Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Таким образом, мы игнорируем разрыв давления поперек поверхности раздела «воздух — вода», обусловленный поверхностным натя'кением. Позднее (в равд. 3.4) будет показано, что им поясно пренебречь прн рассмотрении всех волн, кроме «волн рябил (очень коротких). Безвнхревой поступательной части поля скоростей и — -- ~7ср отвечает в силу уравнения (4) поле избыточного давления, выражаемое, как н в теории звука, формулой Ре ' РадсР1дй (8) Тогда из (6) и (7) следует (дар'д1] ~ = — д~. (9) Зто условие являетсн сложным ввиду того, что форма свободной поверхности г = ь заранее неизвестна.
Однако в линейной тео- 259 З.а. Сигг17ооидальгеаге волна на глабокон воде рии зто условие упрощается и может оыть записано в виде (РО) поскольку разность между левымн частями уравнений (9) и (10) по теореме о среднем значении равна произведению малого возмущения," свободной поверхности и другой малой вслячппы, а именно значения второй пропаводной дагр,'дсдз в точке, расположенной меакду невозмущенной и возмущенной поверхностями (з = 0 н з -- ь).
Второе граничное условие связывает безвихревую поступательную часть поля скоростей н = ~7гр с соответствующим ей вертикальных| смещением а свободной поверхности. Скорость изменения величины ", определяемая движением частиц жидкости, равна вертикальной составляющей 77ы на поверхности: д;,'д1 - П тУ~ — [дгр,'да)е —; . В линейной теории уравнение (! 1) может быть упрощено как за счет отбрасывания в левой части копвективной составляющей пт7„являющейся произведением величин малых возмущеиий, так и за счет замены значения величин з правой части при з — с ее значением при з — О, как было сделано при выводе соотношения (10). Ото дает (12) дЬ,'д7 = [дгргдз), Соотношения (10) п (12) представляют собой линейные граничные условия на фиксированной границе з — 0 области з(Ог в которой должно быть справедливо уравпенне б!апласа (5).
Дифференцируя соотнопаенпе(10) по 7, можно исключить пз них" и получить граничное условие для потенциала скорости гр: дагргд[а =. — ддгр'дз прп з = О. ('1 3) Решениями уравнения (5) в области з( О, удовлетзоряющяхги граничному условию (13), будут поверхностные гравитационные волны. Смещение поверхности ь определяется через потенциал скорости ер пз соотношенпй (10) пап (12). 3.2.
Синусоидальные волны на глубокой воде Установив, что в рамках линейной теории поверхностных гравитационных волн задача сводится к решению известного уравнения Лапласа (5) для безвихревого течения несжимаемой жидкости при специальном граничном условии (13) яа невозлгу- 17* 3. Волны ыа воде 260 щенной свободной поверхности г =-О, изучим прежде всего решения, описывающие бегущие синусоидальные волны. Именно эти решения демонстрируют явление дисперсии — зависимость скорости волны от ее длины. С другой стороны, мы увидим, что влияние дисперсии часто приводит к необходимости рассматривать воамущения общего вида (несинусоидальные) и требует определения различных синусондальных составляющих его в некоторые последующие моменты времени в различных точьах.
Это, очевидно, тот механизм, под действиеи которого поверхность воды может локально принимать почти синусоидальную форму (однако в равд. 3.6 нас ожидают некоторые сюрпризы, касающиеся особенностей действия этого механизма). В данном рассмотрении предполагается, что искомое решение уравнения Лапласа в виде синусоидальных волн в заполненной водой области г( О удовлетворяет условию (13) па верхней границе г = О. Мы должны таки«е наложить подходящее граничное условие на нижней стационарной границе массы воды; для безвихревого течения этим условием будет стремление к нулю нормальной составляющей скорости жидкости, т.
е. производной' по нормали потенциала скорости 6~. Любое полученное таким обрааом решение для безвихревого течения дает, однако, ненулевое значение тангенциальной составляющей скорости на границе. В случае вязкой жидкости оно должно быть согласовано с точным граничным условием равенства нулю скорости жидкости на стационарной твердой поверхности посредством введения тонкого диссипативного пограничного слоя (равд. 2.7) мел'ду поверхностью и безвихревым потоком. Хотя в равд.
3.3 решения уравнения Лапласа в виде синусондальных волн строятся так, чтобы они удовлетворяли не только верхнему, но и нижнему граничному условию, а в равд. 3.5 изучается соответствующий вязкий пограничный слой, мы опишем сначала более простое явление — волны на поверхности столь глубокой воды, что точное граничное условие выполняется снизу автоматически, поскольку связанное с поверхностными волнами возмущение не может проникнуть так глубоко вниз.
Поверхностные волны такого рода называют «волиамя на глубокой воде»; для любого водоема с глубиной, превосходящей длину волны (как указано в равд. 3.1), нижнее граничное условие удовлетворяется. Это утверждение легко проверить, Потенциал скорости, описывающий распространение синусоццальной волны в положительном направлении оси х со скоростью волны с, имеет вид с~ = Ф (г) ехр (1ю (г — х(с)] =- Ф (г) ехр [1 (юг — )«х)), (14) 261 8.2. Синуеоидвльние волна нв глубокой воде где го и /е — угловая частота и волновое число, которые выражаются через период /р и длину волны Л = сгр так: ю = 2я//ю /г = ю/с = 2я/Л.
(15) Функция Ф (г) описывает аависимость амплитуды волны (возможно комплексной) от расстояния ( — г) вниз от поверхности. Выражение (14) (из которого, конечно же, ясно, что его действительная часть представляет собой потенциал скорости гр) удовлетворяет уравнению Лапласа (5), если Ф (г) удовлетворяет соотношению (16) Ф "(г) — /г'Ф(г) = О. Общим решением этого обыкновенного дифференциального уравнения является линейная комбинация решений е"' н е ю. Первое из них удовлетворяет граничному условию глубокой воды; возмущение, которое им описывается, становится все слабее и слабее в точках, расположенных далеко вниз от поверхности, где г отрицательно и велико. Действительно, на нижней границе, где г ( — Л, возмущение становится меньше, чем е '" = 0,00187, т.
е. пренебрежимо малым. Так что для волн на глубокой воде мы должны положить Ф(г) = Фоен', (17; где Ф, — постоянная (значепие Ф при г = 0). Член, содержа" щпй е "', должен быть исключен, поскольку он экспоненциально растет там, где г велико и отрицательно (превышая евн = = 535 на глубине, большей длины волны). Очевидно, вз (14) и (17) следует, что дгер/дгг равно — гоггэ, а дгу/дг равно /геу, так что граничное условие (13) на г =-0 дает следующее соотношение менгду частотой н волновым числом для гравитационных волн на глубокой воде: (18) Зто дисперсионное соотношение в силу (15) может быть также записано через скорость волны с в виде с = ог//г = (р//г)'/г = (вЛ/(2я))'/г.
(19) Такая зависимость скорости волны от корня квадратного из длины волны означает весьма существенное изменение скорости в представляющем интерес диапазоне длин волн. Величина коэффициента (р/2я)'/г равна 1,25 м'/г/с, поэтому если Л измеряется в метрах, с — в м/с, а период гр -— — Л/с в секундах, то из (19) получаем (20) с = 1,25 Лг/г, бр — — 0,80 Лг/г.
в. Вояка ва воде 262 длр~'дх .—.— — «йФ,еы ехр [1 (ю1 — йх)), длр!дг .=- йФ«еы ехр [л (со1 — йх)). (21) Они меняются со временем сипусоидально с оди.наневой а.вияитудои л«Ф«е4'. Эта амплитуда зависит, конечно, от координаты; как указывалось ранее, она экспоненциально убывает с расстоянием ( — х) вниз от поверхности. Однако в любой л)ликсироеанной точке осциллирующие составляющие вектора скорости, как видно иа формул (21), отличаются только фааами; горизонтальная составляющая дл(рдх отстает от вертикальной Тогда в диапазоне длин волн от 1 до 100 и, типичном для поверхностных гравитационных волн, скорость волны с изменяется от 1,25 и'с до 12,5 э«~с, а период гр — от 0,8 до 8,0 с. Более того, в равд.
3.4 показано, что поверхностные волны с длиной Х, принимающей довольно малые значения, вплоть до 0,1 м (прп атом с — -- 0,4 и,'с, гр — — 0,25 с), все еще являются почти чисто гравитационными (в том смысле, что эффект поверхностного натяжения остается для ннх очень малым), а волны с таким большим значением й, как 1000 и (прн этом с = 40 м1с, вр — — 25 с), в районах океана с глубиной в несколько километров все еще остаются волнамп на глубокой воде. Такни образом, спнусондальпые волны на глубокой воде представая«от интерес для большого диапазона значений скоростей и периодов. Сидя на берегу водоема, можно наблюдать следующнедруг за другом гребни волн с интервалом, ока'кем, около 8 с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
