Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Этп линеаризованные уравнения, в которых исключены все переменные, кроме Р, и д, ооразуют систему двух уравнений второго порядка — уравнений (35) и (36). Теперь мы исследуем свойства решений этих уравнений, устанавливая, в частности, условия, прн которых их решения имеют вид не связанных между собой звуковых н внутренних гравитационных волн. Точные решения, в которых функции Х (г) и с, (г), входящие в уравнения (35) и (36), имеют самый общий вид, получить невозможно. Однако многие сведения о волновых решениях этих уравнений можно почерпнуть из локального дисперсиокного соотношения.
Это — соотношение (45) ю=ю([в,1, т, г), меняющееся с высотой г и связывающее между собой частоту и три составляющие волнового вектора в решениях, которые локально изменяются как р = р, ехр [1(еуг — йг — ]у — тг)], д = д, ехр й (за~ — Йх — 1у — тг)]. (46) Для того чтобы вывести локальное дисперсионное соотношение, нужно пренебречь скоростями изменения амплитуд Рг и з7, в аависимости от положениа по сРавнеиию со скоРостью изменения синусоидально колеблющегося множителя. При этом 4.
Вееовреннив волны зео уравнение (35) принимает внд ( " — Л~е) 7, =- (т + 1де,е) р,, (47) а уравнение (36) — вид (с,о<се — )ее — Р) р, = ы (т + 1д-ЧЧе) Ч,. (48) Существуют интересные случаи, когда уравнения (35) и (36) имеют точное решение (46), в котороп рн ды ы, )о, 1 и т— постоянные, удовлетворяющие уравнениям (47) п (48). Это случаи, когда со (г) и Л' (х) постоянны. Онп включают случай атмосферы с иеетолиной телолературой То и с гюстоянным отношением удельных темплоемкостей у.
Тогда е, =- (уВТо)е' является постоянной величиной (равд. 1.2), и уравнение гядростатпчоского равновесия (4) прн р„== ЛТ,р, дает р'(е)1ро(е) —" — д7(ЛТо) — — — у~с,', (49) так что (12) принимает вид Л = (у — 1)'Рдс-,'. (50) Например, в случае воздуха с температурой от 20 до — 60' С это выражение для изотермпческой частоты Вяйсяля — Брента дает значения, меняющиеся от 0,018 до 0,015 с-' (что соответствует переходу колебаний от 6 до 7 минут). Более того, для многих друпгх случаев, когда с, (е) и Л' (х) медленно меняются в масштабе длины волны, в равд. 4.5 мы уооднмся в том, что, как и в одномерном случае (равд.
3.8), можно проследить распространение волновой энергии, если всюду известно локальное дпспорснонное соотношение (45). В таких случаях к тому же можно установить и природу волн при помощи проведенного ниже анализа этого дисперсионного соотпошеепля. Исключение р, и о), из (47) н (48) дает дисперсионное соотношение в виде с еое (()ее — Р -'; т') + 1т (дс,'+ д-'Ле')) ю'+ + (де+ Р) Л = О.
(51) Мы исследуем решения уравнения (51), рассматривая его как квадратное уравнение относительно ые при условиях, предложенных в начале этого раздела. Иначе говоря, предположим, что волновое число ()е'+ Р+ те) ее велико по сравнению с [ — р'(х)/ро(е)); (52) б,дв Объединенная теория вванвви» и внутренних волн 361 в силу (29) это означает, что волновое число велико по сравнению как с д-'Л", так н с дс,' и поэтому велико п по сравнению с их средним геометрическим с„гЛг. При этих условиях квадратное уравнение (51) для ыэ обладает тем свойством, что коэффициент гсри ю' приближенно равен йх -5 (з+ шв и много больше среднего геометрического с„'Л' (й' -1- )в)М' двух других коэффициентов.
Но корни любого квадратного уравнения. в котором коэффициент прн линейном члене много больше среднего геометрического двух других коэффициентов, с достаточно высокой точностью можно вычислить следующим образом: больший корень получается, если пренебречь последним членом уравнения, а меныппй — если пренебречь его первым членом. В данном случае поэтому больший и меньший корни приближенно равны соответственно оР = св (йз+ (х + т') (53) юв = Лl' (й' л- !в)!(йи — !в ' т') (54) Здесь (53) представляет собой обычное соотношение, отражающее тот факт, что звуковые волны ие диспергируюпг (их скорость с, не зависит от волнового числа), а уравнение (54) является дисперсионным соотношением (24) для внутренних волн. Мы, следовательно, доказали, что при условии (52) (т.
е. при медленном изменении невозмущенпой плотности рв (г) в масштабе длины волны) зтн два типа волн совершенно не связаны друг с другом; ни на один пз ннх не влияет наличие другого. Может оказаться также полезным, как мы выяснилп в разделах 3.3 и 3.8, рассчитать, какое значение должно принимать волновое число при заданной частоте и.
Мы покажем (равд. 4.5) что волны, распространяющиеся в стратифицпрованной атмосфере, сохраняют постоянную частоту го (как и волны па воде, движу|циеся к берегу), а также что в атмосфере, где невозмущенная плотность р, и другие свойства меняются только с вертикальной координатой г, единственное, что может меняться в зависимости от положения, это т — составляющая волнового вектора по оси ьд другие составляющие, й н (, подобно ы остаются постоянными.
В связи с этим при решении уравнения (5!) относительно т интересно посмотреть, как может меняться т в зависимости от св (г) и Л' (г) при фиксированных ю, й п й Испольвуя уравнение (29), мы ко>кем выписать решение уравнения (51) для лм в ! г(йэ ( )з) . рв (в) Г Р" (вН вЂ” в» 2 рв (в) ыя + ",— Я "' 1~' . (55) 362 4. Внутренние вслна Появление в т мнимой части 1/2/р,'/рв даже при условии, что она, согласно (52), пренебрежимо мала, может покаааться странным, однако его легко объяснить. В случае когда (46) представляет собой точное решение линеаризоваиных уравнений (случай с постоянными Л'(з) и с„(г)), член (1/2) /р,'(з)/рв(з) в силу (29) также является постоянным и, таким образом, добавляет к ехр ( — !тг) множитель, пропорциональный [р, (г) В/', но для сохранения энергии, как мы покажем ниже, в этом случае как раз и требуется, чтобы амплитуды функций р, и д пэменялпсь в зависимости о1 г точно пропорционально Между тем вещественная часть и дает точную гелпчину верши альной составляющей волкового вектора, равную квадратному корню пз выражения, стоящего в фигурных скобках в формуле (55).
В этом выра;кении прп частотах ы, меныиих частоты Вяйсяля — Брента Л' (г), преобладает первый член, давая простое дисперсионное соотношение для внутренних волн (54). Сравнение показывает, что другие члены имеют порядок квадратов малых величин с„'Л' и р,'.'р. Действительно, из уравнения (29) следует, что при ю ( /т' сумма этих членов алгебраически меньше, чем с,-'Л' ' — —,, Ф 'Те+ ьс„')г=-- — — (ас„' — д ".~'г)г, (56) так что она отрицательна. '!еоветическп это дает нижнюю гра1пщу горизонтальной составляющей (РР -г Р)'/г волнового вектора, пря которой могут существовать внутренние волны; однако если выполняется условие (52), то волновые числа лежат намного выше этой нижней границы.
Наоборот, если ю велико по сравнению с Ль, то в выраженуш, стоящем в фигурных скобках в формуле (55), преобладают члены — (/с'- + Р) +- юз [с, (г)[-', приводящие к акустическому соотношению (53). Теорет&чески при значениях се, только немного превосходящих /у (г), и распространение звука становится аниввтропным из-за наличия дополнительного члена (/г ( Р) [Ль ( )Р в.
(57) однако это проявление акизотропии не противоречит условию (52), так нак при указанных частотах волновые числа просто имеют тот же порядок, что и [ — р,'(з)/р,(г)). Если же отношение волнового числа к этому выражению, а, следовательно, также и к Лгс,', велико, то член — (/с' + Р) в фигурных скобках в (55) превосходит член (57) на квадрат этого отношения.
Проведенный выше анализ члена в фигурных скобках в выражении (55) показывает, что несвязанность между собой й.л, Объединенная теория звуковых и внутренних волн звуковых и гравитационных волн проявляется весьма четко: ошибка всегда кеадрапеична относительно малого отноптенпя величины [ — рв(г)/ро(г)[ к волновому числу. Наоборот, к мнимой части (55) следует относиться более серьезно, так как она пропорциональна этому отншпенню.
Однако детальное исследование, которое будет проведено ниже, показывает, что такая малая мнимая часть в локальном дисперспонном соотношении мо'кег (если ее использовать слишком примитивно) привести в общем случае к результатам, вводящим в заблун пенне, хотя ояа, конечно, дает правильный ответ в частном случае, когда (46) является точным решением и прп надлежащей ее шггерпретацпп может дать полезные результаты в более широком классе случаев. Волны с фиксированной действительной частотой ео должны иметь плотность энергии Ие, не зависящую от Г в любом фиксированном положении. Поэтому.
согласно (44). дивергенция ту 1 равна пу:по. Это означает. что в атмосфере, свойства которой меняются только в направлении х, напрпвлепная вверх составляюи[ал (58) Р гд = — [оо (з)[ Р Ч потока волновой энергии 1 не может изменяться по г. Но, согласно (48), для волн, которые локально представпмы в виде (46), часть функции р,, совпадающая по фазе с д, равна (59) ([с, (г)[-лезь — Йа — вз) гонпд, что дает среднее значение направленного вверх потока энер- гии (58) в виде (60) — [Ро(г)[ '([с,(а)[ "-бзз — Йз — вз) он[,'. Это выражение не аавнсит от з тогда и только тогда, когда амплитуда д, меняется как (а) [Мз [ [е (а)[ -з а йз [з [\вззп — з(з (61) В случае когда (46) является точпьзм решением при постоянных Х (г), с, (з) и т, это и означает пропорциональность амплитуды величине [р, (з))ыа, как указывает мнимая часть (55).
В дальнейшем мы действительно убедимся (равд. 4.5) в том, что в общих случаях, когда свойства вкидкости медленно меняются в масштабе длины волны, рассуждения, приводящие к получению изменения амплитуды из потока энергии, как было сделано выше (или в равд. 2.6), дают надежные решения; более того, хотя для внутренних воли полученный результат 364 не является простой пропорциональностью величине [ро (з))гн, тем не менее этот множитель представляет собой, как следует из (55), то основное памененпе, которое необходимо внести в результаты, полученные из приближения Буссинеска.
Нначе говоря, ошибки в приближении Буссинеска значительно уменьшаются, если значения ре и д, которые оно дает, умножить на коэффициенты, пропорциональные (р, (з)1н'-'. 4.3. Внутренние волны в океане и атмосфере На фоне основ теории внутренних волн (равд. 4.!) н условий, прп которых они не связаны со звуковыми волнами (равд. 4.2), мы коротко остановимся сначала па природе и значении внутренних волн в океане, а затем на их несколько иных природе и значении в атмосфере.
Все океанические внутренние волны совершенно пе связаны со звуковыми волнами. Действительно, условие (52) вполне выполняется да>не при длинах волн, сравнимых с океаническими глубинами, так как изменение плотности воды в океане не превосходит 4 оеб. Это максимальное изменение является главным образом результатом огромных давлений, около (О' Н/и', обнаруженных на самых больших океанических глубинах порядка '10 км. Плотность морской воды в действительности представляет собой функцупо (62) о(р, Т, у) давления р, температуры У и соленоснзи у (относительного содержания массы растворенных солей). Состав этих солей меняется, но столь мало, что не вызывает изменений плотности, существенных для динамики океана.
Температурные изменения в океане от точки замерзания морской воды 271 К до значений порядка 300 К вызывают изменения плотности порядка 0,5%. Изменения солености в пределах от )( = 0,034 до у = 0,037 выаывают изменения плотности порядка 0,2ою Парадоксально, что изменения плотности, обусловленные колебаниями теьшературы и солености, играют в динамике океана гораздо более важную роль, чем превосходящие их изменения плотности вплоть до 4о/а, обусловленные колебаниями давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
