Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Указанный метод применим для любой однородной анпзотропной системы; это значит, что частота может зависеть произвольно от величины и направления локального волнового вектора, но не может отдельно зависеть от поло ненни. (В силу последнего предположения для внутренних волн, удовлетворяющих дисперсионному соотнонтению (24), требуется, чтобы Л' было постоянным.) Мы закончим проверкой (каи и в равд. 3.8), что групповая скорость, выведенная таким способом, представляет собой то же самое, что н скорость распространения энергии для сивусоидальных волн. Простой метод анализа, подобный методу, использованному в равд. 3.6, основывается на определении локальной фазы а.
Действительно, так нан предполагается, что модуль волнового вектора (/е, е, т) меняется медленно (лишь на малую долю своей величины 2лй на одной длине водны Х), физическая величина д в волнах может быть представлена в приближенной синусоидальной форме д = ~ (х, у, г, е) ехр [еа (х, у, г, е)1; (76) здесь Ч' — положительная медленно меняющаяся амплитуда, а а (х, у, г, г) — фаза. В фиксированной точке (х, у, г) уравнение (76) требует, чтобы эта фаза увеличивалась на 2л на одном периоде волны, таи что да!де может рассматриваться кан локальная частота ю в радианах в секунду. Таким же образом при заданном времени а показывает убывание по х со скоростью, равной !с (составляющей локального волнового вектора по оси х) в радианах на метр. Аналогичные результаты получаются для у и г, что дает да1дх = — й, да!ду = — 1, да1дг = — т, дед~ = он (77) Уравнения (77) для а гарантируют, что локально волна имеет примерно синусоидальную форму (23).
Действительно, вблизи некоторого положения (хо, у„г,) и в некоторый момент. й. Внумренссие «несси Го фазовая функция почти линейна: сс (х, У, з, Г) = а (х„уо, з„1) — /со (х — х,)— — /о (У вЂ” Уо) — то (з — зо) + соо (С вЂ” Со) ' (78) здесь — /с„— 1„— то и сао являются значениями производных (77) в точке (хо, уо, го, Ео). Таким образом, локально в выражении (76) с медленно меняющейся фазой а (х, у, з, 1) величина с/ почти пропорциональна ехр [с (со»1 — /сох — 1»у— — то«)), как в синусоидальной плоской волне.
Когда производные (77) фазовой функции а удовлетворяют дисперсионному соотношению ос = со (й 1, т), (79) определяющему локальную частоту ос как функцию от величины и направления локального волнового вектора (/с, 1, т), мы можем вывести значение н основные свойства вектора групповой скорости в «двух строчках» (уравнения (83) и (84) ниже). Для внутренссих волн дисперснонное соотношение (79) принимает несколько специальную форму (24), которая зависит только от направления, а не от величины (/с, 1, т), но в дальнейшем мы найдем много примеров более общей зависимости.
В каждом случае фаза я определяется таким образом, что одна определенная физическая величина с/ имеет свои «гребни» (максимумы) там, где а — величина, кратная 2л; некоторая другая физическая величина может иметь свои максимумы при других значениях фазы, но всегда при некотором фиксированном положении в цикле (например, во внутренних волнах вертикальное перемещение ~ или избыточная плотность р, имели бы своа максимумы там, где а — н/2 является величиной, тсратной 2н). Анализ, который будет дан сейчас (а обобщен в следующем разделе) аналогичен анализу, проведенному в равд.
1.10, в том смысле, что его легче всего будет провести, еслк воспользоваться индексными обозначениями. Поэтому, когда мы описываем анизотропные волны в общем случае, мы используем координаты (х„, х„х») и волновой вектор (йм /с„й»), а также считаем, что по индексу, встречаюсцсмуся дважды в лсобом члене уравнения, автоматически производится суммирование от 1 до 3, Только в том случае, когда в качестве иллюстрации мы используем внутренние волны (для которых вертикальное направление з является особым), мы снова возврасцаемся к координатам (х, у, г). В индексных обозначениях фаза сс может быть записана как сс (х„х„х», с), причем да/дх, = — йс, да/д/ = ю, (80) й.е.
Введение в иниеотропную диепереию .а дисперснонное соотношение " = ео (/«» /«е йз) г;рпннмает вид да/д/ = ее ( — да/дхы — да/дхе, — да/дхе). (81) (82) Тогда «двухстрочечноее доказательство свойств групповой скорости начинается с дифференцирования этой функции ео трех переменных по хо Это дает (83) две ае ! ду / ~ дева«/ / ' д1;, . зу; =О (84) где (85) й// —— д еэ/д/«/ определяется как вектор групповой скорости. Уравнение (84) является трехмерным эквивалентом известного уравнения д/в/д/ + (7д/е!дх =- О для одномеряых систем.
Его интерпретация аналогична: оно означает, что волновой вектор /ве постоянен прн иаменениях, ееповлетворяющих урав- нению (86) Как и в равд. 3.6, мы можем представить себе наблюдателя, позволяющего точке (х„х„хе), за которой он следит, двигаться согласно уравнению (86), т. е. двигаться с групповой скоростью О/, тогда уравнение (84) означает, что он будет всегда наблюдать волны с одним и тем же волновым числом й;. Более того, уравнения (81) и (85) показывают, что при постоянном й; групповая скорость С/ также постоянна.
Таким образом, траектория (86) обязательно является прямой х/ — (//Г = сопз1, (87) движение вдоль которой происходит с постоянной скоростью е//. Для однородных систем основное положение, касающеесн групповой скорости У/, было уже получено. Волны с заданным волновым вектором /в, (величина которого равна 2я/Х, а направ- где, согласно договоренности о суммировании, правая часть представляет сунну трех членов с / =- 1, 2 н 3. Зтп члены представляют сооой скорость изменения «е (/еы /ее, /ве), обусловленную скоростями изменения /е„ /е, и /ее соответственно, прн измененнн хе (с сохранением других координат н времени постоянными).
В силу равенств (80) уравнение (83) можно ааписать в виде 38о 4. Внатренние волнгв ление перпендикулярно поверхностям постоянной фазы) находятся в точках, движущихся с постоннной скоростью 6') вдоль прямолинейных траекторий (87), причем различным волновым числаи соответствуют различные траектория.
Траектории (82) в трехмерных снстеегах называют лучами; это слово уже использовалось в тл. 1 и 2 для подооных прнмолннейных траекторий, вдоль которых распространяется звуковая знертия в однородной акустической среде. В самом деле, лучи в неднспертнрующей системе представляют собой простой частный случай общего понятия лучей, которое будет сейчас разшпо. Итак, звуковые волив| с постоянной скоростью со и волновым вектором Й; имеют частоту Оэ св (й + И + )с ) ) (88) так что из (85) следует, что ут == со)е) (Л2 -~ й' ч Аег) 1lг. (89) Этот вектор групповой скоростк имеет постоянную величнну с и направлен вдоль волнового вектора (т.
е. перпендикулярен поверхностям постоянной фазы) в соответствии с результатами, относящимися к скорости н направлению распространения акустической знергпн, которые нам уже известны из равд. 1.3. В случае внутренних волн мы возвращаемся к координатам (х, у, з) и к вектору волнового числа (Й, 1, т). При атом трупповая скорость С вЂ” (дю)дн, дю)д1, дв)дт) (90), является градиентом частоты в пространстве волновых чисел. Если днсперспонное соотношение записано в виде (24), то групповую скорость (90) можно представить так: ~)— гупг ( (Юв, )ан — Ве — Гв) /~2 ' )е ' ые ( (/ 2.) ) )иа (Вз+)г-)-оя)па (91) легко видеть, что множитель в квадратных скобках является единичныи вектором, перпендикулярным волновому вектору (й, 1, т), И без выкладок можно было предвндеть, что Ю, градиент частоты (24) в пространстве волновых чисел, должен быть перпендикулярен волновому вектору, ибо составляющая етого градиента в направлении вектора ()с, 1, т) должна быть скоростью изменения ю, когда меняется величина, а не направление вектора (й, 1, т), но (24) показывает, что зта скорость равна нулю.
То обстоятельство, что волны с заданным волновым числом (Й, 1, т) продолжают находиться в точках, перемещающихся й.о. Веедеооие е апиеетроппую ииеперешо с постоянной скоростью С, свидетельствует о том, что энергия в волнах с этим волновым числом должна переноситься с той же скоростью. Мы сейчас проверим, что в синусоидальных волнах 1) действительно является скоростью распространения энергии, причем сначала для частного случая внутренних волн, а затем для общих анизотропных систем. Для синусоидальных внутренних волн на основании (27) нетрудно видеть, что поток волновой энергии 1 = рен имеет то же самое направление, что и вектор групповой скорости (91), т. е. направление, перпендикулярное волновому вектору н компланарное с ннм и вертикалью.
Более того, поток волновой энергии, осредненный по периоду, равен осредненному произведению и на избыточное давление (26), а в силу того, что квадрат косинуса имеет среднее значение 1!2, это произведение равно очт ( (Лт, 1т, — Уо — РО Ро Ч! ло р ( +~о)ыэ(во+ о+ о)пз ) (92) где значение а было подставлено из (24). Осредненкая волновая энергия па единицу объема И' должна быть средним значением величины р„(н.н) (удвоенной кинетической энергии), что вместе с (27) дает о о о Во+!о-+опо Ро Чо Ло ) р (93) (Лоследпяя дробь в (93) равна величине зесо О, которая показывает, во сколько раэ возрастает кинетическая энергия одних вертикальных двпокений, когда колебания наклонены под углом О к вертикали.) Уравнения (91), (92) и (93) ясно показывают, что скорость распространения энергии 1'И' такова же, как и групповая скорость 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
