Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 52
Текст из файла (страница 52)
1.12, геометтрическая акустика неприменима асимптотически, если площадь трубки лучей не увеличивается.) В более общем случае / ) О, когда площадь трубки лучей увеличивается с расстоянием квадратично (как, например, при распространении сферического импульса), интеграл в (271) растет только логарифмически прн больших х и продолжительность импульса 8р (пропорциональная квадратному корню из этого интеграла) увеличивается поатому очень медленно: нелинейные искажения формы волнового профиля накапливаются весьма медленно, потому что скорость искаокения непрерывно и существенно уменьшается кри сферическом аатухании.
Аналогично, в соответствии с (272), скорость аатухання ударной волны выше скорости затухания сигналов, даваемой линейной теорией, благодаря множителю Н/(со го), убывающему очень медленно (обратно пропорционально квадратному корню из логарифма расстояния). В этом разделе до сих пор рассматривались системы с геометрическими масштабами, значительно превосходящими характерную длину волны: это основное предположение геометрической акустики. Однако такой псе подход может быть испольаован для некоторых систем, только часть которых удовлетворяет этим предположениям. Любая компактная область источников, конечно, удовлетворяет противополояоным условиям: ее размеры малы по сравнению с длиной волны.
В равд. 1.0 показано на основе линейной теории, что ее дальнее иоле при некоторых довольно общих предположениях может быть аппроксимировано полем одного точечного источника с напряженностью о (с), равной скорости изменения полного потока массы из области источника.
В равд. 1.4 установлены соотношения для дальнего поля любого точечного источника, описанные позднее (равд. 1.11) как соотношения геометрической акустики; но, как подчеркивалось при рас- Я.во. некикейкак веавветричеекая акустика смотрении рис. 1, сигнал, распространяющийся вдоль каждой трубки лучей, для дальнего поля пропорционален д; напротив, он пропорционален д, когда условия геометрическойакустики применимы всюду (как при излучении больших сфер, изученном в равд. 1 11). Было показано, что для сравнительно слабых возмущений протяженность распространения должна превысить несколько длин волн, прежде чем нелинейные эффекты вызовут существенное искажение волнового профиля.
Это предполагает, что превращение потока массы д, характерной для ближнего поля, в сигналы дальнего поля должно адекватно описываться линейной теорией, в то время как дальнейшее распространение на большие расстояния таких сигналов в дальнем поле (пропорциональных д) может рассматриваться с помощью геометрической акустики в версии этого раздела, учитывающей нелинейные эффекты, Однако заметим, что эти сигналы обычно яе могут состоять из одиночного импульса сжатия; например, если полный массовый расход нз источников возрастает до положительного максимума дтак, а затем падает до нуля, то дальнее поле с напряженностью д будет состоять (рис. 1) из одного импульса сжатия н следующего за ним импульса разрежения с той яве площадью, которые нелинейные эффекты превратят (рнс.
45) в Х-волну. Таким образом, в атмосфере с однородными невозмущеннымго плотностью и скоростью звука распределение скорости дальнего. поля точечяого источника и = д ($ — г(со7 (4лтр,с,) (275) создает на расстоянии го (которое для применения вышеописанного анализа мы выбираем в качестве начального поперечного сечения трубки лучей х = 0 (так что х = г — г,)) смещении Н = ( ~ пЮ*=о = дшах7(4 "'оРос,) (276у для участка сжатия волнового профиля и равное ипротивоположное смещение для участка разрежения. Отношение площадей лучевой трубки (270) равно (го + х)о7г, 'и, таким обрааом, асимптотическая форма импульса представляет собой М-волну, состоящую из переднего иошульса треугольной формы, длительность которого, согласно (271), равна ((7+ 1) Н ~ г (г + х) в г7х)~ о = ((7+ 1) ашик [1п (г/го)) l(4прос~~))'~, (277) во* 3.
Одномерные «олям е зеивкеетзз и равного и противоположного хвостового импульса треугольной формы. Асимптотическая величина интенсивности (272) обеих ударных волн равна Д 2уг«(г«+ х) ' Н((с»Ер) = = 27 [Ум, ((бн(У+1) Р,с»)[ г (г [1п (г(г«))'~ . (27В) Эти приближенные формулы лишь слабо чувствительны к выбору значения радиуса г», при котором по предположению начинается нелинейное искажение дальнего поля, Аналогичное рассуждение применимо к двумерному распространению цилиндрического импульса от длинной однородной линии компактных источников: линейная теория может быть использована, чтобы оценить образование сигнала дальнего поля, в этом случае пропорционального (рис.
1) производной порядка 1(2 от д (1), в то время как нелинейная геометрическая акустика описывает его последующее развитие. В результате снова получается 1ч-волна, так как даже чисто положительный массовый расход (например, от взрывающейся проволочки), как видно на рис. 1, порождает дальнее поле, содержащее как фазу сжатия, так и фазу разрежения. Хотя для большинства областей, содержащих источники, лучи распространяются по всем направлениям, существуют некоторые примечательные исключения из этого правила: любая область источников, движущаяся со скоростью 1(, большей чем невозмущенпая скорость звука ср, испускает лучи только под острым углом (279) 0 = агссоз (с«(ь() к направлению его движения; это лучи, несущие знаменитый «звуковой удар». Мы исследуем зто явление главным образом для изотермнческой атмосферы, в которой с, является постоянной. В такой атмосфере звуки, излученные источником, когда его расстояние от наблюдателя уменыиается со скоростью, превышающей с„будут услышаны наблюдателем в обратном порядке («пап пеп пип поп пуп» будет слышно как «пуп поп пип пеп пап»!), потому что относительно более быстрое приближение источника оставляет позади звуки, излученные в более ранние времена.
Между этой довольно необычной ситуацией и обыкновенным случаем, когда звуки будут слышны в правильном порядке, потому что удаленность источника от наблюдателя уменыпается медленнее, чем с», лежит критическое условие. Когда расстояние между источником и наблюдателем уменьшается точно со скоростью с», все звуки (гласные и согласные) будут слышны вмеате как один хлопок («удар»).
е.1а. Неаыкейкаа ееометрыкеекак оку«тыка Это условие выполняется для источника, движущегося вдоль прямолинейной траектории с постоянной скоростью У ) са и неподвижного наблюдателя, не находящегося на атой траектории, когда угол 0 между траекторией ипрямымлучом, соединяющим источник и наблюдателя, принимает значение (279); тогда составляющая скорости источника С соз 0 по направлению к наблюдателю равна с». Это позволяет «удару» распространяться вдоль указанного луча. Закон, определяющий лучи как прямые, составляющие угол (279) с траекторией источника, на самом деле всего лишь частный случай общего подхода к лучам, как к траекториям, отвечающим минимальному времени; момент, в который излученные сигналы достигают наблюдателя, становится все более и более ранним, пока расстояние от источника до наблюдателя уменьшается со скоростью, превыгпаю>цей аю но начинает становиться все более поздним для сигналов, излученных после того, как скорость уменьшения расстояния становится меньше с,.
Коли эта скорость в точности равна сю то сигналы, нзлученные под углом (279), усиливают друг друга, потому что в том месте, где находится наблюдатель, они удовлетворяют условию стационарной фазы. Заметим, что лучи, испущенные в каждый момент времени, ваполняют раскрытый вперед конус с полууглом (279), имеющий своей осью траекторию источника. Лучи всех таких конусов (каждый из которых соответствует некоторому моменту времени) заполняют все пространство; где бы ни был наблюдатель, он должен быть на одном таком луче.
Этот луч и все близкие к нему лучи образуют «трубку лучей», площадь поперечного сечения которой А, увеличивается линейно, прямо пропорционально расстоянию от траектории источника. Это означает, что в уравнении (270) у = 0; отсюда следует, что в однородной атмосфере интенсивность звукового удара падает обратно пропорционально расстоянию з степени три четверти, как в уравнения (274). При проектировании сверхзвукового самолета для оценки интенсивности сверхавукового удара на уровне земли важно учитывать болыпое различие между относительно высокой невозмущенной плотностью р, вблизи земли и ее существенно меньшими значениями на тех высотах, где полет со сверхввуковыми скоростями может быть зкономичным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
