Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Пололсительносл»ь нужна для того, чтобы уменьшить абсолютную величину подинтегрального выражения в интеграле (110) при больших 8. Действительно, такое изменение пути интегрирования легко сделать во всех точках, кроме стационарных точек функции ф (Й). Предположим, например, что стационарных точек нет, т. е. всюду ф' (Й) ) 0 (обычно это имеет место, скажем, при х = 0). Тогда мы ноднимаем путь интегрирования, т.
е. к каждому действительному Й мы добавим малую положительную мнимую часть, которая (из-за того, что»р )0) сделает мнимую часть функции ф (Й) положительной. 8.7. Исследование диснереируюиуиа систем методом Фурье 307 Заметим, что яа пути интегрирования, на котором мнимая часть функции ф (ео) равна по крайней мере 6, абсолютная величина ехр [ььф (й)) не превышает ехр ( — ьб). Тогда иятеграл (110) также экспоненциально мал для больших 6 Действительно, его величина составляет О [ехр ( — 16)) в том смысле, что ее абсолютное значение удовлетворяет неравенству ео ю ~ ~ г" ((о)ехр[ьуф(ее)[~й~( [ехр( — 16)[ ) [Р(й)[Мс (113) о о в силу теоремы о том, что абсолютное значение любого интеграла не превышает интеграла от абсолютной величины подинтегральной функции.
Таким образом, в тех случаях, когда фаза ф (й) ке имеет стационарных точек, ослабляющее вчаиъюдействие настолько интенсивно, что возмущения становятся дкспоненциально малыми, Доказательство для случая, когда всюду ф (ео) ( О (как может оказаться при больших хе'у), проводится аналогично, за исключением того, что теперь путь интегрирования должен быть опущен, чтобы мнимая часть функции ф (ео) стала равна положительной величине 6. Действительно, чтобы достичь этого, необходимо добавить к й мнимую часть, приближенно равную Ыф (й) (114) и являющуюся отрицательной, если вр' (ео) О.
Ситуация, однако, в корне меняется, если в[о (й) ооладает стационарной точкой й„в которой в[о (по) = О. С одной стороны от точки п„где ф' (ес) ( О, путь интегрирования должен быть опущен, а с другой стороны, где ф (ео) ) О, он должен быть поднят. Поэтому непрерывность требует, чтобы путь проходил через саму точку йю но это противоречит необходимости роста мнимой части по закову, аналогичному (114) при ф' (ео) -ь О. Типичное гиперболическое поведение в окрестности стационарной точки Йо кривых, на которых мнимая часть от ф равна 6, показано на рис.
63 для случаев, когда а ф" (йо) 0 и б ф" (йо) ь О. Формь| кривых соответствуют тому, что разложение ТейлоРа ДлЯ ьд (й) — в[о (йо) имеет виД ф (й)-ф (й,) =„— "(й — й,)з ф" (й,)+ О (й — й,)з. (116) Для эффективной оценки интеграла (110) путь интегрирования должен быть изменен так, как это показано на рис. 63. 8. Волна на воде -взе Рнс. 63. Тпппчное поведение фазовоп функции ф (й) в окрестности стационарной точки йо. На комплексной плоскости )сизобраясены кривые, на которых ф (й) имеет постоянную мнивсую часть ( — Зб, — 23, — б, О, — , 'б.
+2б, -гзб). Счучай а: ф" (йо) ч. О (максимум). Случай 6: ср" (йо) ) О (мянямум). Мы можем изменить путь интегрирования в интеграле (ИО) на такой, на котором мнимая часть функции ф ()с) составит сб везде, еа иенлючениел окрестности такой стационарной точки, где должен быть использован связующий отреаок С, чтобы перескочить с одного пути интегрировання на другой (жврные линии).
Случай двух стационарных точек, в котором за максимумом ф(й) следует минимум, сводятся к комбинированию случаев а и 6. Тогда путь интегрирования в интеграле ((10) может быть яаменен на тот, который получается соединением жирных линий на обоих графиках. Таким образом, во всех точках, удаленных от стационаряой, путь интегрирования заменяется на кривую, на которой мнимая часть функции с[о равна по меньшей мере б. Это дает очень малый вклад порядка О [ехр ( — гб)! в интеграл (110), как результат ослабляющего взаимодействия. С другой стороны, возле любой стационарной точки на отрезке Е, соединяющем две такие кривые, делается добавочный вклад (который не является экспоненциально малым). Если кривые на рис. 63 рассматривать как «линии уровняз, на которых абсолютная величина выражения ехр [Иф (к)! имеет уменьшенное значение ехр ( — 16), то отрезок [, показанный для каждого случая, можно считать «траекторней наискорейспего опускав от йо к этим линиям уровня.
Но этой причине метод изменения пути интегрирования часто называют методом наискорейшего спуска. З.г. Иссоедоеоние дисггергируюгдис систем методом Фурье 309 В случае б, например, когда ф" (й,) ) О, для отрезна Ь справедлива формула й — й,= — зехр ( 4 л1), (116) где з — действительное, и тогда пз соотношения (115) получаем етр (гзф (й)) =:= ехр (1рф (йа) — —, ьз'фг (йа)+ О (Кзз) ~, (117) Лбсолютпая величина етого выражения бысшро уменвигается как для положительных, так и для отрицательных з.
Вклад в интеграл (110) за счет интегрирования по отрезку 1 может быть записан в виде ! (Р (й,)+ 0 (з)) ехр (11г!г (й,)— -- —,1з'"г()"(йа)) (1; О (ззз)) с1з ехр ( — лг ), (118) где 1с (й) заменено выражением в фигурных скобках и испо:изованы соотношения (116) и (117). Здесь пределы интервала интегрирования расгпнряются в область, где величина подинтегрального выражения есть О (ехр ( — Гб)! н, как мы уже предположплп, мала. Так что пе будет совершена ошибка болыпего порядка, чем эта, если мы оценим интеграл от ЕХР ( — — 9ЗЗ'~г(й)~ 1 на всем интервале, где оп имеет смысл; зто будет гауссовский интеграл ехр ( — — ззаг(гг(йа) ~ с)з.=- (2л'(сгр" (йа))! У .
(119) Учет величин порядка 0 (з) и 0 (ззз) дает в отличие от етого вклады в интеграл (118) порядка О (г-'). Тогда окончательно интеграл по отрезку В с погрешностью 0 (ехр ( — 16)! + 0 (т-т) равен ь(йа) (2л!(тфг (йа))! ехР г(г [ Зф(йа) + 4 л~) ° (120) Таков асимптотический вклад в интеграл (110) от любой стационарной точки функции т)г, в которой ф'(й,) О. На рис. 63,а видно, что у стационарной точки, в которой г)г (йа) ( О, для отрезка 1, должна быть справедлива формула й — й,=зехр ~ — — лг) . 1 (121) 8.
Водны на воде Тогда соотношения (117) — (120) справедливы при замене ехР ((1/4)лс] на ехР ( — (1/4)лс( и фо(йо) на — ф" (йо) (величина которой в атом случае совпадает с (о(о" (й,) (. Используя функцию з(яп ф"(й,), которая равна +1 при о(о"(йо) ) 0 (так что при й, будет минимум ф) и — 1 при о(оо(йо) '0 (так что прн йо будет максимум), мы можем сказать, что общий асимптотический вклад от стационарной точки составляет Р (йо) (2л/(1(фо (йо) ()(' ехр ~1 ~/ф (йо) + — л з(яп о(о" (йо)~) ° (122) Интеграл (110) асимптотически равен величине (122) в стационарной точке й, (где ф' (й,) = 0), если она только одна, или в противном случае сумме величин (122) по всем стационарным точкам при условии, что оре (й,) не равно нулю нн в одной из них. 0 видоизменениях анализа для случая, когда о(о" (йо) равно нулю (а зто означает, что угол наклона траектории наискорейпгего спуска должен выбираться по-другому), см.
равд. 4.11. 11осле использования подстановки (109) получаем асимптотическую форму интеграла (106) для больших с г" (йо) (2л/ (Е ( в" (/со) ()) ~~~ ехр (' Е [ со (/с,) /в — йох+ 4 лзсДпв" (йо) )) (123) где й, — волновое число, для которого со (йо) (124) Таким образом, как и ожидалось, волны с волновым числом йо находятся в точках, движущихся вперед с групповой скоростью в' (йо). Заметим также, что если уравнение (124) имеет два решения (как в случае волн ряби со значениями длин волн, лежащих по обе стороны от того, при котором достигается минимум групповой скорости), то вклад вида (123) существует для каждого иа них: волны с различными волновыми числами, но с одинаковой групповой скоростью находятся в одном и том же месте. С использованием обозначения (69) выражение (123) означает, что в каждом случае амплитуда Ь, возникших воли принимает вид ~,(в, С) = (Р(йо)( (2л/(С(во(/со)()РР, (125) тогда как их фаза а будет а (х, С) = в (йо) о — /сот+ аг6 Р' (/со) + 4 л з1зп в" (/со) (126) д.7.
Мссведование диспергируюисих систем методом Фурье 311 где )ео определяется из уравнении (124). Заметим, что такая фаза сь действительно асимптотически удовлетворяет уравнениям (88), так как для малых изменений л и 1 мы имеем '(ьх = (ьо' ()ео) е))ео) Г+ ю ()оо) е)à — (е))ео) м )ео еЬ'+ О (1 ') (122) где первый и третий члены в правой части взаимно уничто- жаются в силу (124).
Отсюда легко получить ьов(йо) е))ео = 1 Ым — ьо ()ео) (1Й (128) Это выражение дает ожибку при изменениях агп Р()ео) в (122). (Эти измонения отсутствуют, однако, если начальное возмущение 7'(х) симметрично относительно точки х =- О, в силу чего Р()с) становится действительной согласно (112).) Интерпретация амплитуды ~, (х, 1) на основе энергетического анализа дана з равд. 3.8. Выше были приведены рассуждения для незатухающих волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
