Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Легко, однако, выработать видоизмененную теорию в предположении, что затухание имеется, но мало (как для больгпинства волн на воде). Результатом будет то же выражение (123), но с дополнительным множителем, описывающим рассеяние волн с волновым числом Йо за время д Действительно, если ехр ( — со ()е)) — такой дополнительный множитель, дающий уменыпение за время с амплитуды волны вида (102) с волновым числом )е, то этот множитель должен быть включен в интеграл (106), даже если формула (10с) для начального возмущенвя остается неизменной.
Тогда анализ асимптотнческого поведения интеграла (110) проводится с сохранением фазы ььр (Й) в подынтегральной функции, но с заменой амплитуды Р (А) на Р (й) ехр ( — со (се)]; конечным результатом будет выражение (123) с такой же заменой для Р ()с). Тогда фаза цепочки волн не отличается от фазы (126), но формула (125) для амплитуды заменится на такую: ~д(х~р) (Р()ео) ) (ехр ( еп()ео)) ) [2п!(1)ьо (/со) ()) ! (129) Все результаты этого раздела могут быть доказаны соверспенно другим способом с использованием теории функций действительного переменного.
Идея состоит в замене переменной интегрирования в интеграле (110) на ьр, так что интеграл становится преобразованием Фурье от Р()е)е)ЫЫьр относительно вр. Здесь используется общая теория асимптотнческого поведения преобразования Фурье, для того чтобы это преобразование асимптотически выразить суммой членов, соответствующих точкам сингулярности функции Р (7е) ЫюЫф, в которых есфlессе = О. 8. Волны на воде Однако в атом разделе принято доказательство, основанное на теореме Коши, так как в ней используются более доступные понятия, нежели понятия общей теории. 3.8.
Скорость переноса энергии Согласно результатам двух последних разделов, групповая скорость С()е) = йо/еУс Е„= ~ Сь'йх, (130) где множитель С' не должен зависеть от х для однородной системы. (Например, для гравитационных волн, движущихся в канале ширины Ь, будет С =- ряЬ, так как энергия волн на единицу площади составляет удвоенную потенциальную энергию, вычисленную по формуле (24).) Соотношение (107) для начальной формы волны дает, таким образом, по теореме Парсеваля формулу в Я = С 1 [)(х))гдх= правая часть формулы (131) является интегралом от четной функции от и, так как в силу соотношения (112) Р ( — ег) есть комплексно сопряженная для г' (Й).
является скоростью переноса энергии в волнах с волновым числом Й. Такая интерпретация основывается на представлении о том, что в системе, описываемой линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, энергия не может передаваться от одной части спектра к другой. Поэтому траектория вида (95), в точках которой находятся волны с волновым числом Й, дол;кпа быть траекторией, вдоль которой переносится энергия волн с этим волновым числом. Формула (129) основательно подтверждает эту гипотезу. Для любой распространяющейся волны, описываемой липейныьпи уравнениями, полная энергия волн Га должна зависеть от квадрата возмущения и иметь вид 8.8. Скорость нереноса энергии Формула (131) оаначает, что энергия волн с волновыми числаьмл, заключенными межДУ й„и йо + ьлй, после Умножениа на множитель затухания ехр [ — 21а (й„)! будет равна лС ! Р (й,) [г ехр [ — 2го (й,) ! 5(й. (132) Коли эгпа энергия в оснменпошическом смысле сосредоточена в интервале от х — гьо' (й„) до х = гол' (й, + 1Ус) длиной !гол (йо) иь (йо + дй) ! ~ [01 (йо) ! дй (1 33) то на единицу длины приходится энергия лС [Р(й„)[г (ехр [ — 2го (й,)!)1(г!ыь(й,)!).
(1;14) Но в силу (130) энергия на единицу длины равна умноженному на С среднеквадратичному значению Р нллл (1!2) С~,' для синусондальных волн с агшлитудой ьл. Сравнение этого выражения с (134) дает ь1 — — !Р(й„) ! (ехр [ — 21с (й,)[', [2ль(С[ьоь(й„) !))151, (135) что полностью согласуется с формулой (129) и довольно серьезно косвенно подтверждает энергетическую гипотезу! Более того, простая теория из равд.
3.6 может быть расширена н на неоднородные системы, а результаты все еще будут согласованы с представлением о том, что У является скоростью переноса энергии. Рассмотрим, например, уже упомянутые в равд. 3.3 волны, распространяющиеся на воде умепьшакнцейся глубины. Предположим, что глубина Ь уменьшается настолько медленно в маслптабе длины волны, что днсперсионное соотношение (35), полученное для случая воды постоянной глубины Ь, служит хорошим приближением в каньдой точке с локальным значением Ь.
Предположим далее, что Ь = Ь (х), так что глубина меняется только в перпендикулярном гребням направлонилл. Тогда (35) принимает вид неоднородного днсперсионного соотношения (136) оь = ьо (й, х). Для любой системы, в которой справедливо соотношение типа (136), определим групповую скорость как нечто, связанное со свойствами волны при фиксированном х: (137) У(й, х) = даь(й, х)ьгдй. Теперь мы, очевидно, не можем вывести уравнение (93) для й. из уравнения (91).
Однако можно, умножив уравнение (91) 614 8. Волны ка воде на (7 и использовав тот факт, что Удод( = дсо/д~ (136) (так как л сохраняется постоянным в обеих зтих производных по времени, а также в частной производной (137)), получить дю!д8+ У дю/дх = О. (139) Уравнение (139) означает, что ю сохраняется неиаменным вдоль траекторий на плоскости (х, Г), удовлетворяющих равенству Их/(М = С7, (140) хотя в неоднородном случае этн траектории и не являются, вообще говоря, прямыми линиями (рис. 64), так как иа уравнений (136) и (137) мы не можем сделать вывод, что или Г, или к постоянны вдоль траекторий.
Иаменение скорости 0 моекет быть проще описано, если мы перепишем (136) в виде й = й (ю, л), выразив волновое число через частоту. Тогда 0"-г = дй(ю,л)!дно, (141) так что траектории (140), на которых ю постоянна, могут быть рассчитаны по формуле 4=(о(ю)+ ~ 0' 'сЬ=(е(ю)+ ~ (д)с(ю, л)/дю) дх, (142) о Ъ где Ге (ю) — момент времени, в который волна с частотой проходит через точку х =- О. Изменение к представляет собой спреломление» в неоднородной среде. Иллюстрация етого была дана в равд. З.З, где урав- т :Рис. 64.
Явление дисперсии в неоднородной среде изображено иа ллоскости (с, е). Траектории (140) явлюотся кривыми, вдоль которых чостота ы остается постояввой. 8.8, Скорость переноса экереии 315 2с ~ ~ — р(дср1дх)е] дз, (145) кение (40) использовалось для того, чтобы показать, как волны на глубокой воде с периодом 8 с уменыпаются по длине от 100 до 25 м, когда глубина воды постепенно уменыпается до 1 и. Однако даже для пространственно неоднородной системы в общей теории малых нормальных колебаний предполагается, что не может быть обмена энергией между модами различной частоты.
Поэтому заключение о том, что ы принимает постоянное аначение в точках, движущихсн вперед с групповой скоростью 7У, согласуется с представлением о том, что с1 явлнется скоростью переноса энергии синусоидальными волнами. Теперь мы проверим эту гипотезу прямым вычислением для синусоидальных гравитационных волн с постоянным волновым числом 1с, распространяющихся по воде постоянной глубины 1г. При исследовании дисперсии эти вычисления уместны, поскольку в группе диспергирующих волн волновое число меняется настолько постепенно, что скорость переноса энергии должна быть локально близка к величине, вычисленной при постоянном 1с. В теориях, подобных только что рассмотренной, предполагается, что глубина 1е изменяется настолько постепенно, что локальные свойства волн близки к свойствам волн при постоянном Ь.
51ы вани|нем приходящийся на единицу длины гребня поток энергии через вертикальную плоскость х = сопэс в направлении движения гребней в виде о ~ р, (дср1дх) сЬ, (143) -'л где р, — избыточное давление пз формулы (8), а дср1дх — составляющая скорости в положительном направленип оси х. Интеграл (143), представляющий собой мощность, с которой вода, расположенная в области х ' О, действует на воду, расположенную в области х ) О, имеет, кан и ожидалось, порядок квадрата от возмущения, тогда как любым дополнительяым интегралом от з =- 0 до г = ь (высоты свободной поверхности по отноженикэ к ее невозмущенному положению г =- 0) можно пренебречь, как величиной третьей степени от возмущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
