Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 87
Текст из файла (страница 87)
79); после отражения от земли этот процесс может повториться. а.б. Проележивапие луча в воэдушпол потоке 405 Источник и Источвяк Рис. 79. а — отклонение вверх звуковых лучеп, генерируемых находящимся на поверхности Земли источником в атмосферу, температура которой убывает с высотой. Область ЗТ, расположенную ниже луча, испускаемого по касательной к поверхности Земли, часто называют зоной тишины.
б — отклонение вниз звуковых лучей, генерируемых находящимся на поверхности Земли источником в атмосферу, температура которой возрастает с высотой. Лучи, испускаемые под достаточно малыми углами, могут снова отклоняться к земле. Как было указано в конде равд. 4.5, детальный анализ таких захваченных воля требует более тонкого прослеживания лучей (равд. 4.1) ), однако имеются признаки того, что горизонтальное распространение может усиливаться при таких «инверсных» условиях, Воздействие воздушного потока качественно аналогично, но количественно может быть более сильным.
Скорость воздушного потока Р (з) может возрастать с высотой значительно более резко, чем возрастает илп убывает с, (з). В таком случае распространение волн против потока (с отрицательным соз эр) влечет за собой существенное уменьшение величины (171) с высотой: лучи отклоняются вверх, а амплитуды звуковых волн на уровне земли соответственно уменьшаются. Наоборот, распространение, направленное по потоку (с положительным соз эр), усилннается на уровне земли снова благодаря свойствам аахваченных волн, как и предполагалось на основании того, что лучи, приближающиеся к критическому уровню, где 'е' (г) сов ф = ойй' — со (х), (174) становятся горизонтальными, а затем отклоняются снова в сторону земли.
Простое наблюдение, действительно, показывает, что возду|пный поток вызывает существенное увеличение амплитуд звуковых волн на уровне земли по одну сторону е. Внутренние волли откуда следует яесО= Ф (е) О) — айне (е) соя ф (177) как аналог соотношения (131) для спокойного воздуха. Траек- тории лучей, если О уже определен из (177), находятся из урав- нений (178) е[х!с[г = Йну (г) [Л' (г)) "яесе 0 сояес 0 + соя ф $8 О, ЫуlсЬ =- я1п ф Фя О, полученных из (167) с групповой скоростью (91). Изменения амплитуды определяются на основании того, что восходя1цая составляющая потока волнового действия з Ре У,йн т80 (179) (являющаяся выражением (133), деленным на ео„= — Л~ соя 8) остается постоянной вдоль луча. Эффекты рефракции, обусловленные изменением Л' (г) (равд.
4.5), а также и изменением е' (г), могут оыть весьма значительными. Однако для внутренних волн существует качественное различие между ятями двумя видами эффекта рефракции. Возможно, что, как и в равд. 4.3 и 4.5, захваченные волны могут возникать всюду, где 0 стремится к О, так что относительная частота ео„достигает своего максимально возможного значения Л' (г). Необходимое условие ео = Л' (г) + [енГ (г) соя ~у (180) может удовлетворяться в областях, где либо Ле (г), либо )' (г) соя ф уменьшается (последнее выражение является состав- от источника, гдв распространение происходит по потоку, и уменьшение их по другую сторону от источника, где распространение происходит против потока.
Теперь мы видим, что это и есть влияние неравномерности воздушного потока (усиление с высотой). Для внутренних волн мы записываем [е = бансов ф, 1 = )ен я1в Ф, т = — [ен гя О (175) где 7ен и ф имеют тот же самый смысл, что и в (169), а О хотя и определяется иначе, тем не менее представляет собой угол, который образуют лучи с направленной вверх вертикалью при отсутствии воздушного потока. Тогда (166) принимает внд ео = йнр (г) соя ф + ые = /снГ' (г) соя ф + + Л' (г) соя 8, (176) е(.6.
Лроележиеанне луча е еоедушпои потоке 407 00 до о,! О,1 Рис.'30. Поведение внутренних волн, приближающихся к критическому уровню (указанному штриховой линией), где уравнение (180) удовлетворяется в результате того, что Де (з) убывает с высотой з по линейному закону. а — прк отсутствии вовдушного потока лучи имеют точки возврата с вертикальной касательной на иритическом уровне (в данном случае там, где )(е(е) становится равным волновой частоте оз). б — при воздушном потоке лучи касательны к критическому уровню.
Они изображены для случая постоянной скорости потока К в плоскости рисунка (так что ф =. О). Лучи удовлетворяют уравнению НЫЬ = Ся 0 + [й)7(ю — йр)) вес 0 созес 0 и построены для значений множителя, стоящего в квадратных скобках, равных 1,0 и 0,1; заметим, что случай а соответствует предельному поведению, когда этот коэффициент равен нулю. лающей воздушного потока в направлении горизонтальной составляющей распространения волн относительно воздуха). Лучи, доходящие до этого критического уровня, могут только повернуть обратно (из-за иаменения знака О). В случае когда т'(х) = 0 (т.
е. в покоящемся воздухе), на атом критическом уровне обе производные з (178) стремятся к нулю и лучи имеют точки возврата с вертикальной касательной (рис. 80, а). При в. Внутренние волны 408 Ркс. 81. Поведение внутренних волн, пряблнжающвхся к крвтяческоыу уровню особого энда (укаэанному штриховой линией), прл котором относительная частота юе стремится к нулю. Вся волновая энергия передается среднему течению до того,как луч асвмвтотически достигнет этого крятяческого уровня. В представленном яа рисунке случае поток имеет скорость у (г), линейно возрастающую с высотой, волки распростраяяютоя еявэ по потоку (еР = О), а частота Вяйсяля — Брента Дг иостояяяа. наличии воадушпого потока дело, однако, обстоит иначе; в этом случае вблизи критического уровня (где преобладает воздушный поток, так как групповая скорость падает до нуля) в выражении (178) для с(хааа главным является первый член.
Он яредставляет собой интегрируемую особенность в дхЯг (потому что созес 0 в (178) ведет себя как величина, обратная корню квадратному из малого отклонения зес 0 от 1), и лучи направлены по касательной к критическому уровню (рпс. 80, б), как в акустическом случае (рис. 79). Однако при наличии внутренних волк дополнительно может появиться критический уровень особого вида. Он расположен там, где 0 стремится к я!2, так что ю, стремится к 0 и колебания относительно воздушного потока прекращаются (что невозможно в покоящемся воздухе, так как юе — — ю является постоянной). Это имеет место там, где )г (г) соз ф =- ойй', т.
е. там, где составляющая воздушного потока в направлении горизонтальной составляющей распространения волн относительно яего возрастает до величины ой7е'. Лучи приближаются асимптотически (рис. 81) к такому критическому уровню, где е(хауз имеет неиптегрируемую особенность, поскольку зесэ 0 в (178) ведет себя акк квадрат величины (177) при 0 — н я!2; таким образом, требуется бесконечное время, чтобы лучи достигли его. Тем временем волновая энергия стремится к нулю, так ьак сохранение волнового действия (волновой энергии, деленной на ю„) означает, что там, где относительная частота юе стремится к нулю, вся волновая внергия передается среднему течению.
Действительно, согласно (159), напряжение Рейнольдса, переносящее горизонтальную составляющую осредненного коли- а.'Е. Стационарные течения, генерируемые еатауханием еоян 409' честна движения вверх, равно горизонтальной составляющей волнового вектора, умноженной на восходящую составляющую потока волнового действия, причем обе эти величины постоянны вдоль лучей.
Поэтому среднее течение около критического. уровня ускоряется за счет волн, создающих ниже этого уровня постоянное напряжение, которое отсутствует выше его. Проведенные выше рассуждения дают общее представление о том,каким образом внутренние волны могут играть основную роль в вертикальном обмене количеством движения воздушного потока. Критический уровень (181), где эпергня н количество движении, переносимые волнами, поглощаются, меняется в зависимости от ю, ген и чр. Таким образом, он различен для разных гармоник ряда Фурье, и многие из них могут существенно влиять на перенос количества движения. Можно полагать, что подобные эффекты имеют место и в океане.
4.7. Стационарные течения, генерируемые затуханием волн Мы только что проаналнзнровали, каким образом стационарный неравномерный воздушный поток может изменять распространение звуковых и внутренних волн. Мы показали, что эти волны могут обмениваться энергией и количеством движения со средним течением. Хотя ~строго говоря) это может влиять на предполагаемую стационарность среднего течения, изменения энергии происходят слишком медленно, чтобы возникающие неболыние отклонения от стационарности могли повлиять на законы распространения.
Тем не менее даже по отношению к большой энергии средних течений эти изменения могут произвести (в случаях, подобных рассмотренному в конце разд. 4.6) значительное перераспределение на более продолгкжтельном отрезке времени. напряжение Рейнольдса (156) выражает действие волн на любое бездивергентное среднее течение. В этом разделе мы рассмотрим, каким образом распространение звуковых и внутренних волн в первоначально покоящейся жидкости за счет этого напряжения генерирует стационарное течение. Сначала мы докажем, что это явление не может иметь место до тех пор, пока волны не будут затухать.
Затем исследуем течения, возникающие, когда звуковые волны затухают в силу процессов, происходящих либо внутри жидкости (равд. 1.13), либо на ее границе (равд. 2,7). В заключение мы дадим довольно простую теорию вязкого затухания внутренних волн и покажем, как 410 е. Внутренние ееенн этот процесс может или привести к возникновению течения, или не привести к яему. Средняя сила, с которой волны действуют на элемент жидкости (рис. 78), возникает из-за рагнаспюи между значениями напряжения Рейнольдса на противоположных сторонах этого алемента.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
