Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

2.1: распространение звука в трехмерных системах, геометрические размеры которых значительно превосходят характерную длину волны, можно аппроксимировать, рассматривая соответствующие сигналы как одномерные волны, бегущие вдоль абстрактных трубок лучей, определенных так, чтобы для каждого луча время прихода сигнала в заданную точку было минимальным. Это условие выделяет основной сигнал, достигающий этой точки, по причине, подробно пзучаемой в гл.

3 и 4 (вкратце потому, что сигналы, близкие к сигналу с минимальным временем, почти постоянны по фазе; поэтому нх когерентные флуктуации при объединении составляют намного большую величину, чеи результат взаимоуничтожающей интерференции сигналов, сильно отличающихся по фазе). Для случая распространения звука через однородную жидкость, разобранного в гл. 1, такие пути с минимальным вреиенем представляют собой кратчайшие пути; другими'словами, лучи являются прямыми линияии. В противоположность этому распространение звука череа жидкость, где невозмущенная 288 Г.

Одномеряыв волны в жидкостях скорость звука испытывает пространственные изменения, постепенные в масштабе длин волн, происходит по криволинейным путям с минимальным временем. Криволинейные лучи могут быть рассчитаны в соответствии с геометрической оптикой н описаны как подчиняющиеся законам прелольвепил, обсуждаемым далее в гл. 4. Изменение акустической амплитуды вдоль трубки лучей было исследовано на основе линейной теории в равд. 2.6: поток энергии остается постоянным в процессе прохождения волны вдоль трубки (которая физически не существует и поэтому не может вызывать какое-либо ослабление потока энергии за счет трения о стенки как в равд.

2.7). Из этого следуот (уравнение (91)), что р„Х"' = р, (Ав (х)!(р, (х) с, (х))]'/г (261) остается постоянной при изменениях х и С, удовлетворяющих уравнению их = с, (х) ос, т. е. прв изменениях, которые сохраняют величину с — ~ с ',с(х постоянной.

В преобразованных переменных Т„Х, и Г„определенных формулами(244) — (249), зто означает, что волковой профиль (график зависимости т", от Х,) в рамках линейной теории остается неизменным при изменениях Т,. Видоизменение этого результата, учитывающее нелинейные аффекты для сравнительно слабых возмущений, было предложено в равд. 2.13, а именно сигнал, несущий неизменное значение (261) вдоль трубки, распространяется с видоизмененной скоростью ЫхЮ .= и -~- с, которая больше для ббльшнх значений р, и меныпе для меныпих. Это искажает импульс таким образом, что в преобразованных переменных Тм Х„Р, непрерывный исходный волновой профиль вместо того, чтобы оставаться неизменным, подвергается однородному сдвигу с единичной скоростью по отношению к Тт, до тех пор пока Т„не примет значение (253), которому соответствует бесконечный тангенс угла наклона.

После этого волновой профиль необходимо подвергнуть дальнейшему видоизменению, введя ударные волны таким образом, чтобы он оставался однозначным, а площадь под ним сохранялась неизменной. Асимптотически любой начальный импульс сжатия стремится к треугсльпоиу волновому профилю, определенному выражениями (259) и (260). Эти результаты непосредственно применимы к оценке влияния нелинейности на трехмерное распространение сравнительно слабых возмущений. Заметим, что здесь используется по тем же самым причинам, что и прежде, основная идея геометрической акустики о том, что сигналы следуют вдоль лучей, т. е. вдоль 3.14.

Нелинейная ееометрическая акустика путей, отвечающих минимальному времени. Мы также опять используем траектории лучей, рассчитанные исходя из линейной теории, т. е. на основании пространственного распределения нееозмущенной скорости звука с,. Любая попытка использовать для относительно слабых возмущений истинную скорость сигнала приведет лишь к малым изменениям этих траекторий, а, следовательно, также к малым отклонениям распределения площади поперечного сечения А, (х) в (261) в зависимости от расстояния х вдоль лучевой трубки.

Эти изменения будут несущественными по сравнению с болыпнми изменениями величин в квадратных скобках в (261), которые определяютсн вдоль любой трубки лучей по линейной теории. Правильным подходом будет, следовательно, использование истинной скорости сигнала там, где сравнительно малан добавка к этой величине вызовет значительный кумуллшиеяьей эффект (посредством смещения волнового профиля), но яе там, где ее влияние) (за счет искажения лучей) остается относительно малым. Прн таком подходе к нелинейной геометрической акустике представляет интерес исследование потока энергии вдоль трубки лучей после той точки, где формирование ударной волны вызывает диссипацию.

Мы, однако, проведем здесь эти вычисления только для совершенного газа с постоянными удельными теплоемкостями и в асимптотнческом предельном случае, когда равенства (259) и (260) справедливы. Для этих равенств соотношение (245) между у, н и позволяет записать ~ ~ о, еег) = —,(у-~-1),'е,'(О) Н, Н= ~ ']и й), (262) где Н является мерой общего смещения вперед жидкости в импульсе, которое вь|числяется в начальной точке х = 0 трубки лучей. Опять, используя (245) вместе с (205), получим, что асимптотическое значение интенсивности сравнительно слабой ударной волны равно величине 2уе, (х)/ (у + 1), умноженной на (259); это дает выражение Р 27 [ео (х)(ео (О)[ [Ро (х'1~'к"о (О)] Х х~Н/(.~+1) ~ [Ро(х)/Уо(0)] с[х) (263) о определяющее зависимость аснмпт отического затухания[ ннтен сивности головной ударной волны вдоль трубки лучей от Н и от фуякцин (246). Продолжительность (260) треугольного импульса, следующего за этой головной ударной волной, опреде- 240 2. Одномерные еолны е жидкоетле .ляется аналогично: Й,-[Не1) е 1 /е( )/е(ая е.)е е(а).

$26е) Отметим, что при некотором фиксированном положении х избыточное давление ре в импульсе асимптотической треугольной формы изменяется линейно от ро(х)[о до 0 за время гр, а в каждый момент времени ноток волновой энергии через это сечение равен квадрату величины (261), Интеграл от этой величины по времени на интервале продолжительностью гр (т. е. общая волновая энергия, которую импульс проносит через сечение х) будет соответственно З еоРо (х) [) [Аа (х)6ра (х) ео (х)Н (265) что, согласно (263), (264) н (246), где р, (х) = у 'ро (х)с, '(х), равно д (У ' 1) ' Ро(0)еа(0)Ао(0)~~7'/~[[то(хИ'а(ОП а(х) 'о (266) Из этого следует что волновая энергия, проходящая через сечение х, является монотонно убывающей функцией от х.

Ее производная по пространственной переменной, ваятая с обратным знаком, 3(у- и (Н/ ~ [Уо(х)!Уо(0)] е(х) (267) должна представлять собой волновую энергию, диссипированную на единицу длины трубки лучей. Такая диссипацня может возникнуть только внутри ударной волны, где возрастание энтропии на единицу массы дается для слабой ударной волны, согласно уравнению (216), в виде со (уо 1)До Я12уо) (268) Умножив (268) на невозмущенную температуру 7'о(х), где с,То (х) = с,' (х)![у (у — 1)), получим диссипацию энергии за счет ударной волны на единицу массы жидкости; умножив эту величину на массу ро (х) Ао (х), приходящуюся на единицу .длины трубки лучей, получим диссипацию волновой энергии 241 а.И.

Неаикеакак геометрических акустика на единицу длины в виде (у+ 1) ра(х)~,'(х)А~(х)~'/(127~). (269) К нагпему удовлетворению использование формул (263) для р и (246) для Р,(х) показывает точное совпадение между (267) и (269) — выражений для этой дисснпацни на единицу длины, полученных двумя независимыми путями. В нзотермической атмосфере невозмущенная скорость звука является постоянной, что упрощает формулы, приведенные выше, не только потому, что с, (х) может быть заменена постоянной со, но н потому, что в этом случае все лучи являются прямыми лин нями.

Для прямых лучей распределение площади сечения тонкой трубки лучей с необходимостью подчиняется простому квадратичному закону Ае(х) д(у+хч, с+х4) Ае(0) д(у, с) 1, хд1) ду хдв/дс ) 1 +Лх+/хг =-! х дй/ду 1+х д4/дс где (е), Ь) является двумерным векторным полем проекций на поперечное сечение х = — 0 единичных векторов вдоль направлений луча, в то время как Л и / — значения дивергенцин этого поля дт)/ду + д ~/дг и якобнана д(е), й)/д(у, г) в начале координат соответственно. Асимптотическая форма импульса сжатия, возникающая прн смещении вперед на Н в такой трубке лучей, является импульсом треугольной формы, продолжительность которого, согласно (246), (264) и (270), равна ги ((";>+1) Н ~ (ро(х)/ро(0)) (1+Лх+/х ) с/х) /ст 'о (271) Он следует за головной ударной волной, интенсивность которой, согласно (263), равна Р- 27 (ро(х)/ро(0)) е/о (1 + Лх + ух') "" (Н/со(о) (272) Отметим дальнейшие упрощения, возможные в случае эффективно постоянной невозмущенной плотности.

Крайний случай этих упрощений возникает, когда, кроме того, / = — О, что дает линейный закон расширения площади сечения трубки лучей (см. (270)). Это характерно для распространения цилиндрического импульса, например импульса, который может быть. порожден взрывающейся проволочкой.

Продолжительность" Го асимпто ' ЕО-О11ОО о. Одноморыыо волны в гоидвоотпвг тического треугольного импульса при х-ы со дается формулой 8р (2 (у + 1)НЛ г ((1 + Лх)1/г — 1))г/г/с [2 (у + 1)НР/г (х/Л)'/о/со, (273) а интенсивность ударной волны в том же предельном случае 7 (2Н/(у + 1))НгЛ-1/ох-о/в (274) 'Таким образом, получаем интересный закон асимптотического затухания цилиндрических ударных волн, согласно которому интенсивность ударной волны обратно пропорциональна расстоянию в степени три четверти. (Заметим, что здесь не рассматривается особый случай, Л = у = О, когда лучи локально параллельны, поскольку, как установлено в равд.

Характеристики

Список файлов книги