Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Мы видим, что наличия этой едияственной границы достаточно, чтобы ограничить поток вихревым кольцом, возбуждаемым звуковым пучком и испытывающим сопротивление главным образом из-за пристеночного тренин. Общий расход пропорционален Р (аа(г)1) г, а средняя скорость потока пропорциональна Рр( р)'. Трудности, возникающие нри переходе от приближения малых чисел Рейнольдса к полному использованию.
нелинейного уравнекия (193), обычно очень велики, но, к счастью, известно точяое автомодельпое решение уравнения (193)гдля случая одной сосредоточенной силы Е. Характер такогогрешения зависит от значения безразмерного параметра реР)е а (равного квадрату эффективного числа Рейнольдса). Для значений этого г. Внутренние волны Рис.
83. Медленное стационарное течение, создаваемое акустическим пучком от расположенного ка плоской стенке источвика, генерирующим распределение силы (190). Сплощиыми лилиями изображены меридиовалькые сечения трубок тока, которые делят общий расход 0,080 Р (серр) " ка четыре равные части. параметра, меньших примерно десяти, указанное решение сводится к стокслету от силы г'. Б этом решении объемный расход через «кольцо» радиуса г, перпендикулярное линии действия силы, принимает вид (199) 4кр.р,'И (ог — х) ', гдв х — расстояние, измеряемое в направлении силы от точки ее приложения до «кольца» (таким образом, гз = хз + гз).
Постоянная о удовлетворяет уравнению рог)с '= 1бл ~ — и (о' — 1)-'+ о — оз аг ФЬ (о-')~, (199) где член в квадратных скобках при болыпих значениях а ведет себя как о ". Асимметрия, обусловленная наличием в выражении (198) члена с х, становится незначительной для значений о, больших примерно пяти, что соответствует рог')т з с 10. Отсюда следует, что представление в виде стокслета способности акустического пучка генерировать стационарное течение .допустимо только для акустических выходных мощностей, о.у.
Стационарние течении, венерируемив ватуаанием волн 417 меньших чем 10р'р,'с, ж 10 0 Вт для воздуха. (200) Если акустическая мощность на выходе превосходит 10 0 Вт, то в звуковом ветре становится существенной асимметрия типа струи, возникающая из-аа инерции жидкости. На рис. 84 показаны три конфигурации трубок тока для различных значений р«Р(2 0. Небольшие отклонения от симметрии, характерной для случая малых чисел Рейнольдса (рис. 82, а), представлены на рис.
84, а при р«Р)! ' = 35 (что соответствует источнику 3 10 0 Вт). Течение типа струи, расширяющееся, однако, под большим углом, изображено на рис. 84, б при роГр 2 = 314 (акустическая мощность 3 10 0 Вт), а узкая струя при р«Рр 2 = 3282 (акустическая мощность 3 10 «Вт) представлена на рис. 84, в. В последнем случае благодаря инерции количество движения струи переносится далеко от источника.
Струи при еще ббльших числах Рейнольдса турбулентны, Наблюдения показали, что среднее течение при етом сохраняет общий вид течения на рис. 84, в, так как турбулентность в круглой струе, создающая количество движения со скоростью Р, перераспределяет его со скоростью, грубо зквивалентной действию «аффективной вязкостиу (2, при р Рр,а порядка 3 10 0. Таким образом, при ббльших акустических мощностях область звукового ветра крвнимает форму узкой струи, которая при мощностях, равных 10 ' Вт или превосходящих зто значение, является турбулентной. В любом случае узкой струи никакого граничного влияния такого типа, как показано на рис.
83, практически не должно быть. Диссипация энергии происходит главным образом внутри струи, н при необходимом вовлечении жидкости в струю имеет место небольшое сопротивление со стороны любых границ, размеры которых намного превьппают ширину струи. Звук, распространяющийся в узких трубах, таких, что основная диссипация акустической энергии происходит в тонких пограничных слоях на стенках трубы (равд. 2.7), генерирует совершенно иной тип потока.
Распределение средней силы вдоль трубы, описываемое законом (190), по-прежнему имеет место, хотя соответствующее уменьшение энергии р на единицу длины дается уже не формулой (189), а выражением р = (2т00)172 (с а) 1 (201) для трубы радиуса а. Однако зта сила, имея равномерное поперек трубы распределение (191), не создает никакого потока: 27-0!100 Рис. 84. Не слишком медленное течение, создаваемое в жидкости с плотностью ре и вязкостью р сосредоточенной силой Р для трех вначений реРр-а: 35 (а), 3(4 (б), 3282 (а). Во всех случаях штриховая линия изображает ось симметрии.
Объемный расход в каждой трубке тока равен расходу в самой внутренней трубке тока. а.у. Стационарние тенениа, венерируемие ватуханием волн 479 она автоматически уравновешивается противоположно направленным градиентом среднего давления. Поэтому течение генерируется только отклонением средней силы (182) в пределах пограничного слоя от ее значения вне этого слоя. Мы изучим зто в специальных координатах, которые были использованы в равд. 2.7, чтобы описать пограничный слой; итак, теперь 2 — расстояние от стенки, а х — расстояние вдоль трубы в направлении распространения, Градиент д/да является преобладающим в пограничном слое, поэтому не удивительно, что — род (ии~)/да (202) оказывается там хорошей аппроксимацией осевой составляющей.
силы на единицу объема (182). Действуя в этой узкой области, она порождает стационарное течение, испытывающее сопротив- ление вязкого напряжения сдвига, так что р, ди/дз = (р,ии) — (р,ии)ев. (203) и=о ' ') [ии7 — (ии)„) дг. о (204) Мы вычислим ее для случая, когда осевая скорость и в звуковых волнах имеет вид и = и„(1 — ехр [ — 2 (/а7/т)'/2)), (205) полученный в равд. 2.7. Тогда перпендикулярная стенке трубы скорость 7и в пограничном слое будет определяться выражением и7 = — 1 (и/со) ([и/т) '/виев (1 — ехр [ — г (/с7/т)7/2)), (206) так что дивергенция ди/дх + ди7/дэ не зависит от г (что необ- ходимо, чтобы сделать др/д1 постоянным поперек пограничного слоя).
27е Индекс ех здесь, как и в равд. 2.7, приписывается значениям, внешним по отношению к пограничному слою, так что (203) означает, что вязкое напряжение сдвига, оказывающее сопротивление среднему потоку, в точке внутри пограничного слоя приравнивается суммарному воздействию напряжений Рейнольдса, действующих между этой точкой и кромкой пограничного слоя.
Поэтому сдвнговое среднее течение в пограничном слое будет иметь скорость 420 е, Внутренние волньь Осреднвнное произведение действительных частей выражений (205) и (206) равно ииг= — --(а/со) (т/2а)ма[и, (1 — ехр[ — г(ьа/т)~/~[)[х, (207) откуда интеграл (204) может быть записан как г и= [иех[г(2со У2) " ~ (1 — [1 — ехр [ — г(ьа/т)~гг))х) (а/т)~г~Нг.
о (208) Значение и у кромки пограничного слоя (где г (а/т)ь/х велико) легко находится в виде (и)ех = [иех[ (4со) (209) Интересно, что при оценке выражения (204) у кромки пограничного слоя кинематическая вязкость т, как показывает значение (209), исчезает. Резюмируя, отметим, что силы в пограничном слое порождают ветер (209) непосредственно вне этого слоя. Если суммарный расход череа трубу невозможен (как в случае звуковых волн, которые генерируются на закрытом конце), градиент среднего давления должен быть как раз достаточен, чтобы вызвать центральное обратное течение (с пуайзелевским распределением), при котором не будет среднего переноса жидкости через любое поперечное сечение.
При атом среднее течение на расстоянии х от оси трубки характеризуется параболическим распределением скорости и= [и„[х (4с,) ' [ — 1+ 2 (х/а)х). (210) Для пучка интенсивности 1 значение величины [ и, [х равно 21/(р,с ). Поэтому максимальные скорости «звукового ветра» в узкой трубе имеют величину 1 (2рос,')-', (211) достигающую 4 мм/с при атмосферном давлении, когда 1 = = 10' Бт/м' (интенсивность звука в пределах трубки 150 дБ). Проведенные выше вычисления соответствуют настолько длинной трубе, что обусловленное трением затухание позволяет пренебречь любыми волнами, отражаемыми от дальнего конца.
Друтим предельным случаем является труба, действующая как резонатор, возбуждаемый в некоторой системе стоячих волн. При этом осевая скорость и имеет вид (205), где и„, за исключением множителя ехр Яаг), является некоторой действитель- а.7. Стационарные течения, генерируемые еатуханием еаян 424 ной функцией х (вместо зависимости вида ехр ( — гвх/ве), характерной для бегущих волн). Соответствующая скорость ш определяется выражением (1ш/т) Пх (е(и,х/егх) (1 — ехр ( — х (гог/ч)'/х) ) (212) по той же причине, что и в (206). В атом случае расчет влияния члена (202), представляющего среднюю силу, производится так же, как и выше, и дает добавку — и„(вги,„Ях) (4го)-' (213) к средней скорости (и)„на кромке пограничного слоя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
