Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Это препятствие может быть закреплено в потоке или лежать на дне, оно может быть просто местной особенностью дна. В своем стихотворении «Ручей, текущий к западуа Роберт Фрост ') писал Чернеющие воды, налетая На затонувший камень, разбивались И вспять бежали белою волной. Так белая на черных мчалась вечно, Не наступая и пе отступая... Постоянство потока поразило его вообраягеггне: Волна та отражается от камня С тех пор, как реки по земле текут.
Он увидел, что распространение гребня вверх по потоку может в точности сводиться на нет течением вниз но потоку: Мы все перечим. Белою волной Ручей течет наперекор себе. Он образно обънснил происхождение явления: Вот зто устремленье вспять, к истоку, Наперекор теченью, что несет нас, Есть дань теченья своему истоку.
') Перевод А. Сергеева иа книги: Роберт «прост. Иа девяти квяг.— .Мл ИЛ, 1963. 321 л.р. картины волн, еоеоаеаемые нре ятетвиями Воамущение Рис. 65. Схематическое ивображевие стационарных волн, геверируемых веводвижвым препятствием в стационарном потоке, имеющем скорость у.
Масштаб вертикалъиого сыещеиия невозмущеяиой поверхности воды увеличен так, чтобы были отчетливо видны и волны ряби вверх по потоку от препятствия, и болыпие гравитационные волны еппз по потоку. Препятствие может иметь форму ступекькы два или цилиндрического тела. Последнее может каходвться ка дие. в середине толщи воды или иа поверх- мости.
Фрост сравнил ручей с временем, которое несет людей к морю забвения. Возможно, с этих позиций его стихи являются своего рода описанием стационарной картины волн. Мы изучим сначала очень простую стационарную картину волн — такую, в которой все гребни волн перпендикулярны направлению потока. Такое движение греблей со скоростью волны с в направлении, противогшложном потоку, имеющему скорость е', может быть стационарным тогда и только тогда, когда (159) »Цилиндрическое» препятствие или «ступенька» дна, преграждающие под прямым углом путь потоку, могут породить картину такого типа (рис. 65). Дисперсионные свойства волн на воде полностью определяют существование картины: скорость с меняется вместе с длиной волны, поэтому с помощью равенства (159) среди всех длин волн отбирается одна (или самое большее две), при которой волны могут быть стационарными.
Заметим, что в соответствии с условием (56) такие волны не могут существовать в очень леедяеьемоле потоке со скоростью 'е'( 0,23 м/с. Действительно, стационарное распространение гребней волн ве прямо вверх по потоку, а под некоторым углом О к нему также исключается в этом случае из-за того, что должно удовлетворяться равенство с = р сое Е, (160) чтобы составляющая скорости потока весов 6 в направлении под прямым углом к гребням могла свести на нет движение гребня со скоростью волны с.
Равенство (160) показывает, что 21-Е11ЕО 323 8.д. Каравана волн, еввдаваемие преалгаетвиами Мощность Р«г, которую должно расходовать препятствие, чтобы породить зти волны, может быть легко выписана. Мы обозначали через И' энергию на единицу площади, которая, согласно (28), равна (1(2) рда« для гравитационных волн с амплитудой а и имеет такое же аначение для волн ряби, если увеличить д в соответствии с подстановкой (50).
Энергия па единицу площади И'а волн, движущихся вниз по ггоглозу от препятствия, переяосится от него со скоростью à — Ра (где Ра — грушювая скорость этих более длинных волн со скоростью волны с = — И). Энерптя И"а на единицу площади волн, движугпихся вверх по поелику от препятствия, переносится от него со скоростью ӄ— И. Поэтому мощность, необходимая для ооразования обеих последовательностей волн, равна Р = 6 (Р— Р ) И' + 6 (Є— И) И'„.
(161) Здесь 6 — ширина потока, так что скорость возникновения новой возмущенной волнами поверхности вверх и вниз по потоку от препятствия составляет 6 (Р— Ра) и 6 (Ри — !') соответственно. Эта мощность Рвг не равна, разумеется, полной мощности, необходкмой для продвижения препятствия в воде. Дополнительная мощность «тренпя» Р, связана с возникагощим пограничным слоем и спутпым следом. «Г!обовое сопротивление», илп сила сопротивления движению препятствия, часто запи-. сывается в виде Р = Р + РГ, Гдо РР = Рч, а УР1 =. Р,, (162) т. е.
как сумма «волнообразующего» сопротивления и сопротивления трения. Дополнгпельная сила в«лги, которую нужно приложить к препятствию для преодоления не связанного с трением сопротивления Р„, создает мощность Р„. =- ИР„. необходимую для образованна волн. При рассмотрении в первоначальной системе отсчета. когда препятствие покоилось, выписанные выше выраженпя (161) и (162) остаются потенциально полезныхпи: онн дают силу, г которой поток действует па препятствие, находящееся, как предполагалось выше, в потоке. В то же время проведенные вычисления для препятствия, движущегося в покоящейся воде, могут быть прямо применены для решения вопроса о сопротивлении движению по каналу широкой баржи, почти полностью ваполняющей его по ширине.
Во многих практических случаях вагины только движущиеся вниз по потоку гравитационные волны, Это обусловлено тем, что при скорости !е, существенно большей, чем с = 0,23 смlс, 21* 8. Вовки ка воде капиллярные волны, скорость которых удовлетворяет равенству (159), имеют чреавычайпо малую длину (рис. 56). Препятствия существенных раамеров не могут по существу возбуждать такие короткие волны (которые в действительности наблюдаются в основном впереди малых препятствий в относительно медленном потоке). Наоборот, мы увидим, что болыпое препятствие в потоке нлн движущаяся вдоль канала широкая баржа могут возбуждать позади себя гравитационные волны с весьма болыной амплитудой н с удовлетворяющей равенству (159) скоростью.
Как мы укажем при проведении вычислений в одно»г частном случае в конце этого раздела, для этого требуется, чтобы продольные размеры препятствия хорошо согласовывались с длиной этих волн. Некоторые интересные следствия вытекают из того факта, что скорость волн на воде глубины Ь (рнс. 52) не может превышать (дЬ)ге». Это означает, что если скорость потока К» (дЬ)Ю, то пе существует решения (159), описывающего волны с перпендикулярными направлению распространения гребнями. Препятствия общей формы еще могут соадавать волны с наклонными к направлению двия«ения гребнями, так как уравнение (160) еще может иметь решение.
С другой стороны, препятствие, близкое по форме к перекрывающему поток цилиндру н создающее значительные волны с гребнями под прямым углом к потоку, когда У ( (дЬ)Ю, не можот породить такие волны, когда »е '-» (дЬ)'/». и обычно создает только слабые наклонные волны. Аналогично, пгкрокая барнса, почти перекрывающая капал, по которому она движется, испытывает внезапное понижение сопротивления, когда ее скорость превышает (дЬ)М». Главный член в волнообразующем сопротивлении Р исчеаает, и сохраняется только намного меныпий член, обусловленный возникновением наклонных волн по бокам баржи.
Скотт Рассел писал в 1844 г.: «Насколько мне известно, это явление было случайно открыто на канале малых размеров Глазго — Ардроссан. Горячая лошадь, впряженная в лодку Уильяма Хаустона, эсквайра, одного нз владельцев предприятия, испугалась и понесла, волоча лодку за собой, и, к своему удивлению, м-р Хаустон увидел, что пеяящаяся кормовая волна, которая обычно опустошала берега, исчезла и судно шло по воде сравнительно плавно с очень сильно уменьгпепным сопротивлением.
М-р Хаустон обладал практичностью и осознал коммерческое значение этого фанта для компании канала, с которой он был связан». Он посвятил себя внедрению на этом канале судов, движущихся с такими высокими скоростями, как 9 миль в час, что влекло за собой «большое увеличение доходов владельцев канала». е.р. Картинм еолн, сеедаеаемме яреоятстеиамм Для волн малой амплитуды механизмы диссипации энергии перечислены в равд. 3.5; однако волны с амплитудой, превышающей некоторое значение, теряют анергию дополнительно за счет вспенивания гребней, как в явлении «белых барашков» на море или как упомянуто в цитате Скотта Рассела.
Часто вспенивается только одна, ближайшая к препятствию волна (как фростовская «белая волна»), теряя при этом энергии достаточно для того, чтобы уменьшить амплитуду волн, движущихся дальше вниз по потоку, ниже значения, при котором возникает вспенивание. Волны, порожденные цилиндрическими препятствиями, либо лежащими поперек стационарного потока, либо, что равносильно, перекрывающими канал, полный воды, по которой они движутся, имеют (как мы видели) много свойств, легко выводимых из дисперсионного соотношения. Расчет их амплитуды может быть, однако, более трудным.
Мы завершим описание этих волн, проведя такой расчет в не слишком сложном случае. Мы попытаемся провести вычисления таким образом, чтобы пролить свет на проблему стационарной картины волн в одномерной диспергирующей системе в общем виде и чтобы прояснить природу взаимосвязи между амплитудой волн и продольными размерами препятствия. Мы изучим волны, возникшие из-за того, что форма дна имеет вид з = — й + ~, (х), у»' (х) = [ (з). (163) Мы придерживаемся линейной теории, предполагая, что как й-'Г", (х), так и коэффициент наклона дна ~ (х) малы. Очевидно, что форма дна «цилиндрическая» (пе аависит от у) и вызывает только малые возмущения потока.
Возникшие волны должны быть сопоставлены с беззихревой частью этих возмущений (равд. 3.1), т. е. с частью, внеп»ней ло отношению к придонному пограничному слою. Соответствующее граничное условие для потенциала скорости ср этих возмущений будет [дср/дз), „= $'~ (х), где У вЂ” скорость потока вне пограничного слоя, а г'(х)— малый коэффициент наклона дна. Заметим, что, поскольку й-»г', (х) также мало, граничное условие для «р мов;ет быть с достаточной точностью наложено и на фиксированном уровне з = — й вместо переменного уровня (163). Мы укажем метод исследования для одномерной диспергирующей системы общего вида без затухания, в которой волны вида Ь = а ехр [1 (ой + йх)[, (165) 8. Водны на воде 326 распространяющиеся в олсрис)ательссозс направлении оси х, могут быть сделаны стационарньнш под действием потока, имеющего скорость )' в положительном направлении оси х. Мы предполагаем, что для этих волн вида (165) с произвольными со и й некоторое граничное значение равно ц =- аВ (се, й) ехр [с (еМ + йх)[ (166) и что диспергирующая система определяется граничным усло- вием в) — — О, так что днсперсионное соотношение имеет вид В (ы, й) =-О.
(167) Таким образом, для волн на воде постоянной глубины Ь мы могли бы использовать граничное аначение в) = [дфдг[, н (168) и, применив методы равд. 3.3, легко вычислить иа соотношений (10) и (12), что для гравитационных волн В (ы, й) = — ио-' (ю'с[с йй — дй з[сйй) (169) (если надо принять во внимание поверхностное натяжение, то должна быть сделана замена (50)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
