Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Например, в случае внутренних волн удобно использовать полупространство — со ( Йз ( О; тогда в соответствии с договоренностью о том, что любая физическая величина, приравниваемая комплексному выражению, дается его действительной частью, получаем т т О !7о= ~ ~ ~ 0о()з! йг 7зз) ехр ( з)з!х!) д7озд)зз(((оз (223) Те же самые замечания справедливы и для интеграла (223), где всегда можно принять, что зо ( — ззз~ !за~ )зз) = — ве (!зз! )оз, йз), (227) поскольку комплексно сопряженное значение выражения (22$) также является решением.
Нужно также заметить, как и в равд. 3.7, что при заданных )зз, )зз и )з дисперсиопное соотношение не обязательно имеет только одно решение (222) для аз. Например, для внутренних волн, удовлетворяющих аависимости (24), оно имеет два решения, равные по величине, но противоположные по знаку; действительно, для волнового числа в полупространстве — оо ( воз ( О решения с положительным н отрицательным значениями ез соответствуют распространению волновой энергии вверх и вниэ соответственно. В конце этого раздела мы докажем, что для такой системы начальным условиям общего вида всегда можно удовлетворить суммой линейной комбинации (223) волн с положительной оз и аналогичной комбинации волн с отрицательной аз вместе (в общем случае) с добавлением стыционаряоза движения, которое, имея чисто горизонтальные и беадивергентные скорости, не может возбуждать никаких восстанавливаюзцих сил.
(Пока мы не будем учитывать такую стационарную 428 4. Ваутрезние аолмв составляющую.) При асимптотической оценке каждого из членов (223), соответствующих двум различным решениям (222) дисперсионного соотношения, возникают идентичные математические проблемы, и при изложении теории мы можем остановиться только на одной из них (например, на решении для внутренних волн с положительным значением в). Излагаемый ниже метод является непосредственным обобщением метода равд.
3.7: мы запишем фазу как 1ф, где ф (У~„йю Йэ) = ю (йм Йю йз) — я1л1!Ф; тогда (223) примет вид Ч= 8 ~ ~ ~ 0э А ьэ ьз) ехр (111 А ьэ ьа)) ~(й~ ~йас~йз- 1 (229) Это выражение мы и хотим оценить, когда1становитсябольшим при фиксированном значении х1Й, т. е. в точке, движущейся от начала координат с постоянной скоростью. Мы предположим, что а, а следовательно, иф являются аналитическими функциями своих аргументов. Заметим, как и ранее, что 9„будучи обратным фурье-преобразованием (225) функции, которая стремится к нулю вне области начального возмущения, также будет аналитической функцией.
Для оценки (229) мы немного сдвинем область интегрирования параллельно мнимой оси так, чтобы там, где это возможно, мнимая часть 9 стала равной по меныпей мере +6. Тогда модуль экспоненты в (229) будет (самое большее) равен ехр ( — 16), в силу чего интеграл будет зкспоненциально малым для больших 1. Для атой цели можно ввести деформацию, при которой йз переходит в й1 + д1 (й„й„йэ) 16 (230) и мнимая часть функции ф становится приближенно равной (дф/дй1) дУ6. (234) В любой области интегрирования, где величина вектора (дфдй1) имеет положительную нижнюю границу (так что набегаются стационаряые значения фазы ф), величина л1, необходимая для того, чтобы выражение (231) было равно по меньшей мере +6, ограничена сверху.
Это означает прежде всего, что там, где ф не имеет стационарных значений, весь интеграл (229) экспоненциально стремится к нулю при больших г. Более того, даже там, где ф имеет одно стационарное значение или несколько таких значений, а.д.
Метод стационарной фавн в трехмерном сараае этот интеграл можно оценить через те приращения, которые получаются в результате интегрирования ио небольшим областям вокруг каждого стационарного значения, вне которых величина вектора д>[>/д/с! имеет положительную нижнюю границу. Мы предполагали вьппе, что при деформации (230) интеграл не меняется по величине; зто следует из общих результатов для аналитических функций нескольких комплексных переменных; однако мы, возможно, сможем указать простое доказательство специально для этого случая.
Для малого 6 при указанной деформации объемный элемент «[й! «йг «йг меняется за счет множителя 1 + (дд>/д/сг) «6 + О (62); (232) это следует из физического смысла дивергенции да>/д!«! или же может быть получено при помо>ци разложения якобиана преобразования (230) д (/с! + Л>«6, /с + Яг«6, йе + бо«6)/д (/сд! /«21 /сг) (233) о точностью до порядка 6, Поэтому при отбрасывании членов порядка О (6') интеграл В / (/с«е 1"'2 /се) «й! «й2 «йг (234) от любой аналитической функции /(/с„ /с„ /се) в результате деформации (230) преобразуется к виду 7 [/+(д//д/с«) д««6[ [Ф+(да!/д/ст) «6[ «й! «йг«йе (235) Скорость его иаменения по 6, следовательно, представляется выражением (236) [д (/б!)/д/от[ «й, «йг «йг которое обращается в нуль при условии (как мы предполагаем), что на бесконечности /г~ является малой величиной нужного порядка (фактически, о (/с,' + 1«, '+ /с,') ').
То, что на кая«дом этапе любой деформации скорость изменения интеграла по 6 равна нулю, означает, что аначение этого интеграла вообще не может меняться. Установив при помощи такой деформации, что единственный вклад в (229) дает небольшое множество точек интегрирования й, Внутренние еовиое 430 Е вблизи любого стационарного значения функции ар, мы вычислим этот вклад, как в разд. 3.7. Вблизи стационарного значения 1от = )о'7, где д<Рlд1е~ = О, (237) разложение ар имеет вид << ар<о> ( (1е 1< о') (1„, 1<!о') (да<о1дй дй )<о>+(1(<)е )<<о'<а) (238) где пулевой верхний индекс при функции <р или ее второй производной (которая, согласно (228), совпадает со второй производной от оа) указывает аначение при (Й",", 1оо>, йе").
Тогда, как и в равд. (3.7), интеграл в (229), взятый по локальному множеству точек интегрирования Е, можно аппроксимировать выражением ~ ~ ~ <',е " ехр ~11ар<й -(- — 11(й. — )е<") ()е — )е'о>) е к Х (да<о1д)е< д)ев)<о> ~ д)е, Ыа Ы1еа (239) с коэффициентом погрешности 1 + О (! )ое — 1е' ~), обусловленным заменой функции <)о ее значением в полол<енин стационарной фазы 1с,'", и с коэффициентом 1 + О (1 ( 1ет — 1е<" <о), обусловленным ошибкой в (238).
Экспонента квадратичной функции от 1еп входящая в (239), в том виде, как она написана, не годится для того, чтобы легко произвести интегрирование. Однако простой поворот осей делает это интегрирование чрезвычайно простым. Мы повернем оси 1<„1<„1са таким образом, чтобы они стали главными осями тензора (да„1д1 д1 )<о~ (240) т. е. осями, в которых его матрица диагональна (все ее элементы при 1 ~ 1 равны нулю). Тогда интеграл (239) распадается на произведение <,"е'" ехр (Ыф<о') П ( ~ ехр ( — И (1св — 1<ам)а (да<о1д)еа)<о>~ д)е ) (244) трех одномерных интегралов.
Каждый из них нужно вычислять по деформированному пути интегрирования (вдоль которого модуль подынтегральной функции в (241) меньше ехр ( — об)), так чтобы яокальное множество интегрирования Е вдоль всей Ея Метод стационарной 4аеи е треамерном случае 43$ й, — й)гт = з; ехр [ — нс' э[уп (дасо/дйч)~с>~ (242) которая превращает интеграл в гауссов интеграл с погрешностью О [ехр ( — Ы)). Это дает для (241) аначение г Ч'," ехр(с/фе>) П ([2я/Г[дгсо/дй,'[(с)['~~ Х х ехр ~ 4 нс з1дп (д'со/дй,')ол [) (243)' с коэффициентом погрешности 1 + О (с М') + О [ехр ( — сб)[ в каждом члене произведения.
(Мы отложим до равд. 4.11 обсуждение вопроса о том, какие изменения происходят в случае, когда в стационарной точке какая-либо из главных вторых производных (д'со/дй))'е' обращается в нуль.) Хотя результат (243) и был получен только в специальных осях (главные оси тензора (240)), его легко записать в форме, инвариантной относительно поворота осей, и нозпаиу он равно справедлив и в первоначальной системе осей волновых чисел Мы запишем произведение трех фааовых множителей ехр [ 4 нс з[дп(д-со/дй,')~с> [ в виде ехр (сО), г1 где 0 характериаует тип стационарной точки йф следующим образом: 6 = (3/4) и в минимуме, — (3/4) я в максимуме и (1/4) и или — (1/4) не седловой точке всоответствии с тем, возрастает ли функция (228) вдоль двух или только одного иг трех главных направлений.
(244) Кроме того, мы запишем произведение трех вторых производных в (243) как значение /~с~ при йз = й'с якобиана У = д (6"„(/а, У )/д (й„й„йз) (245) для вектора групповой скорости Уг — — дю/дйт как функции вектора йр Это определитель матрицы (240), который в главных осях имеет нулевые внедиагональные элементы, в силу чего Р" является проиаведением трех диагональных элементов границы могло быть непрерывным продолжением оставшейся части деформированного множества интегрирования, где это условие выполняется. Мы уже видели (равд. 3.7), что каждое одномерное интегрирование такого вида, как в (241), выполняется быстрее всего при помощи деформации 422 с/.
Внутренннв вовна (дзсс/дйзз)'". В то же самое время Ро~ инвариантен относительно поворота осей, так как он характериаует расширение элемента объема при переходе от переменных йз к переменным /7й Подставляя в (243) 9 и Х~о1, а также выражение зр" иа (228), мы получим асимптотическое представление интеграла в (229) для больших с в виде д~а> (2я//)з!з ~ /со>~ ы ехр (с (оз (й~о й~о~ й<о~) с — йоьхс+ ВЦ (246) если существует только одна стационарная точка йф, или же в виде суммы членов (246) от каждой стационарной точки.
В действительности, согласно (229), величина д равна половине полного бесконечного интеграла, оценка которого была только что получена. Однако, так как мы не хотим рассматривать — йф как самостоятельную стационарную точку, отличающуюся от й'~о>, мы опустим множитель 1/2 и примем д разным сумме членов (246) (имея в виду каждый раз действительную часть) только для тех волновых чисел со стационарным з~з, которые лежат в пределах выбранного полупространства. Согласно (235), эти стационарные точки находятся там, где хс// = дсо/дйз — — Усь (247) т. е. движутся с групповой скоростью. Это дает простое объяснение, почему в асимптотическом решении (246) появляется якобиан (245). Например, в системе, для которой плотность волновой энергии для синусоидальной волны (221) равна произведению среднего квадрата величины с/ (определяемого как (1/2) ~ а ~з) и некоторого множителя Иео (й„ й„ й,), начальная волновая энергия для возмущения (224), соответствующая элементу Ий,с(йздйз полупространства волновых чисел, составляет ' 'ео (йп йзе йз) 4Я ~ 00 ~ с/Мйзс/йз (248) Вот почему по теореме Парсеваля к среднему квадрату функции (224) добавляется член 2я' ! с/о (з Ый,дйздйз от каждого элемента всего пространства волновых чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
