Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. А„оо, с и, следовательно, У =-- Ао!(рос)) недостаточно; зги изменения еще должны быть гладкими в том смысле, что производная 1 ' тоже меняется постепенно. С другой стороны, любая функция х, отличная от У '1г, входящая в качестве множителя в (91), породила бы некоторый член с 1 в (107) и поэтому, вообще говоря, больший порядок ошибки. в.
Одномерныв волны в яендкоотях Всякий раз, когда р, задано согласно (91), уравнение (105) может быть решено для Х точно, что дает х .7 =- [У (х)/У (0)) ы ~ У (х) / (1 — ~ с ' е/х ) + о х + — су' (х) /, ~ С вЂ” ~ с ' е/х) 1, (109) о где е//,/ей = / (г). Поправка к грубому приближению Х = — Ур„ включающая /„ может быть, вообще говоря, существенной, так как ее относительный порядок больше, чем теоретическая погрешность (108). Она фактически дает зависящую от частоты мнимую часть локальной проводимости, так как когда / (г) пропорционально етые, отношение е/рв становится равным У (х) — 1 [с1" (х)/2ео]. (110) Однако, как показывает уравнение (66), эта мнимая часть локальной эффективной проводимости не влияет на постоянство потока энергии.
Итак, при условиях, обеспечивающих высокую точность (91), к которым относится постепенность изменения У, поток волновой энергии передается с хорошей точностью (что требуется, скажем, для рупора громкоговорителя). Напротив, разрыв производной У' (х) означает разрыв эффективной проводимости, что допускает отражение сигнала, которое можно рассчитать по формуле (47) из теории сочленений. В другом предельном случае, когда изменения поперечного сечения н состава компактны, а соответствующие градиенты очень велики по сравнению с ео/с, производные по времени з левых частях уравнений (104) и (105) становятся пренебрежимо малыми. Это подтверждает предположение, что пространственные изменения как избыточного давления р„так и объемпого расхода / невелики.
Относительная ошибка, возникающая, если взять р, не зависящим от х па длине 1, может быть оценена из (106) как, самое болыпое, величина порядка есЧЯ шах (с 'У)/ш1п (сУ), (111) которая близка к (ы[/с)Я вЂ” квадрату коэффициента компактности, за исключением областей, подобных сужениям (равд. 2.5), с большим отношением максимальной и минимальной площадей поперечных сечений. Промежуточное поведение, когда ю[/с не мало и не велико, может быть проиллюстрировано точным решением (106) для специальных распределений с (х) и У (х), дополняющим анало- й.б, Линейная тоария распространения еоян 161 гичное рассмотрение специальных случаев в равд. 1.11.
Рупор громкоговорителя энснонснииальноэо типа удовлетворяет условиям с = сопя«, У = У,сае (112) и применяется, чтобы достичь иаменения площади поперечного сечения настольно быстро, насколько это возможно без нарушения условия постоянства потока энергии, состоящего в малости (108). Для такого рупора уравнение (106) превращается в уравнение (113) д»ре/д/» = с' (д'р,/дх» + адр,/дх). Его решения, пропорциональные с«и', легко устанавливаются путем решения обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами и независимой переменной х.
Это приводит к выражению Р, =Р, ехр'[1«»1 — 1(ос 4 а ) х — — ах~ (114) 1»«М» для волны, распространяющейся в направлении возрастания х, в то время как уравнение (105) поаволяет найти соответствующее решение для Х, что дает Х/р, = У (х) [(1 — с»а»/4еэ»)'/« — 1 (са/(2ео))). (115) Заметим, что характер этих решений меняется, когда ю ( ( (1/2) ас и квадратный корень становится мнимым.
Для высоких частот решение (114) отличается от решения (91), пропорциональногоУ "/' ехр [1«о (1 — х/с)), как раэ на ожидаемую в силу формулы (108) малую величину порядка с»а»/ео». Заметим, однако, что для этого рупора аэ«н«итуда вообще пе проявляет отклонения от пропорциональности У '/», если только ее ) ас/2, т.е. а ( 2ео/с = 4я/Л. (116) Вернее, отклонение от (91) состоит в неболыпом увеличении скорости движения гребня волны от с до с (1 — с»а»/(4ю»)) г/»; мы не будем задерживаться здесь на следствиях из этого факта, хотя и вернемся к нему в гл. 3. Более непосредственное значение имеет изменение эффективной проводимости (115): ее мнимая часть в точности согласуется со значением (110), даваемым общей теорией, но представляет интерес то, что происходит также менее существенное уменьшение действительной части проводимости.
Поэтому рупор будет эффективен, только если условия (116) удовлетворены с существенным запасом; предельное значение ю = (1/2) ас фактически является «пороговой частотой», при которой действительная часть эффективнойпро- ы-оыоо 162 Я. Одкомериые волны в оеидкоотлк водимости падает до нуля, в результате чего, как следует из (66), рупор перестает передавать какую-либо энергию. Другой предельный случай — это когда короткий участок трубы с экспоненциальным увеличением площади сечения и с болыпим сох/оо образует компактное сочленение; тогда одно из двух возможных действительных значений — 1 (ео'с-'— — (1!4) се')мел в (114) становится близким к +(1!2) ах, что соответствует изменениям в сочленении при которых р, практически не зависит от х, в то время как другое значение указанной величины близко к — (112) ах, что соответсовует изменениям, при которых У практически не зависит от х.
'1аким образом, этот пример «экспоненцнальногоа рупора иллюстрирует низкочастотное поведение, характерное для компактных сочленений, а также демонстрирует на частотах выше пороговой реяеим с постоянным потоком энергии, который в основном и изучался в этом разделе. 2.7. Ослабление волны за счет трения Подобно введению в линейную теорию звука (гл. 1), настоящее введение в линейную теорию одномерных волн в жидкости заканчивается обсуждением диссипации волновой энергии и ее последствий; к ним относятся ослабление волны (постепенное экспоненциальное уменьшение потока энергии бегущей волны) и некоторые свяаапные с ннм явления в разветвленных и резонирующих системах.
Возможно, что механизмы диссипации энергии, описанные в равд. 1.13, могут быть вполне действенными для одномерных волив жидкости; в самом деле, если эта иден используется для описания распространения волны вдоль абстрактной трубки лучей, то указанные механизмы будут единственными. Однако з трубках нли каналах с твердыми степками значительно ббльшая степень диссипации энергии и, следовательно, ослабления волны может быть, кроме того, вызвана трением. В учебниках по динамике жидкости объясняется, что поскольку з безвихревых течениях на любой твердой границе обязательно существуют ненулевые касательные составляющие скорости жидкости, то такие течения могут приближенно изображать движения реальной жидкости, только если на твердой границе поместить тонкий вязкий пограничный слой.
Поперек такого слоя касательная скорость падает от значения, задаваемого внешним безвихревым потоком, до нулевого значения, соответствующего непосредственному контакту жидкости с твердой поверхностью. Завихренность 1е' является ненулевой в по- г.7. Ослабление еелни еа гнет тренин граничном слое, толщину которого можно определить так.
3авихренность, генерируемая на твердой поверхности, помимо конвективного переноса за счет движений в слое, имеющих в основном касательное направление, также днффундиру< т с коэффициентом диффузии ' = р7р* (117) равным отношению коэффициента вяакости к плотности (называемому кинематической вязкостью). Вязкие касательпыеиапряжения (раэд. 1.13) являются механизмом этой диффузии: онп также диссипируют энергию в пограничном слое и порождают силу трения между твердой поверхностью и жидкостью. Поэтому ослабление продольпых волн за счет трения в трубах или каналах с твердыми степками должно быть следствием вязкого замедления н свяаанной с пим диссипации энергии в пограничном слое, который отделяет безвихревые потоки, изученные в равд.
2.1 — 2.6, от твердых границ. Эти явления легко поддаются оценке, если, как предполагается в этом разделе, коэффициент диффузии (117) достаточно мал, чтобы пограничный слой был тонким по сравнению с размерами поперечного сечения. Хорошее общее представление о толщине пограничного слоя и других его свойствах в случае спнусоидальных колебаний с частотой го можно получить, рассмотрев большой объем жидкости в области г ) О, ограниченный твердой плоеной стенкой г = О и находящийся под действием градиента давления дре!дх в направлении х, нростронгтоенно однородного, но синусоидально зависящего от времени. Мы здесь пренебрегаем любыми изменениями плотности р и коэффициента вязкости (е, вызванными по предположению малыми изменениями давления или температуры. Движение жидкости, определенное этими условиями, является простым сдвиговым движением, в котором у- и г-составляющие скорости жидкости везде равны нулю, а х-составляющая и (е, г) зависит только от времени и от расстояния г до твердой стенки.
Вязкое касательное напряжение рае = — р ди/дг (118) представляет собой (равд. 1.13) поток х-составляющей количества движения в направлении г через единичную площадку за единицу времени. Другой ненулевой составляющей касательного напряжения является р,„, которая имеет то же самое значение, но не влияет на движение: только поток в направлении г может выавать изменения количества движения, посколь«у это единственное направление, по которому иамепяются пото- 11* о. Одиомериив волли в иеидиоеоеве 4З4 ки.
Действительно, вязкая сила в направлении х, действующая на единицу ооъема, есть взятык со знаком минус градиент от (118), дои/дгг (119) что представляет собой скорость изменении х-составляющей количества движения, вызванного различием потоков этой величины наружу и внутрь нгндкого элемента. Причины, приводящие к возникновению простого сдвигового движения, заключаются в том, что это движение удовлетворяет уравнению неразрывности ту и = 0 для течений с постоянной плотностью и что полная сила, действующая па единицу объема наждого жидкого элемента, — др,/дх + рдги/дгг (120) направлена строго по осн х и не зависит от х н у н поэтому может порождать только х-составляющую количества движения, величина которой не зависит от х и у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
