Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 73
Текст из файла (страница 73)
50. В течение каждого периода 2ясю движепие частицы жидкости составлено из ее движения па окружности радиуса ое> ' и ие продвижеиия вперед ка расстаяипе 2п)саге~>а' изменяющегося как квадрат етого радиуса. (Этот результат иы можем получить, хотя, может быть, с меныией убедительностью, по-другому: путем вычисления с учетом членов второго порядка траекторий частиц в поле скоростей, определяемых формулами (21).) Су>с»гарное продвижеиие частиц вперед в волнах на глубокой воде вблизи поверхности легко наблюдается в кювете, в которой волны генерируются у одного конца и рассеиваются у другого. Однако с уменьшением глубины воды изложепиый выше метод расчета распределения количества движения стаиовится все менее и маисе пригодкым.
Действительио, доказательство строгой периодичности ср стаиавится иевериым, и ничто ие может предотвратить добавлекпя равномерного потока второго порядка к осковиому, полученному в первом приближеиви движению жидкости. Например, в волновой кювете только что упомяиутого типа иепрерывиый «стаксовский дрейф» поверхиости воды вызывает подъем У»раж»ения и »лаве 3 жидкости вблизи пологого берега, что создает градиент давления, порождающий обратное течение жидкости. Оба зти обстоятельства )щепьшают поверхностный дрейф и уравновешивают его противоположным течением вблизи дна. Ситуация еще более осложняется тем, что пограничный слой, связанный с этой имеющей одно направление составляющей потока вблизи дна, ьеожет стать намного толще естоксовского пограничного слоя>, связанного (равд.
3.5) с периодической компонентой... Все это означает, что вычисление среднего количества движения для периодических волн является простым делом только в случае глубокой воды.] Показать, что в ваде постоянной глубины Ь скорость волны может бить стационарной как функция волнового числа тогда и только тогда, когда волновое число Ь связано с соответствувлцей величиной для глубокой воды Ьт (см. (53)) следующим образом: Ь [ зй (2ЬЙ) — 2ЬЬ ]Из Ь,л [ зй (2ЬЬ)+2ЬЬ .] Нарисовать график атой функции, отметив ее поведение при боль шях и малых ЬЬ. Использовать полученную таким образом информацию для проведения доказательства того, что скорость волны имеет только один экстремум (минимум) при любой глубине, большей чем 3'Г% г ( 5 мм), но не имеет экстремумов для глубин, меньших указанной.
Для синусовдалькых волн, распространяющихся по воде постоянной глубины Й, составляющая скорости по оси я в стоксовском пограничном слое может быть записана з виде и = иех (( — ехр [ — (х + Й) ()и/т)Пе]], где скорость внееикего потока ие- саыа пропорциональна ехр [) (тг — Ья)], Использовать уравнение неразрывности, чтобы найти ю — составляющую скорости по оси в — внутри и сразу за границей пограничного слоя. Вычислить ю также и в случае отсутствия каного-либо касательного напряжения, когда мы просто берем н = ие„ но налагаем условие нулевой нормальной составляющей скорости (и = О) при в = =- — Й + 5,. Проверить, что оба расчета дают одинаковые распределения скорости вне пограничного слоя при условии, что бг имеет значение, вычисленное по формуле (68).
БОлыпоЕ чиСло одинаковых математических маятников длинь с с грузами (массы М), расположенными точно вдоль прямой горизонтальной линии В, находится в равновесии. Вдоль прямой Е расположена пружина, натяжение которой равно Т н к которой прикреплены все грузы. Масса пружины пренебрежимо мала по сраэненгвю с массой грузов. Показать, что поперечные смещения грувов, при которых перпендикулярное к г смещение н-го груза составляет у», удовлетворяют уравнениям — М У» — МУ) 'ил+ Т (Ул+г — 2У»+У»-г) ° Укражнеяия к аэазс 3 если аа единицу расстояния принят промежуток между грузами.
Рассмотреть распространение волны со смещениями ую пропорциональными ехр [1(юг — /гл)), которое, как можно полагать, имеет ззазоаую сэоросюь с = ю/й. Найти агу фазовую скорость г. Показать, что групповая скорость имеет величину [х1'+2м 'т(1 — соз/с)) ~/зм 'тэ!п й, и доказать, что она с веобходвмостью лезшие фаэовой скорости.
На основе этого описать, что произойдет с рядом маятников, если по одному из груаов будет сделан слабый поперечный удар. [Этот эксперимент был придуман Рейвольдсозц которыв использовал его, чтобы дать аудитории наглядную демонстрацию группы волн, движущейся вперед более медленно, чем отдельные гребив... Интересен предельный случай Т = О, при котором групповая скорость уменьшается до нуля. Рейвольдспокааывал, что, когда волна распространялась вправо и натяженве пружины пеожпдавво ослабевало, маятники продолжали колебаться (теперь с частотой, близков к единственному значению (дП)'/'), так что еще была видимость движения гребней направо.
Тем не менее движение уже ве передавалось к каким-либо маятникам позптио тех, которые уже были в пего вовлечены.) У. Показать, что если метод наискорейшего спуска для оценки интеграла (110) при больших 1 испо чьзуется для следующего приближения, то результатом будет асимптотическое выражение (122), которое должно быть умножено иа величину 2/ [ 12ф"э 4ф"з Рф"э + Рф" ! ' где все функции вычислены в стационарной точке ла (и предполагается, что величины Р и ф" не равны нулю). Убедиться, что это добавляет к амплитуде (122), которая имеет порядок г ',з, поправку порядка 1жд. Почему эта поправка меиьше по порядку величины, чем несмежная максимальная ошибка 0 (1 '), допустимая при получевви оценки (122)? [Чктателю рекомендуется выполнить вычисления в случае ф" (йэ) ) О.
Счучай ф" (йэ) ( 0 приводят к такому же реаультату, что легче всего увидеть, если поменять знак у $ (й) и ваять комвлексно сопрнжеввую величину.) 8. В рамках ливейиой теории волн на воде решить следующую задачу Коши: считая, что вертвкальиое смешение водной поверхности и вертвкальвая скорость ю = дь/дг принимают начальные значения, аависяшие только от э, найти вид получившихся в результате волн. Покааать, что если м= ~ И'(й)ехр( — йэ)бй е в зюмеит 1 = О, то длп получившейся в результате волвы (106), распространяющейся в положительном направлении оси э, Р (Ф) = — 2 (г (й) - ~[)У (й)/ (~))). 1 Уиражненил к глазе 8 Поверхность воды переводится из состояния покоя в положение ь = 2ех (кз + кб) '.
Здесь ке достаточно велико по сравнению с Л, чтобы можно было пренебречь поверхностным натяжением (равд. 3.4), но достаточно мало по сравнении> с глубиной воды (равд. 3.3), чтобы можно было использовать результаты теории глубокой воды, Представив Г (й) как 1е ехр ( — Лте), показать, что если х и г велики и положительны, то 4 — ег(ид) -к ехР ~ — х1зкек-з+1 ( — гпл-'+ — и) ~ 4 ' ( 4 Вывестя, что точна максимума амплитуды волны двнжется вперед со скоростью ((113) ук,)ВЛ Проверить также, что гребни волны движутся в этой точке с вдвое большей скоростью.
Проверить, наконец, что полная энергия волн при к ) 0 составляет половину начальной потенциальной энергии смещенной поверхности воды. Куда всчезла вторая полоэинау 9. Показать, что в линеиной теории волн на водечасть потока анергни в положительном направлении оси к на единицу длины гребня, получающаяся эа счет пряыого действия поверхностного натяжения Т, составляет ( — ТдЬ~дк) дэ!дк Проверить, что для волн, движущихся по воде глубины Ь под влиянием тяготения и поверхностного натяжения, зта добавка в выран~епие (145] для потока энергии в жидкости повышает средний поток энергии до величины ГИ', где сги И' — групповая скорость и средняя энергия волны на единицу площади горизонтальной поверхности.
Выписать отлагательную далю этого среднего потока энергии, которая вкладывается прямым переносом энергии за счет поверхностного натяжения, н показать, что в случае глубокой воды ата доля может быть записана в виде 2Лшэ,'(ЗЛщ-ьЛе) . (Таины образом, ова составляет точно 1,'2, когда Л равно длине волны Лю, соответствующей минимуму скорости волны, н возрастает до 2(3 в пределе капиллярных волн (Л)Лю тгало).) 10. В стационарном потоке, нмеюпгеь~ скорость У и глубину Ь, стационарные волны могут возникнуть там, где по поверхности ударяет стационарная струя воздуха. Рассмотреть случай, когда плоская воздушная струя соадает на поверхности воды распределение давления, изменяющееся только по к (по координате в направлении потока).
Испольаовать теорию равд. 3.9, когда за граничную величину т) принимается разность между давлением воздуха на поверхности и невозмущенным атмосферным давлением р . Показать, что величина В (й)г, й), появившаяся ранее в формуле (172), равна тогда В (ЛУ, й) = (1)г ))Л) р~ й — ра — Туз. Улразенекил к главе 8 346 Показать, что если У превышает минимальную скорость волны (4уТ!р)04, НО ЯвляЕтСя Суп1ественпо мепыпей, чем ДлинноволноваЯ снорость (уй)Пг, то уравнению В ()еу, )г) = 0 удовлетворяют два положительных значения величины й, близкие к значениям )г, =(2Т) ' [ррз — (рзре — 4руТ)Нз], й =(2Т] г [ррг+(рзре — 4руТ)1~ ], полученным при замене 15 аЬ па 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
