Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Показатгч что когда струя воздуха действует с суммарной силой С на единицу шпрнпы потока, соответствующей распределению давления я 'Сге(аг+ аз)-', то волны, близкие по форме к волне вида — 2С(оЧ е — 4руТ) иве зше шп (угх), распространяются вниз по потоку от струи воздуха, тогда как волны с ь, блнакой к Ь= — 2С (Ртуе — 4(хУТ) же ~*г'зш (Уга), распространлются вверх по потоку. Показать. что при скорости потока 0,30 ы с длина возникших волн составляет около 0,05 м для волн, распространяющихся вниз по потоку, и около 0,006 и для волн, распространяющихся вверх по потоку; амплитуда последних в ехр (970ае) раз меныпе, где ае измеряется в метрах.
[Таким обрааом, волны вверх по потоку могут становиться трудно наблюдаемыми при ге, больших 5 мм.] В равд. 3.4 и 3.6 соответственно мы показали, что волны на воде с длиной. меньшей 4 мм, являлися капиллярнытш и что отношение пх групповой скорости к скорости волны составляет 3(2. Предлагаем выполнить аналогичное проведенному з равд. ЗЛО исследование порождения таких капиллярных волн стационарным движением по воде со скоростью У твердого тела (размеры которого не должны превышать 1 или 2 мм, чтобы точность исследования была хорошей) .
Показать, что зги волны находятся повсюду вокруг препятствия. В системе координат с началом в точке мгновенного положения препятствия и отрицательным направлением осп а, совпадающим с направлениеы его движения, найти мгновенное положение волн, которые были испущены под углом 0 к атому направлению, когда препятствие находилось в точке (Х, 0). Показать, что вдоль каждого отдельного гребня величины Х и О меняются таким образом, что Х созе О принимает постоянное значение, скажем Хг. Установите, что форма гребня описывается параметрическими уравнениями 1 х 3 а=-Х, еес 0 (гдз Π— — ), у= — Хг вес 0130, 2!' ' 2 Нарисовать агу кривую.
заметив, что она проходит через точки ( — 0,5Хг, 0) и (О, Ч-1,3Хг) и имеет асимптоты у = ~1,5Х[)ззз)з. [Эти формы гребней, вогнутых к препятствию, легко наблюдать, скажем, в случае, когда вязальная спица движется в воде, хорошо освещенной сверх) 4. Внутренние волны 4.1. Введение в теорию внутренних гравитационных волн Представления о дисперсии и групповой скорости были развиты в гл. 3 для иэотронних случаев, когда скорость с волны не зависит каким-либо образом от направлеяия распространения волны, хотя и меняется с ее длиной.
При этом волновая энергия распространяется под прямым углом к гребням волн с групповой скоростью Г. В этой главе ставятся три цели. Первая состовт в том, чтобы дать общий анализ диспергирующих систем, которые удовлетворяют линейным уравнениям, допускающим зависимость скорости с волны как от направления ее распространения, так и от ее длины; в таких аниэотропных системах групповая скорость должна рассматриваться как вектор П и не должна быть обязательно перпендикулярной гребням волн. Вторая цель состоит в иллюстрации общей теории, главным образом на примере внутренних волн в стратифицнрованной среде; это случай, важный в океанографии и метеорологии (равд.
4.3) и совершенно отличный от изотропных случаев: в нем волновая энергия распространяется с групповой скоростью С параллельно гребням! Третья цель заключается в том, чтобы придать единство содержанию книги в целом путем использования общего анализа для обоснования и обобшения: (() идей геометрической акустики, изложенных в гл. 1 и гл.
2, а также (й) некоторых подходов, используемых для расчета волн на воде и описанных в гл. 3. Мы начинаем данную главу с описания внутренних гравитационных волн как примера существенно анизотропной волновой системы, важного для понимания окружагощей нас природной среды. Мы видели в гл. 3, как сила тяжести стремится восстановить плоскую форму поверхности раздела воды и воздуха и как баланс между этой восстанавливающей силой и инерцией воды определяет распространение волн по такой зч8 4. Внутренние волны поверхности. Существует много других систем с легкой жидкостью, расположенной над тяжелой жидкостью, которые устойчивы в том смысле, что возмущениям (при которых тяжелая жидкость может проникать в легкую и наоборот) противодействует сила тяжести.
В любых таких устойчивых системах распространение волн оказывается возможным вследствие баланса между гравитационной восстанавливающей силой и полной 1шерцией жидкости. Прежде чем перейтн к основному материалу этого раздела (гравитационные волны в непрерывно стратифицированной жидкости), мы остановимся на значительно более простом случае внутренних волн, который легко исследовать при помощи методов, развитых в гл. 3, Во многих глубоких эстуариях (таких, как норвежские фиорды) пресная речная вода обычно движется по направлению к морю над более тяжелой соленой водой; происходит это главным образом потому, что приливноотливные движения слишком слабы, чтобы преодолеть гравитационную устойчивость поверхности раздела между пресной и соленой водой за счет «турбулентного перемешивания» (по. крайней мере в тех случаях, когда поверхность моря сравнительно спокойна).
Мы изучим динамику такой внутренней поверхности, полагая, что в идеализированном случае ояа представляет собой тонкую поверхность раздела между тяжелой жидкостью с постоянной плотностью р, и более легкой жидкостью с постоянной плотностью р, ( Р, Таким образом, никакие эффекты диффузии соленой воды в лежащую выше пресную воду не будут учитываться. При этом не потребуется какой-либо сложный анализ: понятия обобщенной жесткости и обобщенной массы, объясняемые в равд. 3.2, сразу дают дисперсионное соотношение. Если з = О представляет невозмущенное положение поверхности раздела, то ее подъем до уровня з = Ь увеличивает потенциальную энергию нижней жидкости на (112) р,дье на единицу площади, как и в равд.
3.2. Однако, как показывает тот же метод расчета, этот подъем умеяьеаает потенциальную энергию верхней жидкости на (1/2) р,э~э. Обобщенная жесткость поверхности раадела (коэффициент при (112) ~э в выражении для потенциальной энергии) поэтому равна (Рз Р|) й (1г на единицу горизонтальной площади; она зависит от разности плотностей двух яеидкостей. Кроте того, любое движение поверхности раздела вызывает в нижней жидкости движение с кинетической энергией (1/2) р,й ' (д~/де)з на единицу площади, как и в равд. 3.2.
Одно- 4 1. Введение е теорию енутренни» гравитационна» вели временно оно вызывает аналогичное (хотя и обратное) движен не в верхней жидкости с кинетической энергией (1Р2) р,гг "(дЬ,'д1)е. Эти выражения являются хорошими приближениями нри условии, что как дно, так и свободная поверхность находятся, по крайней мере, на расстоянии 0,281 от поверхности раздела, так что они существенно не влияют на этн двнжоння. Обобщенная масса поверхности раздела (коэффициент при (1(2) (д 1'дфе в выражении для кинетической энергии) поэтому равна (2) (Ре+Ре)й ' на единицу горизонтальной площади; она зависит от суммы плотностей двух жидкостей. Для того чтобы получить днсперснонное соотношение, мы запишем ю' (квадрат угловой частоты) как отношение обобгценной жидкости (1) к обобщенной массе (2), т.
е. как ю = йй 1(рг Рг)~(ре Р Рг)) (3) Очевидно, что волновые движения для заданной длшеы волны 2л/й будут в точности такими же, как в гравитационных поверхностных волнах, но тольно с частотой ю (и поэтому также со скоростью волн с = агй), которая уменьшилась за счет коэффициента, равного корню квадратному из отношения, записанного в квадратных скобках. Для речной воды, лежащей над морской водой, атот коэффициент принимает значения примерно от 0,11 до 0,12.
Поатому может оказаться, что хоти корабль и движется настолько медленно по сравнению со своей длиной, что не возбуждает никаких поверхностных волн (равд. 3.10), он прн этом движется быстро по сравнению со скоростями волн (имеющих длины, соответствующие длине корабля) на такой поверхности раздела в эстуарии. Зто означает, что при входе в зстуарий корабль может испытывать существенно возросшее сопротивление.
Такое дополнительное сопротивление представляет собой в точности волновое сопротивление, связанное с энергией, необходимой для возбуждения внутренних волн (даже если корабль при этом не порождает видимыз волн яа свободной поверхности). Мы перейдем теперь от волн на поверхности раздела между двумя однородными жидностями к волнам в жидкости с непрерывной стратификацией. В дальнейшем (равд. 4.3) мы убедимся в том, что результат (3) действительно согласуется с предельной формой результатов для непрерывно стратифицированной жидкости. Мы изучим малые возмущения равновесного распределения плотности р, (г) в атмосфере или в океане. Здесь рв является 350 е.
Внвнвренние волны непрерывно убывающей функцией высоты г. Равновесное распределение давления ре (г) должно также убывать с высотой согласно гидростатическому закону: Ьрв(г'~г) —.— — р,(г) д. Это распределение давления влияет на гравитационную восстанавливающую силу. Предположим, например, что частица жидкости на высоте г с плотностью р, (г) совершает небольшое движение так, что ее высота увеличивается до г -[- ь. Это переносит ее в область, где равновесная плотность имеет меныпее значение р,(г) + ьрв(г), где р„'(г) ( О, (Э и где давление уменьшается до ро (г) ро (г) д~. (6~ В обратимом процессе это понижение давления должно происходить при постоянной энтропии. Поэтому собственная плотность частицы уменыпается до р,(г) — р,(г) уз [о,(г)) ', (7> где величина [с, (г))г, являющаяся квадратом невозмущенной скорости звука при давлении р, (г) и плотности р, (г), равна отношению приращения давленая к приращению плотности при постоянной энтропии.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
