Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Волновые движения со скоростями и; относительно неравномерного среднего течения со скоростью ур а — этн движения переносят хяю составляющую количества движения ри. на единицу объема в направлении х; через площадку В со средйей интенсивностью ри;итд. Поэтому риьи) действует как среднее напряжение (сила на единицу площади). 6 — результирующая сила на эчемеит объема, соответствующая этой составляющей напряжения, равна равности — Ь(д(ри1иу)(дх;) о между силами, девствузицими на две противолежащие грапй элемента, имеющие площадь В и находящиеся на расстоянии й одна ог другов. Соответствующая средняя ыощность, с иоторой совершается работа сил, действующих на этот элемент, составляет — Уу(д(ри;и)))дхг) на единицу объема.
Средний энергоодыен через поверхности отвеЧаат ЧаСтИ ЭтОй ВЕЛИЧИНЫ, а ИЫЕННΠ— д (У (Риьит))ГВХ; Па ЕДИ- ницу объема, обусловленной равностью между ыощностями $'д (риьитд), с которымп совершается работа сил на двух противолежащих гранях элемента, разделенных расстоянием Ь. Оставптаяся часть, представляемая вырзженпем (г55), составляет чистое среднее приращение энергии на единицу объема, получаемое средним течением. В линейной теории можно пренебречь кубами возмущений в энергии или скорости ее изменения; поэтому напряжение Рейнольдса, входящее в вырангение (154), можно записать в виде ре~~~ид (156) В общем случае, как показано в равд. 1.10, тензор потока количества движения может включать также и изотропный член д.д. Плоезеживанив муча в воздушном ногаоке 4ОГ (р — рв) бы, поэтому волны, которые создают среднее избыточное давление второго порядка (что может быть справедливо для звуковых волн, так как график зависимости давления от плотности обращен вогнутостью вверх), могут вызывать дополнительное взаимодействие типа напряжения со средним течением.
В этой главе, однако, мы ограничимся средними течениями с малым числом Маха и нулевой дивергенцией де',/дхо При этом изотропные напряжения (с коэффициентом 6;;) не могут соверпгать никакой работы против градиента скорости д)гРдхп и поэтомУ взаимодействие с таким сРедним течением полностью описывается напряжением Рейнольдса (156). Кроме того, в этой главе мы ограничимся системами, в которых внепвняя сила (а именно сила тяжести) может либо не учитываться, как в звуковых волнах (равд.
4.2), либо не имеет составляющей в направлении среднего течения; таким образом, стратификация, допускаемая в теории внутренних волн, совместима только с горизонтальными средними воздушными потоками, и в то же время любгзе стационарные течения, которые могут взаимодействовать с волнами в воде, должны быть горивонтальными. Поэтому для каждой составляющей напряжения Рейпольдса (156), которая могла бы влиять на мощность (154) вследствие неравенства нулю )ггч внешняя сила, действуюгцая в 1-и направлении, равна нулю, так что локальная скорость изменения величины рви, в системе отсчета, движущейся с локальным потоком, равна д (реп~)/д1 = — др,!дхп (157) Тогда Рвиг ' шгйгРе и напряжение Рейнольдса (156) принимает значение (159) Интересно, что это выражение для среднего потока количества движения напоминает аналоги (112) и (!13): чтобы получить средний поток количества движения, мы убираем кз выражения для среднего потока энергии 1г множитель, равный частоте, и вводим множитель, равный волновому числу.
Итак, во всех этих случаях уравнение для скорости изменения плотности волновой энергии в локальной системе отсчета (сумма (153) и (154)) будет иметь вид дйгг)дх = — — д (И'г(г'г)!дхг — егг')ву) где'г~дхе (160) Это уравнение можно записать также через скорости изменения вдоль луча: гЛ4г,«К = — И'г д0;)дхв + Иггго„' аз!гй, (161) эв-о~ гоа Е.
Вяутреняие еоеоя 402 где второй член получается из уравнения (150), записанного в системе координат, движущейся с локальным средним потоком (так что У; = О, а Уе =- И'„о';). Уравнение (161) приводит к удивительно простому закону утверждающему, что волковое действие, определяемое так, что его значение на единицу объема равно И',ы „' (волновая энергия, деленная на относительную частоту), переносится неизменным вдоль лучей. Хотя в приведенном выше выводе и были сделаны различные ограничительные предположения, в эпилоге мы покажем, что этот принцип имеет очень большую общность; в частности, для волн, распространяющихсся в среднем потоке, он играет ту же самую роль, что и принцип сохранения волновой энергии для волн в покоящейся жидкости. Сохранение волнового действия означает, что волновая энергия возрастает (аа счет среднего течения) всюду, где лучи входят в области возрастающих ог,; с другой стороны, волковая энергия теряется (питая среднее течение) всюду, где эг„ убывает.
Уравнение (143) показывает, что изменения составляющей среднего течения, параллельной йе (т. е. перпендикулярной гребням и имеющей направление их движения), вызывают противоположные изменения оге и, следовательно, волновой энергии. Например, волны в воде, движущиеся из области покоя в область встречного течения, получают приращение волновой энергии. Принцип (162) легче всего применять к волнам с фиксированной частотой, когда колебания в любой фиксированной точке пространства носят стационарный периодический характер (ср.
с равд. 4.5). В таком случае в исходной системе координат, когда скорость среднего течения равна ры этот принцип записывается в виде д (Иггог„' (~7,. -~- К;))/дх; = О. (163) Уравнение (163) показывает, что вектор, записанный в квадратных скобках и называемый потоком волнового действия, является соленоидальным; иначе говоря, его величина меняется вдоль трубок лучей обратно пропорционально площади их поперечного сечения.
Волны с фиксированной частотой ог имеют меняющийся поток энергии вдоль трубки лучей и меняющуюся относительную частоту ог„, но их отношение (поток волнового действия вдоль трубки лучей) является постоянным. Мы завершаем настоящий раздел (как и равд. 4.5), демонстрируя, как упрощается изложенная теория в случае страти- й.д. Прослеживание луча е воздушном нотоке фицированпой атмосферы, когда дисперсионпое соотношение принимает вцд сег = е>„(гс, (, пг, з), (164) аависящий только от вертикальной координаты г. Изложение теории будет дано для случая воздушного потока, направленного в одну сторону, но обладающего сдвигом У =- ()г (г)„0, О).
Читатель убедится, что эту теорию нетрудно распространить и на случай, когда, кроме составляющей вдоль оси х, средний поток имеет также составляющую вдоль оси у; однако, как пояснялось выше, составляющая вдоль оси г была бы несовместима с, постоянной стратификацией в невозмущенном состоянии. Выражение (112) для сс принимает впд ю = гс'г' (г) — ' се„(й, (, т, з). (166) Как и в общей теории, для волн, удовлетворяющих соотношению (122) между частотой и волновым числом, зависящими только от одной координаты г, уравнения рефракции в точности эквивалентны соотношениям (121), утверждающим, что ее, й и 1 сохраняют постоянные значения вдоль луча. Тогда уравнение (166) определяет т как функцию х, а уравнения (148) дают направление лучей в виде у(~)+д~~~дь ду э~~~а~ ( 6 ) дз дсо„!дт ' дз дт„!дт где правые части являются известными функциями х; зти уравнения можно проинтегрировать, чтобы получить иаменение х и у вдоль луча.
Как и в равд. (4.5), мы заключаем, что сечения трубки лучей любой горизонтальной плоскостью имеют одну и ту же площадь, и получаем из уравнения (163), что восходящая составляющая потока волнового действия Иггезг' огиз гадят (168) постоянна вдоль луча. Если лучи уже определены, то прп помощи этого принципа легко найти амплитуды волн. Для звуковых волн мы аапишем составляющие волнового вектора в виде !с = (сн созф, 1 = !сп зшч(з, пе = йн ссй О, (169) где ген — постоянная горизонтальная составляющая этого вектора, чр — его постоянный азимутальный угол с направлением воздушного потока, а Π— его переменный угол с вертикалью.
4. Внутренние волны Тогда о»„= со (г) (й' + Е» + т')»Р» = с» (г) йн созес 9, (170) так что уравнение (166) дает я1п В= оо (0 оойн1 — у («) оо» ф (171) как аналог закона Снелла (128). Рефракция, обусловленная температурными изменениями и изменениями воздушного потока, представляется числителем и знаменателем выра"кения (171) соответственно. Траектории лучей, когда угол В уже определен как функция высоты г, получаются из уравнений (167) в виде ~Ы«Ь = )г(г) (с, (я)! 'яес 9+ сояф$99, «(уlйя = = я(п»Р гд В. (172) Амплитуды звуковых волн выводятся на основании того, что восходящая составляющая потока волнового действия (Иг,о»,т) со соя 9 = йнп»И'„я(п В соя В (173) остается постоянной вдоль луча.
При отсутствии значительного воздушного потока заметное воздействие на распространение звука могут оказывать температурные изменения. Положительный вертикальный градиент, удовлетворяющий неравенству (75), влечет за собой уменыпение с, (г) с высотой на величину до 6 м(с на км. Это приводит к тому, что (171) уменынается с высотой, так что лучи отклоняются вверх. Хотя кривизна очень невелика (радиус кривизны может быть записан в виде «(г(й (я(п В) и достигает по мепыпей мере 60 км), она может оказывать существенное влияние на горизонтальное распространение над плоской поверхностью: лучи, переносящие энергию, поднимаются почти на 8 м через 1 км расстояния по горизонтали (нли на 33 и через 2 км).
Хотя область, не содержащая лучей (рис. 79), и не является зоной полной тишины, мы увидим (равд. 4.11), что амплитуды в ней резко убывают с высотой. При «инверсии», как, например, в случае, когда ночное охлаждение почвы приводит к возрастанию температуры (а следовательно, »и величины (171)) с высотой, лучи (снова при отсутствии воздушного потока) отклоняются вниз. Прп этом звуковые волны, которые распространяются почти горизонтально, могут проявлять свойства «захваченных волн». Это объясняется тем, что лучи, приближающиеся к высоте, где с, (х) равно а»йй1 (так что В = я!2), становятся горизонтальными и после этого могут отклоняться только обратно к земле (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
