Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Избыток плотности частицы над плотностью окружающей вкидкостк равен поэтому разности между (7) и (5), а именно ( — рв (г) а [св (г) Г' — р,' (г)) -". ° (8~ Умножение этого выражения на д дает избыток веса частицы над выталкивающей силой на единицу объема жидкости; иначе говоря, гравитационная восстанавливающая сила равна ( — рв(г) а [во(г)Г' — р,'(г)) а~. (9) Это простое рассуждение показывает, что гравитационная устойчивость не обеспечивается просто требованием р,' (г) ( О, как в (5); восстанавливающая сила (9) положительна только тогда, когда Р (г) ( — Рв(г) 5' [св(г)1 г. ((О) Таким образом, стратифицированная атмосфера или океан устойчивы только тогда, когда относительная скорость умень- шениЯ плотности с высотой — Ре(Рв пРевосхоДит дозе.
Более полное обсуждение этого важного условия устойчивости содержится в равд. 4.3. о.г. Введение в теорию внугиренних гравитиэионних воен Когда условие (10) для устойчивой стратификации выполняется, восстанавливающую силу на единицу объема (9) можно записать в виде ро(г) [Лг(г)Р ь, (11) где положительная величина Л'(г) с размерностью частоты определяется формулой Л(г) = ([ дРо(г)/Ро(г)) — до [со(г)) г)')о. (12).
Очевидно, что потенциальная энергия и обобщенная жесткость (каждая на единицу объема), связанные с этой гравитационной восстанавливающей силой (11), соответственно равны ~ роф[Л'(г)Рог н ро(г) [гу(г)Р. (1З) Легко видеть, что величина Л'(г), которую часто называют частотой Вяйсяля — Брента, представляет собой своего рода максимальную частоту колебаний под действием силы тяжести. Это видно нз того, что прн вертикальном перемещении ь, рассматриваемом как обобщенная координата, обобщенная масса имеет минимальное значение р, (г) на единицу объема.
Этот мннимум достигается в том случае, когда колебания чисто вертикальны, а кпнетнческан энергия на единицу объема составляет —,, р,(г) (д~/дг)г. (14) Любые горизонтальные компоненты в движениях должны просто добавлять соответствующие слагаемые к кинетической энергии (14).
Это увеличит обобщенную массу до значений, превосходящих р, (г), и уменьшит квадрат частоты, т. е. велнчопгу гог (отношение обобщенной жесткости к обобщенной массе), до значений, меньших [Л' (г)Р. Например, прн колебаниях, таких, что все движения жидкости направлены под углом О к вертикали, обобщенная масса будет равна ро (г) зес'О, а частота, следовательно, должна быть равной ю .=- Лг (г) соз О. Полная корректность этих предварительных заключений будет показана в два этапа. На первом этапе используются уравнения движения в приближенной форме, принадлежащей Буссинеску.
В этом случае предполагается, что для внутренних гравитационных волн так же, как и для поверхностных гравитационных волн (равд. 3.1), можно упростить уравнение неразрывности, пренебрегая сжимаемостью. На втором этапе, о котором пойдет речь в равд. 4.2, используются полные урав- 4. Внутренние волам збг пения для сжимаемой жидкости и поэтому допускается возможность существования как звуковых, так и внутренних волн; с другой стороны, доказывается, что они распространяются незавнсигю прп некотором условии (уже указанном в конце равд. 1.2), которое обычно выполняется.
В этом разделе мы ограничимся исследованием, основанным на приближении Буссинеска. Смысл его состоит в том, что, хотя избыточная плотность (8) и создает значительную гравитационную восстанавливающую силу (9), которая должна быть учтена в уравнении количества движения жидкости, возникающие в результате колебания происходят со столь низкой частотой, что влияние скорости изменения избыточной плотности на уравнение неразрывности будет пренебрежимо малым. Если р, н р, обозначают избыточное давление р — ро и избыточную плотность р — р„то уравнение количества движения в линеарнзованной форме имеет внд Родю дг + а/Ре = Реете (16) где вектор ускоренпя силы тяжести д=(0, О, — я) направлен вниз.
Эта форма уравнения получена уже с учетом уравнения гндростатнческого равновесия ауро =- рой. Если пренебречь членом дре/д8 (как обсуждалось выше), то уравнение неразрывности примет вид (17) 'ч" (роп) = 0 Выписывая дивергенцию от (16) и используя (17), мы получаем (18) оУгРе = — д дРе/дг Если теперь обозначить через д направленную вверх составляющую потока массы (т.
е. составляющую вектора рон по оси г), то нз уравнения (16) будет следовать равенство дд/дг + дде/дг = — древ а из уравнений (18) и (19) мы получим, что (19) С/г (дц/дг) = ударе/дгг — гт/гр = — д (д'р,/дгг+ даре/дуг). (20) Заметим, что правая часть уравнения (20) положительна в тех точках данного уровня (при фиксированном г), где р, имеет локальный максимум. Следствием такой локальной положительности значения ~/г (дд/дг) является отрилательмость в соседних точках значений самой производной дд/д8, т. е. появление направленных вниз ускорений, которые и следовало ожидать в окрестности максимума избыточной плотности.
4.1. Введение в теорию внртрвниих вравитаиионних воен 333 К тому же значение (8) для избыточной плотности р, вместе с определением (12) функции Л' (г) дает андре/д/ = [Л'(з))' ро(г) д ~/дг = [Л'(г)[а д; (21) поэтому, согласно (20), теа (д'-д/дР) = — [Лн(з))а (д'-е//охи+//'-д/дуа). (22) Мы получплп интересное уравнение в частных производных для восходящего потока массы в/. Его анизотроняый характер очевиден из-за появления не только трехмерного оператора Лапласа т7а, но и двумерного оператора Лапласа д'/дхз -н д'/ди'. Мы отложим до следующих разделов пзучеяпе решений уравнения (22) с функцией Л' (з) общего вида, а пока заметим, что в случае, когда Л (з) не зависит от г, это уравнение имеет решения в виде простых плоских волн, а именно в виде в/ = в/, ехр [1 (еэ/ — /ех — /у — тг)[, (23) где воз = Л з (/ез + Р)/(/Р + Р + тз).
(24) Зто волны, гребни которых и другие поверхности постоянной фазы являются плоскостями йх + /у + впг = сопз$, перпендикулярными волновому вектору (/е, о, т). Уравнение (24) показывает, как и предсказывалось раньше, что частота ео такой волны самое большее равна Лг. Действительно, на рис. 72 видно, что уравнение (24) в точности согласуется с результатом ю = Ле соз О, данным в (15).
Из уравнения неразрывности (17) следует, что в решении типа плоской волны (23) вектор скорости н перпендикулярен волновому вектору (/ч /, пг). Зто означает, что все движения жидкости происходят параллельно поверхностям постоянной фазы. Мы можем, однако, сказать и больше: все колебательпые движения жидкости происходят вверх и вниз в направлении самого крутого подъема на такой поверхности постоянной фазы.
Зто объясняется тем, что в силу уравнения (16) вектор роди/о/ компланарен с волновым вектором (направление (ер,) и вертикалью (направление роя); иначе говоря, хотя градиенты избыточного давления, перпендикулярные к поверхности постоянной фазы, и могут объединиться с вертикальными гравитационными силами, чтобы сообщить жидкости ускорения, параллельные этой поверхности, они должны иметь направление самого крутого подъема. Поэтому плоские волны включают в себя однонаправленные колебания жидкости под углом О к вертикали, где з[п О = [ т [ (/аз + Р + та) "а.
(25) 334 4. Внутренние волна И,бю7 Рнс, 72. Из уравпевия вераарывиости следует, что дввжеввя каждой жидкой частицы А в сивусовдальиой внутренней волне доля~вы быть первевдикулярвы волвовому вектору (й, Д ю) в происходят поэтому иа поверхностях постоянной фазы. Результирующая сила, действующая ва жидкость, является сумыой вертикальной гравитационной силы ВВ я силы ВС, обусловленной градиентом давления в перпевдикулярвой поверхвостям постоянной фазы.
Поэтому вх равнодействующая ВЕ может сама лежать ва этих поверхяостях, во должна действовать вверх вли вввз в вапраэленни самого крутого подъема. При этом уравнение (24) согласуется с результатом (15), полученным иэ рассмотрения обобщенной жесткости и обобщенной массы для колебаний, происходящих под указанным углом О.
Приведенный выше геометрический вывод легко проверяется вычислением р, и р,п иэ (21), (18) и (16). Это дает р, = — ют (кэ + )э) то,ехр П (ю1 — йх — 1у — тх)) (26) и р,п = [ — йт (й'+ (э)-г, — Хт (й' -[- (э) ', 1) д, ехр П (юс— — йк — Ху — тх)!, (27) где вектор и перпендикулярен волновому вектору (7с, 1, т) и компланарен с ним и с направлением х.
Тот факт, что ре и и совпадают по фале, означает, что волны создают ненулевой поток волковой энергии / 1=р.п=(р — р)п. (28) Мы внаем иа равд. 1.3, что для эвуковых волн такой поток волновой энергии (28) называется акустической интенсивностью 355 я.х. Объединенная теория звуковых и внутренних волн и, подобно скорости частицы и, направлен под прямым углом к гребням (поверхностям постоянной фазы). Наоборот, для внутренних волн скорость частицы и параллельна поверхностям постоянной фазы, так что н поток волновой энергии (28) должен быть также направлен параллельно поверхностям фазы. Этот неожиданный результат будет подтвержден в следуюгцем разделе, а многие иэ его следствий предполагается обсудить более обстоятельно в оставшейся части настоящей главы. 4.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
