Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 64
Текст из файла (страница 64)
В гл. 3 рассматриваются изотропные системы, в которых (как мы увидим) энергия переносится под прямым углом к гребням. Если гребни образуют картину из концентрических окружностей, как в случае большого камня, брошенного в пруд, настолько глубокий, что на образовавшиеся волны не влияег непостоянство глубины, то энергия возмущения должна нереноситься от центра в радиальном направлении.
Тогда, как ска- д. Волны на воде вано ранее, самые длинные образовавшиеся волны (обычно в несколько раз более протяженные, чем камень) оказываются на краю расширяющейся концентрической картины. Чрезвычайно поучительно наблюдать эти крайние волны. Каждый, кто наблюдает (только очень внимательно) развитие одного из таких гребней, неожиданно теряет его из виду! Сначала это кажется обманом зрения, возможным результатом ошибки, связанной с идентичностью этого гребня со следующим за ним сзади, на который переносится теперь взгляд наблюдателя.
Но потом этот последующий гребень тоже исчезает! Тем временем следом идут широкие и быстрые гребни. Действительно, на внутреннем крае концентрической картины новые гребни получаются «из ничего», т. е. из успокоившейся теперь з центре воды. Неожиданность, с которой гребни довольно большого размера исчезают на внешнем краю картины, исключает постепенное затухание (равд.
3.5) как механизм этого явления. Правильное объяснение, как мы увидим, состоит в том, что гребни движутся со скоростью волны с, вдвое большей (для «волн на глубокой воде»), чем групповая скорость Г!, с которой переносится вперед энереия в волнах данной длины. Гребень каждой волны опережает, таким образом, в своем продвияеении связанную с ним энергию, так что такие гребни могут уцелеть, только эволюционируя в гребни более длинных волн. Это, однако, невозможно для волн на внешнем краю группы (так как первоначальное возмущение не производит анергии в волнах с большей длиной), и поэтому гребни здесь могут только исчезнуть.
В решении этих важных вопросов, касающихся групповой скорости, помогают по крайней мере четыре различных метода исследования. Мы отложим сейчас исследование с помощью двух уже упомянутых методов — анализа Фурье и метода энергетических потоков — до равд. 3.7 и 3.8 соответственно, отложим также еще более общий подход до гл. 4 и проведем в атом разделе достаточно простой анализ, который, по крайней мере в ограниченном числе случаев, укажет, каковы существенные свойства групповой скорости и как найти ее величину.
Простой анализ приемлем для изучения только той поздней стадии, когда, как описано выше, распространяющиеся от начального возмущения волны принимают вид протяженной группы гребней с постепенно меняющейся длиной волны (расстоянием между последовательными гребнями). Спрашивается, как меняется во времени это пространственное распределение гребней и длин волн. Метод связан в основном с изотропным распространением волн. Тем не менее он является в определенном смысле одно- 297 6.6. Введение е теорию грунноеой скорости мерным: исследуется пространственное распределение только под прямым углом к гребням.
Таким образом, в случае распространения изотропных воли в двух измерениях (скажем, волн на воде с концентрическими круговыми гребнями) с его помощью изучается радиальное распределение гребней и волн различной длины. Аналогично, с его помощью изучается радиальное распределение для сферически симметричного распространения волн в иэотропной трехмерной системе. Метод применим также в общем случае одномерной диспергирующей системы. Волны на воде могут сами образовывать такую систему, например, когда цепочка волн на воде с параллельными прямолинейными гребнями распространяется под прямым углом к линии гребней (возможно, вдоль канала).
Во всех этих случаях мы используем х в качестве координаты, отсчитываемой под прямым углом к линии гребней. В методе предполагается, что может быть определена фаза и, поскольку длина волны изменяется лишь постепенно (на малую долю ее самой от одной волны к последующей).
Фаза является величиной, значение которой на каждом гребне равно числу и, умноженному ва четное число, т. е. она равна 2пп, где целое и возрастает на 1 для каждого последующего гребня, проходящего через данную точку. Между гребнями фаза и меняется плавно; во впадинах, например, и равно числу и, умноженному на нечетное число. Скорость изменения и во времени равна величине 2п, деленной на период волны, т.
е. равна частоте ы, измеряемой в радианах в секунду. Фаза и зависит не только от времеви, но и от координаты х (расстояния в направлении вод прямым угломк линии гребней волн). В фиксированный момент времеви фаза и уменьшается вместе с х со скоростью, равной волновому числу /с и измеряемой в радианах на метр. (Так как /с =- 2п/)с, то это соответствует тому, что и умевыпается вместе с х на 2п между гребнями, отдаленными на расстояние )с; фаза и уменьшается, поскольку она была определена так, что гребнп, приходящие позже, имеют большее значение и.) Таким образом, сс (х, с) является функцией, удовлетворяющей соотно|пениям (88) ди/дх = — /с, ди/д/ = со.
Испольаование этой плавно меняющейся фазовой функции и (х, г) позволяет смещение поверхности воды представить в форме Ь = Ь, (х, г) ехр [[и (х, /)), (89) где Ьт (х, с) — положительная плавно меняющаяся амплитуда. В окрестности фиксированной точки хо и фиксированного мо- д. Волны но воде мента времени ~о фазовая функция почти линейка; действительно, а(х, 1) ж а(хо го) — йо(т †.то) + «оо(г ~о) (99) где — й, и «оо — значения производных в (88) в точке (хо, ~о). Тогда локально в силу (89) при медленно меняющейся амплитуде ~, получается, что ~ становится почти синусоидвльной волной (с волновым числом йо и частотой «оо), как и предполагалось ранее. Из (88) находим соотношение между волновым числом и частотой: дЫдт + д«о/дх = О, (91) ю = «о(й), (92) и предположим, что это дисперсионное соотношение, выведенное длн чисто синусоидальных волн, с хорошей точностью выполняется и для исследуемых здесь волн (которые локально имеют почти синусоидальную форму).
Подстановка (92) в (91) сразу дает дй/д~ + ПдМдх =- О, 7у = (у(й) = йойй ( 93) где величина (94) будет называться групповой скоростью. Уравнение (93) означает, что й постоянно вдоль кривых в плоскости (х, Г), удовлетворяющих соотношению дхЯг = У. Но если й постоянно, то и «' постоянно, так что кривые являются прямыми линиями х — ел'г = сопз1. (95) (Это рассуждение знакомо, конечно, по равд. 2.8 и 2.9.) которое можно трактовать как уравнение неразрывности для фазы, поскольку й — своего рода плотность фазы (фаза на единицу длины), а «о — своего рода скорость изменения потока фазы (фаза, переносимая через данную точку эа единицу времени).
Подстановка ю = йс, где с — скорость волны, делает соотношение (91) особенно похожим на гидродинамическое уравнение неразрывности (см. равд. 2.1, где рА соответствует й, а и соответствует с), и действительно, скорость волны иногда называют «фаэовой скоростью». Дисперсионкое соотношение для иэотропной системы определяет либо с как функцию й =- 2ЫЛ, либо (как в формулах (18) или (35)) «о = йс как функцию от й. Мы воспользуемся последней формулой, З.д. Введение в»ссорит вру»»овей скорости Рис. 60.
Изображение группы волн иа плоскости (х, «). Тонкие линии указглва»от траектории гребней волн, которые возника«от «из ничего» сзади группы и исчезают па фронте. Вдоль жирных прямых линий х — УГ = сопы длина волны Л = 2л% остается постоянной. Таким образом, основной факт, касающийся групповой скорости в рассматриваемом случае, уже получен. Как показано на рис. 60, волны данной длины 2п% находятся в точках, расположенных вдоль прямых, даваемых соотношением (95), и для каждой длины волны имеется своя прямая. По истечении времени 2 точка, в которой может быть обнаружена волна с этойдлиной, продвигаетсяна расстояние «с'с. Тот, кто воображает, что волны с длиной 2Ый наблюдались бы через время г на расстоянии су из-за того, что гребни движутся со скоростью с — — о»Ъ, не нашел бы их! Он нашел бы там волны какой-либо совершенно другой длины.
Если же он остановит взгляд строго на точке, движущейся с групповой скоростью сс' =- Йо/с»к, то обнаружит, что постоянно наблюдает волны одной п той же длины. В частном случае гравитационных волн на глубокой воде уравнение (99), связывающее о» и сс, принимает простой вид (18) и приводит к соотношению С вЂ” "с со!«Ус — с ((а с) «г с 2 (е~Л) — 2 («о 'с) 2 с (96) Таким образом, групповая скорость в этом случае имеет упомянутый выше удивительно простой вид: опа составляет половину скорости волны. 8. гголнн н«годс В противоположность этому в любой недиспергирующей системе скорость волны с не зависит от Ь. Тогда ог =- сЬ равяо величине Ь, умноженной на постоянную, и поэтому (97) К этим педнспергврующим волнам, для которых не существует различия между групповой скоростью и скоростью волны, относятся не только звуковые волны, но и «длинные» волны (с с = (уЬ)г!«) на воде постоянной глубины Ь.
Мы можем воспользоваться формулами из равд. 3.3 для общего случая гравитационных волн па воде постоянной глубины, чтобы установить переход от соотношения (96) для волн на глубокой воде к (97) для длинных волн. Дифференцируя (35), получаем 2со — „ь =а (ФЫР+ ., ), (98) так что (99) Эта зависимость изображена на рис. 61, а. Заметим, что 5'/с возрастает от значения 0,5 для глубокой воды довольно медленно и даже при значении длины волны 14Ь, использованном в равд.
3.3 как критерий «длинных» волн, групповая скорость все еще па 6% меныпе скорости волны. Другой подход к получению этих результатов основан на записи общего вырагкения (94) для 7/ с помощью соотнотпення между с = ог/Ь и Л --= 2я/Ь в виде Ю =-- г( (Усе)/г(Ь = с + /с г/с/с(Ь = с — Л с/с/г/Л. (100) (/ — Э((р-г7Ь«)мз)/ у 3 (,//) 3 с. 2 2 (101) Это означает, что, имея кривую зависимости с от Л, мы можем найти групповую скорость (/ для данного Л как ординату точки пересечения вертикальной оси координат и касательной, проведенной из точки кривой, соответствующей длине волны Л. Это построение показано на рис.
61, б, который по-новому характеризует постепенный рост г//с с увеличением Л. Из соотношения (100) следует еще и то, что для любых волн, у которых с уменьшается с увеличением Л, выполняется условие 6 с. Таким образом, для волн ряби «на глубокой воде» (рис. 56) групповая скорость превышает скорость волны, когда Л ( Л . Действительно, для «капиллярных волне (волны ряби с Л (( Л ) из (57) следует, что З.д. Введение в теорию грулловоп скорости з04 Ло О,ь 4 3 12 1Б 20 х/ь до с-ь»вЂ” Рвс. б!. а — зависимость отяошеиия групповой скорости бг к скорости волны с от отяошзяяя длины волны к глуояяе Л/Ь. д — общее геометрическое построение для определения У из графика зависимости е от Л иллюстрируется здесь для случая гравитационных волн. Это озяачает„что скорость распространения знергии капиллярных волн данной длины превышает скоростьсгребнейв3/2раза.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
