Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 44
Текст из файла (страница 44)
37) аналогичные графики вависимости давления от р ' в процессах с постояняой энтропией всегда имеют обращенную вниз выпуклость. Следовательно, дополнительная часть продольного напряжения рд„являющаяся добавкой к значению, которое эта величина имеет для процесса с постоянной энтропией, и равная, согласно (193), бдр7дг, максимальна в середине ударной волны и падает до нуля на ее концах. Это определяет скорость, с которой плотность должна завершить свое изменение поперек ударной волны. Рассмотрим подробно случай малого относительного изменения плотности поперек ударной волны, когда соображения о малости возмущений (равд.
1.13), приводящие к (193), должны быть наиболее оправданными и когда можно с хорошей степенью точности на рис. 37 ваять в качестве прямой (207) отрезок АВ; по существу это возможно из-за того, что изменение энтропии на ударной волне (превращающее эту прямую в прямую СВ) пропорционально площади между отрезком АВ и кривой АВ, а эта площадь по порядку малости прн стремлении А к В пропорциональна кубу полного изменения плотности, тогда как дополнительное напряжение (193), т. е. превышение отрезка АВ над кривой АВ, остается значительно большим (порядка квадрата).
Таким образом, уравнение дчя р, в котором оставлены только квадраты возмущений, имеет вид бдр/дГ = (Уз — г,') (р, — р) (р — р,)!(р, — р,), (208) где правая часть равна расстоянию между прямой (207) и параболой, аппроксимирующей ту кривую с постоянной энтропией, которая пересекает ее в точках р = р, и р = р, и для которой дрор = с" ,при р = рв. Решение уравнения (208) для ударной волны с центром в точке х = с>г, а именно р рв = (р> ро) (1 + ехр [((>" — с,') (х — 5>г)>(5>б)]) ', (209) изобран>ено на рис. 39. 2.11. Простые сосны, содержащие оладии ударные солил 205 -ус -эвс уе се е а ааа у'-с,* Рис.
39. Распределение плотности (209) внутри слабой ударной волны,' обратите внимание на то, что 90ой увеличения плотности происходит между отмеченными точкаии, а это означает, что для данного а время возрастания плотности (210) чрезвычайно мало. 2.И. Теория простых волн, содержащих слабые ударные волны Взгляд на ударную волну как на разрыв, который распространяется в покоящийся воздух со скоростью волны У, значптельно большей„чем невозмущенная скорость звука со, установлен в равд. 2.10 для очень частного случая ударной волны, достигающей своей пошгой интенсивности немедленно, как только импульсное движение поргпня создает разрывный волновой профиль: ударная волна тогда остается по существу разрывной благодаря балансу между конвекцией и диффузной и сохраняет Этот результат демонстрирует чрезвычайную быстроту изменений в ударной волне: время возрастания плотности, определенное как время, на которое приходится 90% увеличения плотности в центральной части ударной волны, равно 66/(бгэ — с,') (210) (что при нормальных атмосферных условиях составляет величину порядка 10 эс, деленную на относительное возрастание плотности (о, — р,),'ро).
Обычно этот процесс является настолько быстрым, что только слагаемые 6, и б„обусловленные вязкостью н теплопроводностью, могут сделать свои полные вклады в 6 (равд. 1.13). Более важно то, что возрастание плотности завершается за такое короткое время и на таких коротких расстояниях (скорость волны, умноженная на время возрастания), что рассмотрение ударной волны в сущности как разрыва, удовлетворяющего уравнениям (203) — (206), пригодно для всех практических целей.
Я. Однсмернне саяна е жидкостях свою интенсивность до тех пор, пока поршень продолжает двигаться со скоростью иы согласукнцейся с постоянными условиями за ударной волной. Исследуем теперь возможность изучения значитольпо более общего типа распространения волн, когда искажение простой волны (равд. 2.9) происходит непрерывно вплоть до момента, при котором коэффициент наклона волнового профиля стремится к бесконечности, и диффузия может стать эффективной, способствуя формированию ударной волны, т.
е. по существу опять разрыва, по разрыва, интенсивность которого может возрастать до максимума по мере дальнейшего сдвига волнового профиля и затем усненъшатьсл, после того как поршень прекратит совершать работу над жидкостью. Для такого изучения необходимо иметь возмон'ность, используя соответствующие физические закояы, рассчитать движения жидкости, охватывающие области с постепенно меняющимися параметрами, разделенные подвижными разрывами. К счастью, для таких движений соотношения, которые выполняются на разрыве, остаются в сущности такими же, как и в равд.
2.10. Даже если интенсивность ударной волны и скорость могут меняться со временем, законы, определяющие скорости изменения массы, количества движония и энергии для жидкости, пересекаемой единицей площади ударной волны в каждый момент времени, по-прежнему имеют вид уравнений (195), (196) и (198), при условии, что индексы 0 и 1 в этих уравнениях заменены индексалеи а и Ь, отмечающими значения функций непосредственно перед ударной волной и за ней, и что в качество скоростей ударной волны У и нсвдкости непосредственно аа ней па выбраны скорости в такой системе координат, в которой скорость жидкости иа непосредственно перед ударной волной равна нул1о; таким обрааом, У и иь являются скоростями относитпельно движения жидкости непосредственно перед ударной волной. Из полученных уравнений можно опять вывести закон Гюгонио (199), который после этих изменений станет таким: (211) Еь йа= (Рь+Рп) (Ра РЬ ) ° Можно подумать, что соотношения, описывающие непрерывно меняющуюся часть движения жидкости, должны аналогично принимать форму уравнений простых волн, полученных в равд.
2.8 и 2.9. Однако такое утверждение не может быть вполне справедливо для области за ударной волной, так как выводы в этих разделах полностью основаны на предположении о том, что энтропия на единицу массы, Я, сохраняется постоянной. Это предположение пригодно для жидкости, не испытав- с.11 Лрастые ее*ни, содержащие слабые Лдармые ееааы 20 шей никакой диссипацни (например, находящейся перед ударной волной), но из уравнения (211) следует, что вся жидкость, через которую прошла ударная волна, претерпевает увеличение Ю, величина которого зависит от интенсивности ударной волны р = (рь — р,)/р,.
Соответственно ударная волна с переменной интенсивностью р должна оставлять за собой двиясение жидкости с непостоянной энтропией Я, где соотноп«ения простой волны не могут выполняться точно. К счастью, существует обширный класс важных волновых движений с участием ударных волн, где эти соотношения тем не менее выполняются с чрезвычайно высокой степенью точности, а именно те нз них, в которых ударная волна остается относительно слабой.
Мы отметили в конце равд. 2.10, что закон Гюгонио дает изменение энтропии на ударной волне порядка ра, если ее интенсивность [1 мала; причина этого в сущности та, что площадь между прямой линией АВ (рис. 37) н кривой оказывается малой величиной порядка куба расстояния АВ при уменьшении последнего. Поэтому слабая ударная волна может вызывать лишь пренебрея«пмо малые изменения энтропии.
Например, в совершенном газе с постоянной удельной тепло- емкостью с, энтропия (равд. 1.2) удовлетворяет уравнению Тс/$ = с(Е + рс/р ' = с,с/Т + рс/р ', где Т = р/(Вр), (212) которое с учетом (201) означает, что Я = с,[п(р/рт) + сопзИ (213) это находится в соответствии с уравнением (176), согласно которому величина р/рт постоянна, если Я постоянна. Изменение энтропии на ударной волне Яд — Я, используя (204) для отношения плотностей р„/р„можно поэтому записать как (Я вЂ” Я,)/ „= [п(1 + [)) — у[п ([27 + (у + 1) ~)/[27 + + (у — 1) [))). (214) Справедливость предположения о том, что изменение энтропии на ударной волне пропорционально р' при р -ыО, становится очевидной нз выражения (уа — 1) ра (1 + ~)-' [27 + (у + 1) р[-' [27 + (у — 1) р[-' (215) для пронаводной по [1 от правой части (214), которое, очевидно, ведет себя как (у' — 1) [)а/(4уа) при р -«-О, хотя при больших р оно растет более медленно.
Отсюда выводим, что изменение самой энтропии удовлетворяет соотношению (Яь — Я,)!сс- (у' — 1) [Р/(127') при ~ -~ О, (216) 2. Одномерные волны в жидкоотак 10 са 1О 10 10 а 10-а 10 г 1О В ОД1 0,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 2 5 10 р рис 40, цзменения энтропии Я и величины е — (()2) (т — 1)и в безразмерной форме (214) и (2(7) на ударной волне в совершенном газе с т = — 1,40, изображенные в логарифмических координатах как функции интенсивности ударной волны ().
Штриховые линии: соответству2ощие изменения в предельном случае при 6 — а О. т. е. пропорционально кубу интенсивности ударной волны, хотя при болыпих )1 оно растет более медленно. Рис. 40 подтверждает такое поведение изменения энтропии на ударной волне для атмосферного воздуха (7 =-- 1,40). Здесь построены как график вависнмостн от р точного выражения (214) для (Яз — Я,)/с„так и график зависимости предельного выражения (216), которое при 6 — и 0 превращается в 0,041 рз. Обе зависимости хорошо согласуются при малых )1, но при р = 0,5 точное значение (Яь — Ю,)1со достигнет только 0,0027, что составляет примерно половину значения, которое дает предельное выражение (216). Согласно уравнению (213), это означает, что огпибка при расчете давления по данной плотности с использованием иаоэнтропнческого уравнения (176) будет всего лишь 0,27%, если интенсивность ударной волны 2.11.
Простые ваены, содержащие слабые ударные волны 209 = 0,5, однако зта ошибка становится значительно большей при больтпих интенсивностях. Отсюда следует, что для течений, содержащих ударные волны, которые являются «слабыми» (в том смысле, что их интенсивность р меньше 0,5), ошибки, вносимые«предположением о постоянстве энтропии во всем потоке, могут быть весьма малыми, даже если малые изменения энтропии, изображенные на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
