Дж. Лайтхилл - Волны в жидкостях (1132327), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Однако для такого движения (на-за более резкого изменения вдоль оси среднего значения квадрата осевой скорости и) становится существенным влияние — р,д (их)/дх (214) продольного напряжения Рейнольдса. Учет этого влияния при помощи аналогичных методов дает добавку к (и)„, как раэ вдвое ббльшую (213), В итоге, складывая эти два члена, получаем 3 (и)ех — 4 ге иех (г'«охах) ° (215) (216) достигалась на месте препятствия при его отсутствии, то при наличии препятствия поле скоростей вблизи него практически будет бездивергентным полем осциллнрующего обтекания (216) этого препятствия. Указанное поле скоростей обладает осциллирующнм пограничным слоем об|цего вида (205), где ') Течение, конечно, как н ранее, уравновешиваемое центральним обратим« течением.
Уравнение (215) является записью знаменитого закона Релея, который гласит, что в стоячих волнах течение у кромки пограничного слоя всегда направлено к узлам (положения, где амплитуда скорости и, равна нулю) '). Это объясняет, почему частицы пыли стремятся скаплинаться н узлах — явление, испольаовавшееся в прошлом веке, чтобы точно определить расстояние между узлами и, следовательно, скорость внука (рис. 85).
Стоячие волны вне пограничного слоя наблюдаются также в случае, когда бегущая звуковая волна падает на закрепленное компактное препятствие. Мы знаем (равд. 1.10), что если бы в внуковой волне снорость « = «х ехр (гшВ) 422 е'. Внутренние волна ось снмметрн ось снмметрнн Стеннг трубы стеннг тсубы -'л т Рис. 85. Течекке, генерируемое в трубке сккусокдалькой стоячей волкой (для которой ие„= и, ып (2лхть), ке считая множителя ехр (ту)). Соогпошентте между радкалькым (радкус трубки) к осевым (длккз волны) масштабамк может быть произвольным.
Общий расход делктсн указспкыми трубками тока ка четыре равные части. Течение стремятся заставить мельчайшую пыль скапливаться в узлах л = 0 к л = Х!2. Этот факт дает возможкость измерить расстояние М2 для волк данной частоты, з затем определить скорость звука. э — расстояние от поверхности препятствия. Здесь снова скорость внешнего потока и, является действительной функцией полок<ения па этой поверхности, если не считать множитель ехр (сшй).
Зто пограничный слой с дополнительным членом — х (туме /ах) в выражении для и, который нужно добавить к предыдущему члену (212), чтобы поле локальной скорости имело нулевую дивергенцию (зместо той, которая была постоянной поперек пограничного слоя). Однако в действительности оказывается, что при расчете средней скорости и на кромке пограничного слоя этот дополнительный член не имеет никакого значения (хотя он и изменяет распределение внутри пограничного слоя, создавая интересное обратное течение вблизи поверхности). Соответственно закон Релея (215) по-прежнему имеет место.
Он означает,,что движение всегда направлено к точкам застоя. Например, в случае закрепленного кругового цилиндра радиуса а, подвергающегося действию перпендикулярных его оси плоских волн, распределение внешней скорости имеет внд и, = 2и,зш(х/а) = 2и,вшО, (217) (и),к ~ — — (ша)-~и1 зш 20; (218) это течение, как обычно, направлено к точкам застоя (О О иО= ). где х = аΠ— координата пограничного слоя, измеряемая вдоль поверхности от передней точки застоя. Тогда средняя скорость у кромки пограничного слоя дается выраженном (215), при- нимающим вид 4.7.
Стационарные течение, генерируемые еатуланием волн 423 рис. 86. Медленное обтекание аекрепленного кругового цилиндра, вывванное звуковой волной, распространяющейся в направлении, указанном штриховой линией (относительно которой вся картина течения симметрична). Показанные на черте>не линии тока делят полный расход в каждом квадранте на четыре равные части На рис. 88 изображено соответствующее обтекание цилиндра при малых числах Рейнольдса, когда азимутальная составляющая скорости уменьшается обратно пропорционально кубу расстояния от оси.
Наоборот, если бы число Рейнольдса, основанное на скорости течения (218), было большим, то инерционные эффекты стремились бы удерживать зто течение в пределах несколько более узкой области... Из-за действия вязкости энергия внутренних волн уменьшается (рис. 87) со скоростью (й +1+,а) (219) в единицу времени; если скорость (219) выразить через скорость распространения энергии (91), то она составит (3 = т (йв + (в + та)а (Хт)-' (220) на единицу пути вдоль лучей. Это приводит к средней силе на единицу объема, которая задается выражением (182), направлена вдоль лучей и величина которой выражается через плотность волновой энергии И' в виде рИг.
Вертикальная составляющая этой средней силы легко уравновешивается той гравитационной восстанавливающей силой, которая противодействует малому восходящему среднему перемещению жидкости. Горизонтальная составляющая является при этом мощным источником горизонтального течения. й. Внутренние оохнм хо Волковой вектор: й„о,о) в осах нлй (й,бт) в нскодкык асях Рис. 87.
К вязкому затуханию внутренних волн. Движение жидкости, согласно рис. 72, происходит в направлении самою крутого спуска на поверхностях постоянвой фааы. В осях (хо, уо, хо), для которых это направление совладает с осью зо и волновои вектор направлен по оси хо, скорость жидкости имеет составляющие (О, О, то), а сдвиг равен — дто/дхо. Поэтому скорость дисснпации энергии на единицу объема равна среднему значению величины р (дто/дхо)о, где р — коэффициент вявкосги. Полная волновая энергия равна среднему значению величины роток (удвоенной кинетической энергия) на единицу объема. Таким образом, отношение скорости диссипации энергии к общей волновой энергии составляет тйоо, где ч = ртро — кинематический коэффициент вязкости.
В первоначальных осях зта величина принимает значение (219). В лабораторных условиях, однако, нетрудно создать в ограниченном резервуаре горизонтальные градиенты давления, которые уравновесят эту горизонтальную силу. В таком случае дополнительные вертикальные перемещения генерируют гравитационные восстанавливающие силы, которые уравновешивают также и вертикальный градиент этого распределения давления, и течение прекращается! 4.8. Метод стационарной фазы в трехмерном случае Основная цель настоящей главы состоит в том, чтобы исследовать общие свойства волн в анизотропных диспергирующих системах, описываемых линейными уравнениями.
Во вве- а.8. Метод стационарной фаза а треамвриан еауиав 425 дании в аниэотропную дисперсию (равд. 4.4) мы рассматривали системы, которые однородны, но в других отношениях представляют собой системы довольно общего типа. При изучении таких систем основное внимание уделяется волнам, которые. по существу являются диспергирующими, так что в каждом положении их приближенно можно считать синусовдальными с более или менее четко определенным локальным волновым числом. В этом случае можно определить фааовую функцию, свойства которой приводят к уравнениям, описывающим траектории лучей и распространение энергии.
В равд. 4.5 — 4.7 этот. метод был обобщен сначала на случай неоднородных систем, а затем на случай волн, взаимодействующих со средним течением. Теперь самое время более детально исследовать природу анизотропной дисперсии. Мы имеем в виду проанализировать сложное возмущение, которое первоначально может совсем не иметь никакого сходства с синусоидальной волной, однако по истечении времени можно ожидать, что его компоненты с рааличными волновыми числами отделятся одна от другой (диспергируют).
В случае строго одномерного распространения нам удалось это сделать в равд. 3.7 при помощи анализа Фурье, примененного для представления возмущения в виде линейной комбинации синусоидальных компонент с последующей асимптотической оценкой для больших 2 методом стационарной фазы. Настоящий раздел аналогичным образом использует трехмерный анализ Фурье и трехмерную теорию стационарной фааы для того, чтобы определить асимптотическое поведение волн, генерируемых сложным начальным возмущением в анизотропной системе, описываемой линейными уравнениями.
Однако, как и в равд. 3.7, необходимость использования разложения Фурье ограничивает нас однородны.ми системами (обычно описываемыми уравнениями с постоянными коэффициентами), так что каждая фурье-компонента (синусоидальная волна постоянной амплитуды) по отдельности может быть решением уравнений движения. В рамках этого ограничения мы убедимсн, что указанный метод удовлетворительно описывает те ранние стадии дисперсии, к которым нельзя было применить метод равд. 4.4, и соответственно дает результаты, согласующиеся с траекторно-лучевыми методами. Эти факты, возможно, подскааывают необходимость смешанного подхода к исследованию дисперсии первоначально сложного локализованного воамущения в неоднородной системе: метод настоящего раадела может объяснить развитие волн на ранних стадиях дисперсии (без учета неоднородно- 426 0.
Внутренние ее«на сти, имеющей место в ограниченной области, занимаемой волнами на протяжении этих стадий), а дальнейшее развитие волн можно проследить при помощи теории лучей в неоднородных системах (разд. 4.5). В качестве иллюстрации мы применим общую теорию, чтобы проанализировать, как сложное начальное воамущение в устойчиво стратифицированной жидкости диспергирует в виде внутренних гравитационных волн. Мы получим также аналогичные результаты для двумерного распространения и используем их, чтобы продемонстрировать некоторые свойства (предсказанные в гл. 3) дисперсии возмущения штормового типа на поверхности океана.
Математически мы будем иметь дело с начально-краевыми задачами (другой тип задач, когда волны генерируются источником, осциллирующим с постоянной частотой, будет рассматриваться в равд. 4.9). Мы предположим, что синусоидальное колебание (221) д = а ехр (1 (ю2 — йрг«)) с постоянной амплитудой а является решением уравнений движения, когда выполняется соотношение однородной дисперсии »1 = 1» (й„йю )ез), (222) Тогда трехмерный интеграл Фурье — («О (н1 н2 нз) ехр (1 (»з (101 102 нз) 1 à — "з*« )) «А «()02 ")зз (223) представляет довольно общее решение этих уравнений,принимающее при ~ = О начальное эиачение че (л1 нз аз) = 2 ) ) ) ««'0 А нз «ез) ехр( 1«0«а~) «««01а«0201«зз.
(224) Мы исследуем асимптотическое поведение интеграла (223) при больших 8 в случае, когда начальное возмущение сосредоточено в ограниченной области. В выражения (223) и (224) включены множители 1/2 потому, что в правых частях этих выражений каждое волновое число (й«, «з„йз) фактически дублируется, появляясь и как ( — йы — 10„— й,). Поэтому в любом практическом приложении цензы сообравно работать только с половиной пространства волновых 427 4.8 Метод втовиоворноа у!азы в трвзмврмом ввузов чисел (так же как в равд. 3.7 мы работали с половиной О ( й ( ( со одномерного пространства волновых чисел), причем можно выбрать любую половину, которая исключает ( — л„ вЂ” 1зз, — !зз) каждый раэ, когда включает (!зз, !зз, ззз). Тогда в силу того, что обратное преобразование Фурье '00 (о!! 'зз~ 'зз) ю оо 0 = 4 " з ~ ) ~ Чо(хз! хю хз) ехР(ззозх!) "х!"*з "хз (225) имеет ф, ( — вз„— )з„— )зз) в качестве своего комплексно сопряженного значениЯ, !7о Равно действительной части иптегРала (224), взятого только по выбранному полупространству.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
