Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Для диспергирующих систем, которые не были еще проанализированы методом Фурье по времени, должно использоваться б б, Общая теории иреелехвивиии* луча (121) Вместе с дпсперсионным соотношением ю = ог(й,),т,г) (122) эти уравнения определяют и как функцию з. Тогда правило, согласно которому направление луча является направлением групповой скорости (90), можно записать в виде ау дт!д1 ав дт!дт дл дтгдй дв дт!дт э (123) полное уравнение (115). С учетом (116) его можно записать в виде Л7)й = — Иг ~г П = — И' дУ;!дхи (120) где левая часть дИ'/де + П ~7 И' представляет скорость изменения И' вдоль луча. Однако не совсем ясно, как решать уравнение (120); например, его нельзя непосредственно интегрировать вдоль лучей вместе с другими обыкновенными дифференциальными уравнениями (106) н (107), так как для того, чтобы определить частные производные в правой части, надо знать соседние решения.
Неудобство этого подхода н привело к тому, что обычно предпочитают метод трубок лучей (которому предшествует, если зто необходимо, разложение в ряд Фурье), за исключением однородных систем, для которых имеется хороший альтернативный метод, который будет описан з разд.
4.8. В конце этого раздела мы проиллюстрируем общую теорию примером внутренних волн в стратифицнрованной жидкости, удовлетворяющих уравнению (24) с частотой Вяйсяля — Брента Дг (з), которая меняется по г медленно з масштабе длины волны. Однако до этого мы покажем, насколько существенно упрощается общая теория каждый раг, когда в днсперсионное соотношение (100) входит явно только одна координата (скажем, аг =- г).
Прн этом уравнения (106) для й, и йг переходят в уравнения ((й,(вВ = 0 и гвй,(гвг = О, показывающие, что й, н й,, так же как н во, остаются вдоль лучей настоянными. Вти три условия действительно эквивалентны трет уравнениям (106); в данном случае не только существует нужное число условий, но в силу уравнения (108) имеет место еще и точная эквивалентность. Таким образом, трехмерные системы, неоднородность которых зависит только от одной координаты, во многих отношениях сохраняют простоту, присущую одномерным системам.
В стратнфицнровакной атмосфере нлн океане мы используем координаты (х, у, з) с вертикальной осью г. Тогда для волн любого типа, свойства которых не зависят от х и у, лучи могут быть описаны посредством уравнений вэ = сопз1, й = сопз1, 1 =- сопев. в'. Внутренние волив 392 где правые части являются известными функциями от з; эти уравнения можно пропктегрироватгь чтобы получить измене- ние х и у вдоль луча. В таких случаях метод трубок лучей для колебаний с фпк- спрованной частотой ю прпппмает особенно простую форму, так как сечения трубки лучей любой зоризонтальной гглосностью ивкеют одну и гну все площадь. Это следует из того, что решеггия уравнений (123) с лропзвольнымп начальныхш значениями хв, у, на высоте з„пмеют вид Е в х=хо+ ~ ( о,з ) дз: у=:ув+ ( ( ) г)х (124) в', Е на высоте:; здесь пнтегралы всегда представляют одни и те же горпзонталькые смещения (х — х„у -- у,) для разлпчных лучей.
Врименяя теорему о дпвергенцпн в части трубки лучей, ограниченной двумя горнзонтальпыын плоскостямн, к соленои- дальпому векторному полю ИЧ), мы приходим к заключенпю, что его составллющая по осв з не зависит от з: (Р даг!дггг ==- гопз1 вдоль луча. (123) В физнческнх териггнах;гто означает, что для колебаний с фпкспроваппой частотой го каждый луч несет определенные значения пе только горпзоптальных составляютцпх волнового век тора й и 1, но также и направленной вверх составлжощей потока плотностп волновой энерпмк Для звуковых волк в стратнфяцпрованной атмосфере уравненпя (123) прн (126) ог =- (йз + )в+ глз)тРсь (з) дают довольно простую информацию: дхгггз .
гсггт, гтугаз =- гггп, (127) означающую, что лучи параллельны волновому вектору. Они ьюгут оыть построены прп помощи закона Сне гла, утверждающего, что синус угла 9 между лучом и вертпкалью принимает зн ачоппе еггг 0 = (й'+ Р)гГ'-' (йт + )з+ т')-чгз = (ггг+ )х)вгг ог-тсв (з), (128) которое (при условиях (121)) меняется с высотой пропорционально скорости звука с, (з). Звуковые амплитуды получаются как следствие того факта, что восходящая составляющая потока плотности волновой энергии И'со соз 0 (129) постоянна вдоль. луча. 393 б.б. Обисая теория прослеживаиия луча Для внутренних волн лучи, параллельные групповой скорости (91), удовлетворяют уравнениям с)х!с)г = — )ст (й'+ Р)-", с(су)сЬ = — Ьп ()се+ Р)-г, (130) означающим, что каждый луч перпендикулярен волновопу вектору и компланареп с пнм и вертикалью.
Аналог закона Снелла состоит в том, что угол 8 между лучом н вертикалью удовлетворяет условию зес 8 = (1 + (с(хЯг)с + (с)у)с(г)сРР— "- = ()се+ Р+ пса)'Р ()сс Р)-'Р =- -'Х (), (131) которое по существу является подтверждением уравнения (15), показывающнъс, что зес 0 изменяется с высотой пропорционально частоте Вяйсяля — Брента Х (г). Постоянная по величине восходящая составляющая (125) потока плотности волновой энергии припнмает впд — И'Л'лс (йе + (е)'сс ()сс -. Р + псе)-сс'; (132) лрп помощи (93) это выражение люжет быть записано через волновую амплитуду с7, как 1 р-с е ( 2+Р)-пг( г Р ) — 02 (133) нли с учетом (24) как (134) — — (йг+Р) ' Очевидно, что прн условии (52), когда звуковые и внутренние волны не связаны друг с другом, выражение (134) является прекрасным приближением значения (60) для восходящей составляющей потока плотности энергии в случае полностью связанных волн, В океане относительные иаменения ро пренебрежимо малы, и поэтому постоянство (134) означает, что с)',т постоянно вдоль луча.
При условии дсссдг =-. — ьч для фазы сс это дает приблпнсенное респение с7=Ст-ОгехР(с(соС вЂ” вся — )У вЂ” ~ тс)г) ~в (135) где С вЂ” постоянная, а т, согласно (24), имеет вид т ==- (Усг ип Р) тР (со -с (Л' (г) Р— 1 )ссс. (136) Мы можем сравнить этот результат в случае 1 = 0 с решениями вида (70). Функция с',) (г), согласно (71) и (136), должна 394 й, днзпренннв вовнн удовлетворять уравнению Д " (г) = — тг~',1 (г), но (135) дает, что (137) Ч(г) =Ст-Ыг ехр ( — 1 ) т аг) . (138) 4.6. Прослеживание луча в воздушном потоке Волны в жидкости отличаются от волн других типов в одном важном отношении: жидкая среда, через которую распространнются волны, может быть вовлечена в крупно- Почти так же, как н в равд. 2.6, мы оценим ошибку в выражении (138), подставив его в левую часть (137). При этом получаем Г т 2 (т )т)+ 2 (т (т) 1 С~(г).
(139) Это выражение удовлетворяет (137) с ошибкой порядка квадрата отношения относительной скорости изменения величины т (т. е. т'!т или (т тт)т/г) к самому т; заметим, что для того, чтобы ошибка была величиной порядка квадрата этого отношения, в (138) был введен множитель т-Ы'. Когда т изменяется очень незначительно по сравнению с самим собой в пределах расстояния 1/т, такое приближение должно быть превосходным.
Заметим, однако, что лрнближение (138) не моя.ет быть использовано для захваченных волн; ошибка становится неприемлемой всюду, где Л' (г) убывает до значения е>, так что т стремится к нулю (и лучи имеют точки возврата с вертикальной касательной). Мы отложим до равд. 4.11 анализ тонкостей, связанных с крослеживаннем лучей, который позволяет использовать его также и в этих случаях.
Ыы увидим, что для внутренних волн в атмосфере, где рн меняется значительно, выводы из приближения Буссннеска (138) относительно того, что амплитуда меняется приблия<енпо как т-'~, могут быть недостовернымн; фактически нх нужно модифицировать так (поскольку выражение (134) должно оставаться постоянным), чтобы изменение происходило по закону р,'~гт-'1'.
Зто подтверждает предположение, высказаяное в конце равд. 4.2, о том, что пренебрежение множителем р,'Гг в выражениях для д и р, составляет основную ошибку приближения Буссинеска. «.д. Прослеживании луча в воздушном потоке 395 масштабное течение. Такое течение обычно пороясдается некоторой причиной, не зависящей от волн; в этом разделе,например, мы проанализируем влияние атмосферных потоков на распространение звуковых и внутренних волн. Мы узко, однако, отмечали некоторое взаимное влияяне распространения волн на течение. В следующем разделе мы будем изучать течения, полностью генерируемые распространением волн. Мы описали ранее (равд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
