последнее выражение получено интегрированием е. Одномерные волны в неиднеетнн по г силы, действующей на соответствующей атой высоте площади Ьйг, которая определяется разностью рад (~, — г) между давлением жидкости позади разрыва и атмосферным давлением воздуха перед разрывом. Приравняв эту объединенную силу (после подстановки (ь,Ь =А, — Л„ ,(225~ как в (16)) скорости приооретения жидкостью количества движенил (а именно к потоку массы (222), умноженному на х-составляющую скорости им приобретаемой жидкостью), получим 1 1 РЬАаГи~ = у (Ао+ Ае) Реь'1е =- ~ (Ао+ Ае) (рой/Ь) (Ае — Ао) (226) Уравнения (223) и (226) легко разрешить относительно с/ и и„выразив их только через Ае и А, (а также через постоянныеди Ь): Пг ВАе .41 (Аь+Ао) е г (А1 — Ае) А1+Ао ~227; 2Аее е ЬАе В правой части ка>ндого из этих равенств лервый соленожитель есть величина, которую дает линейная теория для волны малой амплитуды, движущейся в невозмущенную жидкость; следует отметить, что, как и ожидалось, скорость (/ разрывной волны отличается от скорости (дАЬ/Ь)'1е сигнала с малой амплитудой ноправочным множителем, который увеличивается с увеличением отношения площадей А,/Ае.
Эта зависимость уравнений (227) только от единственного отношения А,/Ле составляет резкий контраст соответствующим уравнениям для ударной волны (197), которые зависят от двух отношений, а именно от отношения давлений р,/р, и отношения плотностей р,/р„взаимосвязь которых определяется законом Гюгонио, выводимым из уравнения энергии. Для длинных волн в открь|тых каналах одно и то же отношение А,/Ае определяет как скорость приобретения количествадвижения(подобно р,/р,), тан и равенство потоков массы (подобно ре/ре). Любая информания, которую мы могли бы получить в дальнейшем о переходе механической энергии в тепло на разрыве, не будет иметь отношения к определению Г и и, через А,/Ае с помощью рассмотрения массы и количества движения, на которые совершенно не влияет возникающее в результате пренебрежимомалое возрастание температуры. Разрывную волну, движущуюся вдоль открытого канала, в соответствии с уравнениями (227) обычно нааывают «гидравлическим прьокком» с интенсивностью ~ = (А1 — Ав)/Ае, 2.12.
Гидрааьические првжли о помощью которой зги уравнения запишутся так: 221 (//сс = (1+ — ~) (1+ ~) и,/се=~ (1+ — ))) (1+)5) (228) здесь сс — невозмущенная скорость волны, равная (//Лс/Ь)г/а. Эти отношения вместе с сг/сс = (1 + ())'/' (229) Иус, и,/с, с,/с, г з р Рнс. 47. Для гидравлического прыжка с интенсивностью в диапазоне 0 < б < 4, движущегося в невозмущенной воде по каналу постоянной ширины, изображены безразмерная скорость прыжка // и другие величины, неменяющиеся попарек прыжка (скорость жидкости меняется от нуля до иы а волновая скорость — от сс до сг).
изображены как функции )1 на рис. 47. Заметим, что гидравлический прыжок с интенсивностью, превосходящей 2,21, ускоряет воду до «сверхкритнческой» скорости и, (т. е. скорости, превьппающей локальную скорость сг возмущений ыалой амплитуды). Рис. 47 дает возможность найти р — интенсивность гидравлического прыжка, вызванного любым импульсным движением поршня, исходя из иг/сс — отношения скорости поршня к скорости волны в невозмущенной жидкости. Вычислив теперь скорость, с которой масса жидкости, пересекаемая гидравлическим прыжком в единицу времени(222) 2.
Одиомериыв вояяы в жидкостях теряет механическую энергию, получим Г,ис — РоАо6( з и,+ИЬ) е 1 ° (230) Здесь Р,и, — скорость, с которой производится работа над атой жидкостью со стороны жидкости за прыжком, толкающей ее со скоростью иы а — и,'+дЬ вЂ” сумма кинетической энергии и дополнительной потенциальной энергии, которые она приобретает на единицу массы (рис.
46). Эти утверждения требуют, чтобы Ь было вертикальным смещением центра масс поперечного сечения жидкости па прыжке и чтобы Р, было интегралом по площади А, от величины рд (с"„— з), на которую давление воды превосходит атмосферное давление; рассматривая только работу, совершаемую разностью давления жидкости и атмосферного давления, удается набежать необходимости вычитать. работу, совершаемую поднимающейся жидкостью против силы атмосферного давления. Очевидно, эта проинтегрироваппая разность давлений Р, по площади А, принимает вид (2312 -4 дроаЬвв где Ь, — средняя глубина точек в сечении А„отсчитанная от свободной поверхности, т.
е. Ь, — глубина центра масс 6г площади А,. Так как площадь А, включает (рис. 46) часть с площадью А, с центром масс 6„расположенным на расстоянии Ь ниже 6„и часть с площадью Ат — А, с центром масс 6' на глуби- 1 1 не — ~~ ниже поверхности то разность ܄— —, ~, можно ааписать 2 в 2 как расстояние А ой/ (А1 — А,), на которое 6, ниже 6', что дает 1 ~еров Г 2 ос+ о / (~1 0)1 (232) Для проверки этой важной формулы для силы, определяемой интегралом от давления за фронтом прыжка, можно с помощью аналогичных соображений записать силу, определяемую интегралом от давления по поперечному сечению А о перед фронтом прыжка, как ко= АороФо = Авро4' [ — 2 1с+ АсЬ/ (Ас -4о) ) с (233)' 1 где Ь, — глубина центра масс 6о площади Ао, отсчитываемая 1 вниз от ее свободной поверхности, так что Ьо + — ь, является расстоянием, на которое 6, ниже 6'; теперь заметим, чт1ь л.лл.
Гидравлические прииски 223 разность (234) Ь'е- ~'о = 2 (Ае+ 4о) Реб1е согласуется с суммарной силой в правой части (226), вычисленной ранее другим методом. Скорость потери механической энергии на прыжке (230) равна количеству, на которое скорость работы над жидкостью на прыжке превосходит скорость приобретения ею кинетической и потенциальной энергии. Скорость работы Р,ап где Р, дается выражением (232), а и, и З, представляется из (223) и (225) соответственно как // (А, — А,)/А, и (А, — Ае)/д, имеет следующий вид: пепе = з Раг/й (Ае -4о) /Ь+ РоАе(/Ф (233) Следовательно, когда мы вычисляем разность (230),подставляя для ие, выражение из (227), два члена Р,А е(/дй взаимно уничтожаются, а другие члены дают в результате скорость потери механической энергии в гидравлическом прыжке реЬ/д (А г — А о)е/4ЬА и (236) Таким образом, несколько более сложные рассуждения приводят к довольно простому выраекению для скорости потери механической энергии с зависимостью от куба иаменения площади; эта зависимость даже более очевидна, чем соответствующие правила для ударных волн.
Для гидравлических прыжков, с другой стороны, имеется гораздо большее разнообразие в способах, которыми можно осуществить требуемый отвод энергии. Причина этого состоит в том, что в теории плоских волн звука пренебрегают только диссипативными аффектами, поэтому только они могут сбалансировать (см. равд. 2.10) конвективные эффекты, необходимые при образовании ударных волн; в теории длинных волн в открытых каналах пренебрегают также и другими эффектами. К ним относятся эффекты, свяаанные с любым нарушением допущения о том, что волна является длинной, т.
е. масштаб продольных иаменений значительно больше средней глубины Ь. Очевидно, всякий раз, когда крутивна волнового профиля становится локально большой, можно оя идать некоторого ухудшения точности этого допущения. Его природа будет изучаться глубоко в дальнейшем начиная с гл. 3, но здесь мы предпошлем этому последующему обсуждению неизбежно упрощенный обзор основных выводов. Обсуждение продольных волн в равд. 2.1 показывает, что если искаженный волновой профиль содержит (в смысле фурье- е.
Одномерные волны о живко«то« анализа) весомые синусоидальпые составляющие, длины волн которых не велики по сравнению с глубиной, то эти составляющие не обязаны двигаться со скоростью длинных волн с относительно скорости жидкости и. Действительно, в гл. 3 будет показано, что они движутся с более нивкой скоростью. Это наводит па мысль о следующем способе отвода энергии с требуемой скоростью (236); сдвиговые искажения, вызывая образование чрезвычайно крутой части волнового профиля, производят все более и более весомые синусоидалькые составляющие с малой длиной волны, которые отстают от распространения остальной части волны, пока в конце концов не возникнет некоторый равновесныи волновой профиль, близкий к разрывному, причем энергия отводится назад с требуемой скоростью (236) шлейфом относительно коротких волн, следующих за прыжком.
Несколько моментов делают истинную картину более сложной, чем вышеописанная. Некоторые из них являются следствием на первый взгляд удивительного результата, приведенного в гл. 3: для волн, «фазовая скорость» которых (скорость распространения любой заданяой фазы синусоидальной волны, например гребня) уменьшается с уменьшением длиньь волны, скорость распространения энергии оказывается меньше фазовой скорости. При равновесном распространении прыжка все образовавшиеся волны имеют на самом прыжке одну и ту же фазу; следовательно, их фазовые скорости равны скорости прыжка.
Стало быть, опи имеют фазовую скорость У вЂ” и, относительно жидкости аа прыжком, и эта величина, будучи, как показывает рис. 47, меньше, чем скорость длинных волн с„ определяет длину генерируемых волн: зто волны такой длины, что каждый гребень может оставаться на постоянном расстоянии за прыжком. Их онераия, однако, распространяется более медленно и, таким образом, утекает назад относительно прыжка, а амплитуда этих волн должна подстраиваться так, чтобы эта скорость убыли энергии имела требуемое значение (236). Помимо этих аспектов, полностью объясняемых в гл. 3, существуют и другие сложности (эпнлог, часть 2): если амплитуда каких-либо волн только что описанного типа превысит определенное значение, значительная часть энергии будет рассеяна за счет вспенивания на гребнях (для морских волн это явление известно как «барашки».) Экспериментально настоящий «ундулярный прыжок» без заметного вспенивания, когда большая часть отводимой энергии передается посредством шлейфа волн за прыжком, встречается только при интенсивностях, меньших примерно 0,3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
