Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Воэдух при температуре 20' С в очень длинной трубе постоянного поперечного сечения, ограниченный слева (при х = О) поверхностью точно пригнанного поршня, первоначально находится в покое. Затем поршень быстро раэгоняется (по направлению иэ воадуха) до скорости и = †//, которая достигается эа время т, когда поверхность поршня находится на расстоянии х = †].
После этого поршень движется с постоянной скоростью и = ' — (/. Для любого времени « ) т найти протяженность участка трубы, на котором воэдух движется со скоростью и = (/. Покаэать, что она совпадает с протяженностью участка х ( — й если (/ около 280 м/с, Определить температуру на этом участке. Площадь поперечного сечения воды в канале имеет постоянное еначение Ае в невоэмушенном состоянии и эначение Ае + Ьь (где Ь— постоянная) там, где уровень воды поднимается на высоту э. Покаэать, что в простой волне, распространяющейся вдоль канала, постоянная Бернулли (170) равна ееи + (3/4) и', где се = (дА е)«/«Ь '/е — певоэмущенная скорость волны, а и — скорость жидкости.
Канал открывается в большой резервуар с постоянной глубиной Ьк и скоростью длинных волн «к= (дйк]«/е. Показать, что волив, 251 Укражнвкик к славе 2 распространяющаяся вдоль прямолинейной степки резервуара мвяо устья канала, вызывает в капале простую волну. Найти уравпевие, свяэывшощее скорость жидкости в канале непосредственно у его открытого ковца и (1) со скоростью жидкости вие канала ик (1), индуцировавиой волной в резервуаре.
10. Показать, что вязкое затухание продольвых волн в трубах или навалах,изученное в рамках линейной теории в равд.2,6,порождает явления, которые можно описать с помощью введенной позднее в (185) координаты х = х — оог следующим образом. затухание синусоидального сигнала рв = рг ехр ( — 1/оХ) при этом описывается выражением рв = р, ЕХр [ — 1ЙХ вЂ” З (1/В)/Ог[, лде величина в, = — вАо (то) -1 1/2 2 пропорциональна длине в твердой части периметра поперечного сечения.
Показать, что если в качестве независимых переменных ИСПОЛЬЭУ/Отея Х и 1, то эатухавие импульса произвольной формы описывается уравнением дРв/дг = — е [д/д( Х))1/вРо. Вывести отсюда, что теория, учитывающая как слабое нелинейное искажение формы импульса, так и постепенное затухание в вязком пограничном слое на твердых стенках, должна быть основана на следующем уравнении, заменяющем (186): до/дг + одо/дХ[= — в [д/д( — Х)[1/оо; вэо уравнение можно записать в виде Π— +о(Х, 1) — ~о(Х,1) = с ~ — в($. 1) дг ' дХ ~ ' .) дЦ ' [и Д Х))1/2' 11, Ударные волны для эксперимептальвых целей часто генерируются с помощью ударкой труби — устройства, принцип действия которого таков.
Тонкая мембрана (х = О) разделяет две первоначально покоящиеся жидкости: рабочую, имеющую давлевие р, и плотность ро, и толкающую (х ~ О), имеющую аиачительво большее давлевие ро и плотность ро. В некоторый момевт мембрана разрывается. Предполагая, что поверхность раздела между двумя жидкостями мгновенно приходит в движевие с постоянной скоростью иг, показать, что ато порождает ударную волну только в рабочей жидкости.
Что образуется в толкающей жидкостиг Если рабочая жидкость является совершенным гааом с постоянными удельными теплоемкостями, а их отношение равно уо, показать, что давление рг па поверхности раздела связано с и, уравнением /1 \ -1/2 иг=(рг Ро) ) 2 ро [(уз+1) рь+(уо — 1) Ро) Рассматривая движение толкающей жидкости, являющейся совершенным газом с постояниыми удельными теплоемкостями, отио- Унрагкнения к гяат 2 шение которых равно ую показать, что „,— 2(у, 1)->(у,р,/р)>/з(1 (р,/р)(тз-1>/(хтз)). Доказать, что эти два уравнения однозначно определяют интенсивность воаникающей ударной волны () = (р> — рг)/рг.
(Предполо>кение о тоы, что скорость поверхности равдела достигается мгнгеетга, впоследствии подтверждается выводами нз атого предположения: все динамические уравнения удовлетворены, а скорость жидкости и давление непрерывны поперек поверхности раздела между двумя жидкостна>в. Кроые того, этот реаультат можно предсказать на основании анализа размерностей; данные настонщей задачи позволяют определить величины с размерностью скорости, например (рь>рг)>/г и (р>/р>)'/г, но не величины с размерностью ереяени.( 12.
Используя правило Уизема, рассмотреть развитие следующей простой волны. В момент времени с = 0 единичный импульс сжатия, имеющий площадь (>> под кривой вависнмости ивбыточной скорости сигнала г от расстояния Х, движется вперед позади более слабого импульса ся:атия, кмеющего под соответствующей кривой площадь (>г ( (>>. Расстояние / менгду хеоетогили конзами импульсов сжатия достаточно велико, чтобы импульсы были разделены невозмущевной областью. Показать графически.
ьак правило Увзема приводит к построени>о, определяющему процесс объедине>гия ударных волн, при котором после того, как хвостовая ударная волна переднего импульса сомкнется с головной ударной волной заднего импульса, они объединятся в одну ударную волну. Показать также, что для достаточного большого ( объединение вроизойдет, когда время 1 удовлетворит уравпенн>о 1 =- (2ч>>1)чг — (2ч гг)>/г, и что после этого скачок добавочной скорости сигнала а будет равен (2 Ф> + Ог)/1)'/' Каковы будут скачки добавочной скорости снгнава для двух ударных волн непосредственно перед вх объединением? 13. Гидравлический прыжок часто появляется как етачионарное явление в установившемся потоке, и для потока постоянной ширины Ь при наклоне дна и он может быть приблвхгенно исследован следующим образом. В том месте, где глубина потока равна Ь, средняя скорость течения и по поперечному сечениго принимается равной е г/(ЬЬ), где е" г — постоянный объемный расход потока.
Затем полагают и Ии/бх = у (и — бЬ/бх) — /иг/Ь, приравнивая грубую оценку и Ии/бх дли среднего ускорения жидкости к разности между составляющей ускорения силы тяжести, параллельной свободной поверхности, и грубой оценкой силы сопротивления на единицу массы за счет турбулентного трения. Показать, что зтв уравнения можно объединить в уравнение бЬ/бх = („Ьз /Ьг)/(Ьа Ьг), где Ь, — критическая глубина, при которой скорость вотока равна скорости длинной волны. Это дифференциальное уравнение ставит вопрос, аналогичный загадке, изученной в равд. 2.9 — 2.12, а именно градиент бЬ/бх становится бесконечным при Ь = Ь,. С другой стороны, зтот градиент Украяскекия к еяаее 2 253 становится нулевым там, где й принимает установнвшееся значение 1>с (зйв)'>з = йе.
Читателю предлагается начертить интегральные кривые: (!) когда сс ~ П так что Ь, ) Ь, и (П) когда >х ) (, так что йе ~ Ь . Заметим, что в случае (з) возможен гладкий переход от установившегося течения при й = Ьз к асимптотическому решению дй/дя — сз с горизонтальной свободной поверхностью (соответствующему втекаиию в резервуар). Показать также, что такой гладкий переход невозможен в случае (й). 3 м, что в случае (П) установившееся течение прн = е является сверхкритнческим (скорость течения превосходит скорость длинной волны). Это означает, что гидравлический врыжок, распространяющийся вверя по потоку„может удерязиваться в неизменном положении этим противополоясно направленным стационарным потоком.
Показать, что глубина йз за этим стационарным гидравлическим прыжком удовлетворяет уравнению (й ( Ь) — 2йз у которого имеется только одно положительное рва>ение, превосходящее Ь . Выяснить, каким образом ато одноаначно определяет переход от решения й = Ь, к упомянутой интегральной кривой, которая стремится при больших я к некоторому постоянному уровню горизонтальной свободной поверхности.
14. Иллюстрацией нелинейной геометрической акустики с квадратичной зависимостью площади сечения Ае трубок лучей от расстояния (раэд. 2А4) слупит звуковое поле, создаваемое торяозящимся снарядом, летящим со сверхзвуковой скоростью. 1>(ы предлагаем читателю рассчитать в этом случае излучение в воадух с эффективной постоянной плотиосгшо рз. Рассмотреть конусы лучей, исходящие из такого снаряда в моменты времени с и е+ 61, когда его скорость равна П и У вЂ” уй соответственно; здесь 7 — величина торможения. Показать, что площадь Ае (г) поперечного сечепня между этими конусами изз>знается с расстоянием от веригины конуса пропорционально г+ (гзд), где (Н се) (' (са>) Вывести, что если г, (( 1 является начальным значением г в дальнем поле источников, так что геометрическая акустика применима при г ) ге, то при больших г>ге продолжительность 2>„порол>денной снарядом Х-волны дается формулой гв — — ((7+1) Н>1ПЗ !в (1+2(т11+г~!1)~>~+2 (г11)))>~ ~сез где Нз определяется уравнением (286).
Заметим, что это выражение зюэволяет сделать переход от поведения при г(( 1, когда га яв (2(7+1) Н>г 1 ) 12>се, аналогичным случаю цилиндрического импульса (273), к поведению при г~) 1, когда ев ее ((7+1) Нз! >>2 1ц (4г11))~>~!се, аналогичному' случаю (277) сферического импульса. Объиснить "г такой переход'с помощью геометрии конусов лучей. 3. Волны но аоде 3.1. Поверхностные гравитационные волны Даже при первоначальном изучении волн в жидкостях необходимо рассматривать дисперсионние эффекты — сложную группу явлений, наблюдаемых в большинстве процессов распространения волн в жидкостях. Речь идет о тех процессах, в которых скорость волны с изменяется в зависимости от длины волны и, возможно, также от направления ее распространения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
