Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 50
Текст из файла (страница 50)
2.18. Непинейное распространение 2оо. [(с,', — р,) д!дй+ д!дх[ [р»/[со(х)) = О, (243)' где функция ро (х) определена так, что в предельном случае. слабых возмущений Р, [А, (~)l (Р, (х)с, ( )))'ре = [~,/[с, (х)1 к опз1. (244) Например, в любом случае, приводящем к равенствам (241) (ограниченный твердыми стенками совершенный газ с постоянными теплоемкостями или вода в открытом канале с шириной,, не зависящей от подъема воды), для слабых вомущений выпол- няется Рс се (и+с) ' 2 (У+ 1) и/со 2 с -с 1) Ре( (Рос~)., (245) 1 так что можно принять [со (х) =- А Ые(х) Р— ив(х) с,— ой»(х). (246) Уравнение (243) решается с помощью преобразования переменных, уже отчасти знакомого.
Обобщая уравнение (189), выберем (247) и используем в качестве новой зависимой переменной (248) У, =- р,(~'о(х). Далее имеет смысл определить х Т, = ~ Уо(х) с(х о (249). как новую времяподобную переменную (интеграл по переменной х от функции, размерность которой есть величина, обратная скорости„т. е. от масштабной функции Го (х) для дефицита щ— величины, обратной скорости сигнала). Использование новых независимых переменных (247) и (249) преобразует частные производные в (243) в производные д!дс = — д!дХ, и д!дх = с ', д(дХ, + У, д(дТо (250) С испольаованием переменной р, (»дефицит величины обратной скорости сигнала») величина, обратная скорости сигнала (и + с) ', есть с,', — ги что означает, что уравнение (242) можно записать в виде Е.
Одномерные волны в жидкостях что дает для выражения в первых квадратных скобках в (243) 1(с ', — и,) д7дг +,дух] =- и, дlдХ, + Ро д1дТ,. (251) Окончательно с заменой зависимой переменной (248) уравнение (243) принимает вид (252) д]',/дТ, + рсдрп',~дХ, = О. Удивительно, что этот подход привел для довольно общей и весьма сложной задачи этого раздела к тому же самому уравпению (]86), которое, как было показано в равд. 2.9, описывает однородный сдвиг волнового профиля! Пока волновой профиль остается непрерывным, все результаты в рассматриваемом случае оказываются точно такими, как было изображено на рис. 3$, но с заменой пеРеменных С, х, и на Тп Хп Рн В частности, величина, обратная наклону, т, е. (дГ,!дХт) 1, растет (прн ,данном значении вс,) с единичной скоростью по отношению к кзмененню Т,.
Если волновой профиль задан при х = 0 (т. е. при Т, = 0), то это означает, что тангенс угла наклона этого профиля впервые станет бесконечным при значении Т„ определяемом равенством Т, =- ппп[ — (д[,!дХс) ']т,=о, (253) аналогичным равенству (188). С помощью равенств (247)— т249) это дает уравнение ~ [Т'о (х)(уо (0)] с[х =- пйп[(до,(дв) ']к=в, о определяющее расстояние х, на котором впервые должен появиться бесконечный тангенс угла наклона волнового профиля (что неизбежно вызывает образование разрыва), заданного прн х=О.
Уравнение (254) показывает, что образование разрыва вадерживаепюя, если ]со (х) — уб ваюи[ая фунщия; тогда, очевидно, возрастает значение х, прн котором левая часть принимает указанное значение (определяемое минимумом по времени величины, обратной тангепсу угла наклона волнового профиля при х = 0). Например, когда Р, (х) задается формулой (246), увеличение плои[ади поперенноео сечения оказывает подобное влияние; за счет уменьшения амплитуды сигнала и, следовательно, также избыточной скорости сигнала оно тормозит увеличение крутизны волнового профиля.
В случае рупора громкоговорителя, площадь поперечного сечения которого имеет распределение А, (х), левая часть (253) 235 2.1о Нелинейное распространение будет равна ~ (А, (О)/Ао (х)!М' слх, а зта величина легко цожет о расти достаточно медленно, чтобы сделать невозможным образование каких-либо ударных волн в пределах длины рупора. Действительно, в рупоре с экспоненциально увеличивающейся площадью Ао (х) = А, (О) е"н (равд.
2.6) этот интеграл никогда не может превзойти величины е-ие!зах=2а ', 'о (255) сколь велика ни была бы длина рупора; поэтому, согласно (245) н (254), ударная волна может образоваться в нем только в случае, когда шах (др,лдл)„, ) рос,'а/(у + 1), (256) что является очень сильным ограничением. Напротив, когда Уо (х) являетси возрастающей функцией, расстояние х, прп котором должно быть выполнено условие образования разрыва (254), уэленыааетсл. Это происходит, например, в случае, когда приливная волна распространяется вверх по постепенно сужающемуся эстуарию (однако не по эстуарню с внезапными изменениями поперечного сечения, которые, как показано в равд. 2.3, отражают значительную часть энергии). Хотя период приливной волны настолько велик, что производная по времени в правой части уравнения (254) весьма мала, однако левая часть этого уравнения может быть выражена в виде ~ (Ь(0)~Ь (х)!'" (Ь(0)~Ь(. )!"'йх о (257) через среднюю глубину Ь (х) = А, (х)!Ь (х), а этот интеграл .может возрасти в результате постепенного уменьшения Ь (х) и Ь (х) до таких больших значений, что условие образования разрыва легко может быть выполнено.
Благодаря этим рассуждениям легко понять, как образуется бора, когда приливная волна распространяется вверх по постепенно сужающемуся зстуаршо, подобному эстуарию реки 'Северн. На самом деле прн атом вероятность образования боры несколько переоценивается, потому что в этих рассуждениях совершенно не учитывается диссипация потока волновой энер- 236 о. Одномерные волны е жидкостях гии эа счет турбулентности. В левую часть выражения (242), представляющую собой квадратный корень из потока энергии в приближении линейной теории, следует ввести поправку, обусловленную ослаблением волны, в виде множителя, отражающего медленное экспоненциальное затухание с расстоянием (этот множитель, обусловленный турбулентной дпссипацией, аналогичен ослабляющему множителю (142), обусловленному вязкой диссипацией); в силу (244) этот самый множитель нужно включить в )го (х); тем самым он будет ограничивать рост левой части (254).
Этот метод анализа оказался весьма успешным при объяснении, почему бора на Северне образуется только при более высоких сиэигийных приливах. Преобразование, описываемое равенствами(247) — (249), сводит каждую задачу к случаю однородных физических характеристик жидкости и постоянного поперечного сечения (уравнение (252)) не только при том условии, что волна остается непрерывной. Можно легко приспособить рассуждения, проведенные. в конце равд. 2.11, чтобы показать, что если в переменных Т„Х„)г1 процесс равномерного сдвига приводит к многозначному непрерывному волновому профилю, то для превращения волны в однозначную нужно ввести именно сохраняющий площадь разрыв.
Для каждого положения х (т. е. для каждого. данного Т,) общий поток массы ) рАис(1 в импульсе должен принимать одно и то же аначение как для реального движения, так н для строго непрерывного (но многозначного) вычисленного движения. Поскольку в каждом положении х соотношение. между рАи и о, для слабых импульсов линейно, сохранение рА и дсГ означает сохранение площади волнового профиля Г1АХ1. Следовательно, все выводы равд. 2.11, так же как и равд. 2.9, применимы без всяких изменений, если использовать переменные Т„Х, и 1;. В частности, показанный на рис.
44 метод для построения по одному исходному волновому профилю всех воэмоясных разрывов последующих волновых профилей применим в этих переменных непосредственно. Отсюда для единичного импульса сжатия, имеющего при х = — 0 (т. е. при Т, = 0) площадь = ( 1 (г1 АХ1)т = () о1 АГ) -о/11го(0), (258) получим для болыпих х аеимптотичееяий волновой профиль с двюкущейся впереди головной ударной волной, на которой $'1 возрастает от 0 до (21',е/Т1)1гв, как в (220), вызывая возрастание.
В,14, Нгяиаейкая геометрачгакая акустика 237 о, отОдо ( о(х) ~ 2 ( ) о, ьУ) /(То(0) ) Уа(х)с1х) ) ' . (259) За этой ударной волной следует треугольный импульс (сигнал, уменьшающийся до нуля с постоянной скоростью), продолжительность которого (или, в переменной Х„длина которого) возрастает, как и в (221), согласно формуле х (27)гд)п =-(2 ( ~ о, гН) ) (Го(х)!Ра(О)) 0х) . (260) о Эти чрезвычайно общие асимптотические правила (259) и (260), описывающие нелинейное распространение импульса (ряд интересных частных случаев их применения приведен в следующем разделе), иллюстрируют мощность негода преобразования при решении задач с постепенно меняющимися физическими свойстваии жидкости и поперечныи сечением.
2.14. Нелинейная геометрическая акустика Различные теории одномерных волн в жидкости не ограничены своими приложениями к жидкостям, заключенныи внутри материальных труб или каналов. Опи играют другую важную роль, как указывалось в равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
