Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Наиболее очевидный способ убедиться в атом основан на таком доводе: в системе отсчета, в которой корабль покоится, мы имеем обтекающий его стационарный поток воды с невозмущенной скоростью Г, и любые гребни волн в этом стационарном потоке должны быть неподвижны. Условие (183) может быть, однако, выведено так же,как эквивалентное условие для излучения звука сверхзвуковым самолетом (равд. 2.14) было выведено из рассмотрения стационарной фазы: фаза сигналов,излученных кораблем в последовательные моменты времени, стационарна в точке Р, если составляющая скорости корабля Г соз 0 в направлении к Р равна скорости волны.
В случае любых недиспергируюп!их систем (с фиксированной скоростью с), включая акустические, условие (183) при $') с определяет единсоь»«имое направление излучения. Теоретически недиспергирующая система может иметь место для корабельных волн в предельном случае «длинных волн», когда все излученные волны очень длинны по сравнению с глубиной воды Ь. Практически, однако, длина волны должна составлять (см. соотношение (38)) по меныпей мере 14я, и оказывается невозможным рассматривать на воде глубины й настолько длинный корабль, чтобы он порождал волны длиной 14й и более! д.
Волам яа еод» Рис. 67. Волны с постоянной скоростью е, зоаникшие в волковой кювете при движении маленькой модели корабля со скоростью )е. Волны излучаются нод фиксированным углом 6, который определяетсн фармулон ((63). Жирная линия: волна, которая возникла тз секунд назад, когда модель была на расстоянии )егз сзади. Пунктирная анния; геометрическое ыесто точек всех таких волн. (Заметим, что треуголышк с помеченными углами долзееа быть прямоугольным, так как з силу формулы ((83) соз О есть отношение катета к гипотенузе.) С другой стороны, волновая кювета, имеющая глубину 3 мм (равд.
3.4), является весьма пригодной для демонстрации единственности направления излучения по формуле (ЫЗ) педнспергпрующих волн, возбужденных моделью корабля длиной около 50 мм, который движется со скоростью около 0,30 м(с по кювете (скорость волн ряби здесь составляет около 0,22 и'с).
Прп этом воапикает почти прямолинейный, подобный «сверхзвуковоьгу ударуь сигнал, бегущий от модели под углом (183) по обеим сторонам ее траектории движения через кювету. Действительно, заметим, что в любой момент времени та часть волны, которая возникла гз секунд назад, продвинулась на расстояние с(з в направлейии, определяемом формулой (183), тогда как модель прошла расстояние )гг .
Таким образом, с помощью простого"построения определяем (рис. 62), что зта часть волны рас- ЗЗЗ 3.10. Кар«зеленые оолны полагается па прямой липин, проведенной к модели под углом (112) я — О (известным в аэродинамике как угол Маха). Для корабельных воли намного более интересен другой предельный случай (волн на глубокой воде), так как обычно ллпиа корабля, двпокущегося по воде глубины й, такова, что он создает только волны с ) ( 3,3 )е. Для таких волн выполяястгя (сть условие (37)) простое дпсперспонное соотношение с = (ф,l(2л))'о«, Для таких днспергирующих волн соотношение (183) показывает, по волны с различной длиной Х (и следовательно, с различной скоростью с) движутся в различных направлениях, определяемых углом О. Однако можем ли мы заключить, что так же, как на рпс. 67, в каждый момент времени часть волны, возникшая 1з секунд назад, прошла со скоростью с расстошгпе о1в в направлении под углом, определяемым формулой (183), тогда как корабль прошел расстояние Г1« от А до В (рпс.
68,а)? Если да, го волна находится в точке (скажем) С„плп Са ялп С„п и каждом случао угол АСВ прямой (что необходимо. если и АВ соз О =- 1'Г. со О. и АС имеют одни и то же значение с1„). В силу известного сиойства диаметра окружности геометрическим местом точек С, таких, что АСВ образует прямой угол, является окружность с диаметром АВ (рис. 68,а). Каяедый прочитавший четыре предыдущих раздела. иесомнеппо, ответит на поставленный в последнем абзаце вопрос решительным «нето) Такой читатель знает, что за 1« секунд энергия, вкладываемая в волны, имеющие скорость о, не переносится па расстояние сГ«, она переносится па расстояние Ухз, где У вЂ” групповая скорость. Для волн на глубокой воде У = ((ее2) о; следовательно, вся энергия волны, произведенная Гз секунд назад, переносится точно на половину расстояния, указанного на рис.
68,а. Действительное место сосредоточения энергии волн получится поэтому (рис. 68,6), если мы с коэффициентом 1/2 сожмем в направлении точки А найденное ранее геометрическое место точек (окруж~ость с диаметром АВ). Опо становится окружностью с диаметром АВ, где 0 — середина отрезка ЛВ, а волны находятся в точках (скажем) Е„илн Ем илн Е„на полпути до точек С„или С«, или Сз, которых они дога«иглы бм, если бы энергия переносилась со скоростью распространения гребней. Волны, находящиеся в Е„распространяются под относительно малым углом О к направлению движения корабля и имеют относительно высокую скорость волны с = «е соз О, а следовательно, являются более длинными в картине волн, тогда как Граница енина Кальвина Граница наина Кеньзина Рлс.
68. Волны на глубокой воде, созданные кораблем В. Случай аг положения С„ Сз, Сз волн, созданных 1а секунд назад (когда корабль был в точке А), если бы нх энергия переносилась на расстояние сз . Случай б'. действительные положения Ем Е,, Ез этих же воли. полученные с учетом того, что пх энергия переносится на расстояние только (1,'2) ггн. В каждом случае показана зависимость длины волны от направления излучения, которая следует вз формулы (183). Окружность с дйаметром АР является геометрическим местом точек нсех таких волн. На других таких окружностях с днаметрамн АОЕ и А"Р' находятся теперь волны, возникшие тогда, когда корабль был в точках А' и А". Все такие окружности лежат внутри клина Кельвнна с углом полураствора, даваемым формулоп (184). 3.30~ Корабельные волны 333 волны, находящиеся в Е„имеют меньшую скорость с и иного меньшую длину Х = 2ясг/д.
В каждый момент времени полная картина корабельных волн охватывает волны, созданные во зсе предыдущие мгновения. Те волны, которые были созданы, когда корабль находился в каждой конкретной точке А, А', А",... своего пути, лежат на скруп~настях с диаметрами АП, А'О', А"П",..., где П, П', Р",... находятся точно на полпути до В, настоящего местополоя;ения корабля. Касательная к окружности диаметра ЛП, проведенная через точку В, образует с траекторией корабля угол агс з(п (1/8) = 19,5', (184) поскольку ВП = АП, так что центр этой окружности удален от точки В па расстояние трех радиусов (1/2) АП.
Полная картина распределения волновой энергии, охватывающая все окружности, лежит поэтому внутри клина (клин корабельных волн Кельвина) с углом полураствора 19,5'. Все окружности, показывающие распространение энергии волн, возникающих в различные моменты времени, касательны к этому клину. Волны на границе самого клина (например, в точке Е,) распространяются под углом 2 ~ 2 и асс з)п ( 3 ) ~ (185) к траектории корабля со скоростью волны с = 0,816 Р и длиной волны, равной двум третям от максимальной длины волны 2л)га/д. Эти граничные волны (их гребни составляют с траекториея корабля угол (1/2) я — 9 = 55') видны на картине волн наиболее отчетливо, поскольку внутри клина наложение более длинных (таких, как в точке Е,) и более коротких волн (такпх, как в точке Е,) может образовывать сложну|о структуру. Исключения из сделанного утверждения могут возникнуть в случае, когда длина корабля 1 велика гго сраьнению с Уг/д. Как показано для более простого случая в равд.
8.9, движение корабля порождает волны преимущественно с теми длинами, которые преобладают в раззок;епии Фурье произведенного им возмущения воды, а они оказываются величинами того же порядка, что н длина корабля й Если последняя велика по сравнению с Р/д, то в картине волн должны преобладать те из них, которые имеют длину, близкую к максимально возможной 2я)г'/д, и движутся под лгалмлги углами к траектории корабля. Еще одно исключение появляется, когда 1 мало по сравнению с )га/д, как в случае быстроходного катера. Тогда в картине д.
Вовик ка воде волн преобладают те из них, длина которых много меньше максимальной 2пУЧд. Это волны, распространяющиеся под большим углом к траектории корабля, т. е. подобные волнам, находящимся в точке Ее, зребни которых образуют малые углы с траекторией. Сделанные вылив замечания говорят о том, что природа картины волн решающим образом зависит от отношения УЧ(г(), (186) часто называемого числом Фруда.
В случае малых чисел Фруда могут преобладать более длинные волны с почти перпендикулярными к траектории корабля гребнями, а в случае больших чисел Фруда — более короткие волны, гребни которых образуют малые углы с траекторией корабля. С другой стороны, для широкого диапазона промежуточных значений числа Фруда может быть хорошо видна полная клинообразная картина волн, а наиболее заметными являются гребни, находящиеся на ее границе и образующие с траекторией корабля угол 55'.
Вывод о том, что картина корабельных волн зависит от числа Фруда (186), имеет большое практическое значение. Он означает, что при разработке новой конструкции корпуса корабля хорошая оценка Рв — мощности, необходимой для создания корабельных волн,— может быть сделана в результате зкснериментов с уменьшенными моделямн, имеющими форму корпуса. Для геометрически подобной модели корпуса с длиной, сокращенной во много раз по сравнению с 1, число Фруда (186) будет тем же самым (т. е.
будот давать геометрически подобную картину волн), если Уе уменьшено в такое же число раз (скажем, при движении измененной в масштабе 1/100 модели скорость уменьшается в десять раз). Такое же заклзочение получается с помощью формального метода теории размерностей. ~Чощпость Рк, расходуемая геометрически подобными моделями длиной 1, движущимися со скоростью У, на создание картины грпвитапиояных волн на глубокой воде с плотностью р должна зависеть только от 4 переменных: 1, У, д и р. Позтому отношение Р„~(р У'Р) (187) является безразмерной величиной, зависящей только от этих 4 переменных, Согласно теории размерностей, каждая безразмерная величина, зависящая только от этих 4 переменных, должна быть функцией любой одной безразмерной величины, поскольку 4 — 3 = 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
