Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Как и предвиделось, дисперснонное соотношение (35) может быть записано в виде (167). Теперь мы рассмотрим возникновение стационарных волн в потоке, имеющем скорость [с, считая, как и в соотношении (164), что с) отлично от нуля и не зависит от времени: ц= в'((х) = р ~ Г(й) ехр(сйх) яс. (170) се = )с$', (171) так как наложение на систему постоянной скорости Ф равносильно аамепе координаты х на х — И.
Следовательно, стационарная синусоидальная волна Ь = а ехр (сйх) подчиняется граничному условию ц = аВ (йР, й) ехр (сйх). И наоборот, граничное условие Ч =- уР (й) ехр (Сйх) определяет волну вида = гР (й) [ ехр (сйх)ЬВ (йР", й), а более общее граничное условие (170) определяет волну вида ~ УГ (й) ехр (йн),й (172) В(йУ, ь) Как и в равд. 3.7, мы находим, что лучший способ оценки этого интеграла — применение теоремы Коши. Для х ) 0 Волны вида (165) в потоке, имеющем скорость )с, стазовятся стационарными, если л.в. Картины воли, вввдвваеыыв првилтвтвивни 327 путь интегрирования должен быть поднят на некоторое расстояние х, что придает величине й положительную мнимую часть х, а интеграл становится величиной порядка О (ехр ( — кх)).
Для х( 0 путь интегрирования должен быть опущен, что придает величине й мнимую часть ( — х), а интеграл опять становится малой величиной порядка О (ехр (хх)), С точностью до этих погрешностей интеграл можно представить амчепыьыи подинтегральной функции в полюсах, проходимых при деформированпи пути, Эти последние, являясь значениями й, при которых В (йУ, й) = О, определяют стационарные волны. В этой очевидно простой программе есть одна маленькая, но очень важная и известная трудность: рассматриваемые полюсы лежат на исходном пути интегрирования по й (на действительной оси).
Это порождает очевидную неоднозначность ответа, зависящего от того, берется ли исходный интеграл (172) слева или справа от какого-либо полюса (или даже как комбинация этих двух случаев в некоторой произвольной пропорции). Эта матоматическая неоднозначность отвечает действительно имеющей место физической неоднозначности задачи при проведенном выше анализе. К волнам, действительно порожденным стационарным возмущением потока вида (170), может быть добавлена произвольная цепочка стационарных волн, удовлетворяющих условию «) = 0 для всех х (положительных и отрицательных). Они определяются решениями уравнения В (й$', й) = = О, и энергия этих волн может быть произведена либо при х = +со, либо при х = — со, в зависимости от того, больше или меньше групповая скорость, чем величина У. Очевидно, математическая задача, определяемая соотношением (170) и имеющая решение вида (172), не является полным представлением физической задачи, которая формулируется так: найти волны, действительно порожденные самим возмущением и подчиняющиеся условию, часто называемому «условием излучения»: волновая энергия «на бесконечности» не создается.
Существует несколько аффективных математических процедур, эквивалентных наложению этого условия излучения; некоторые из них прямо используют понятие групповой скорости. Другие принимают во внимание затухание волн, которое всегда должно существовать и которое одкоаначно сдвигает полюсы с действительной оси. Желательно, однако, иметь метод, который работает даже если затухание не принимается во внимание. Из всех методов следующий, как оказывается, применим во многих полезных случаях (гл.
4). Иден основана на том, что волны, действительно порожденные стационарной «выпуклостью дна», можно легче всего выде- 3. Ванны на воде 328 лить, если представить, что выпуклость медленно поднимается до своей настоящей высоты в первоначально невозмущенном потоке. Хорошее общее представление этой идеи дается введением медленного экспоненциального возрастания граничного значения т[: »1 = [ехр (е1)) У/ (х) = [ехр (е/)) 'в' ~ Р (/«) ехр (1/гх) й/«. (173) Отыскивая только такие волны, которые возрастают пропорционально ехр (ег), но не зависят от времени каким-либо другим образом, мы исключаем опасность получить решение, включающее другие волны с энергией, произведенной «на бесконечности».
(Здесь е — малая величина, которая в конце вычислений будет устремлена к нулю.) Условие (171) заменяется на »о = /«о' — »е, (174) а решение (172) — на (175) Этот интеграл вдоль действительной оси й может быть оценен однозначно, так как полюсы слегка сдвинулись с оси интегрирования. Нуль функции В (/«Р — /е, /«), соответствующий каждому действительному /«о, удовлетворяющему уравнению В (й„р, й,) =-0, (176) находится примерно там, где выполнено условие [(/« — й,) Р— [е[ [дВ/да[„„, + (й — й ) [дВ/д/« „~, = О, (177) т.
е. при — /'о + [е/(У вЂ” //)~ (178) где (/= [ — (дВ/д/«)/(дВ/дю))»», (179) является групповой скоростью (выражением Ыо»/д/«, вычисленным с учетом связи (167)). Тогда для х ) 0 путь интегрирования пересекает при поднятии только те полюсы, определяемые формулой (178), для которых е/ ( р (групповая скорость меньше скорости потока). Это дает вклад, равный вычету в каждом из них, умноженному на 2ж. В пределе при ев- 0 зто будет о.р. е(артины воли, осваиваемые нренвтетвиами 329 2, 60 0,5 0,5 1еве й Рпс.
66. Зависимость обусловленного неоднородностью даа множителя з)2 (Квй))(зй (2йвй) — 2йвй) в выражении (182) дла возмущения поверхности зады з стационарпом потоке со скоростью у и глубиной й от числа Фруда Ув!дй. (суммирование проводится по решениям уравнения (176) с положительнымн нли отрицательными йо и с бе ( )е). Аналогично, для х ( 0 путь иктегрирования при понижении пересекает полюсы с 7У ~ У.
Это дает вклад, равный вычету в каждом нз них, умноженному на — 2я(. В пределе это будет Эти соотношения подтверждают, что волны с групповой скоростью, превышающей скорость волны (например, короткие волны ряби), расположены вверх по потоку от возмущения, тогда как такие волны, как гравитационные с У( с, расположены вниз по потоку. Единственная новая информация в соотношениях (180) и (181) касается амплитуды волн. В выражении для амплитуды наиболее существен множитель Р (Ко).
Наличие етого множителя означает, что волны, появившиеся с некоторым волновым д. Волны на воде числом й», при котором они остаются стационарными, имеют амплитуду, пропорциональную составляющей разложения Фурье волнообразующего возмущения с волновым числом й». Этим объясняется, почему возмущения больших продольных размеров порождают по существу только гравитационные волны. Гравитационные волны, возникающие из-за наличия наклона дна формы ( (х), в соответствии с формулами (180) и (169), описываются выражением 4ы (Г (З ) ехр (йцх)+Е(--й») ехр( — й»х) »Ь(й Ь) зл (2х»З) — 21с»Ь где у» «ь (а,ь) (182) На рис. 66 покавано, что это выражение имеет тенденцию к существенному возрастанию для величин (гЧдй, приближаю.щихся к 1 (для которых й,й относительно мало), однако когда (газуй превышает 1, такие перпендикулярные потоку гребни волн наблюдаться не могут (как было обнаружено Уильямс»» Хаустоном).
ЗЛО. Корабельные волны В равд. 3.9 мы рассмотрели картину волн, создаваемую неподвижным препятствием в стационарном потоке, и (по существу идентичную) картину волн, создаваемую при движении такого же препятствия в неподвижной воде для ограниченного ряда случаев: гребни волн почти перпендикулярны направлению потока (илк движению препятствия), поскольку препятствие практически перегораживает поток (или канал). В атом разделе такое ограничение снимаетсн, и мы изучим намного более общую картину волн, включающую наклонные волны, которые удовлетворяют условию (160) и распространяются под некоторым углом 6 к направлению потока (или направлению движения препятствия).
Мы будем изучать главным образом картину волн, расходящихся в продольном и поперечном направлениях на большие расстояния, сравнимые с продольными и поперечными размерами препятствия. Хотя методы анализа дают информацшо, прямо применимую к изучению картины волн, создаваемых неподвижным препятствием в потоке (случай, на который делался упор в равд. 3.9), название етого раздела — «Корабельные волны» означает, что он л основном посвящен (по существу идентичной) картине волн, З.ХО.
Корабел»на» возам порожденных движеиием корабля с постоянной скоростью У на широких просторах шгокойной воды. Эта тема имеет большое практическое значение, так как Р— мощность, требуемая для создания волн, бегущих от корабля, может составлять значительную часть полной выходной мощности корабельных двигателей. В этом разделе мы изучим различные свойства корабельных волн, непосредственно следующие из дисперсиояного соотношения для волн на воде. Мы укажем также некоторые общие характеристики мощности Рч, включая методы ее определения из модельных экспериментов. Однако мы отложим обсуждение проблемы вычисления мощности Рч или амплитуды корабельных волн, от которой она зависит, до тех пор, пока в гл. 4 не будут развиты некоторые методы. Формулой (160) устанавливается, что волны с любой скоростью с ..
г' могут быть стационарными в потоке, имеющем скорость К, при условии, что они распространяются под углом 8 = агс соз (с!К) (183) к направлению потока. Тогда скорость потока имеет перпендикулярную гребню составляющую, равную Г соз О и гасящую движение гребня со скоростью волны с. Условно (183) применяется и к любым волнам, порожденньгм движением корабля с постоянной скоростью У по спокойной воде.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
